江苏省2024届高三三模数学试题（解析版）

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学

试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

口M=[x\2x>l\,N=[x\x<3]“2

1.已知全集TT。：11,集合L11则（）

A.（-00,3]B.[0,1]C.[0,3]D,[1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】

由指数不等式可得"={x|x»o},再由集合交集的定义即可得解.

【详解】因为"=卜忙川={小NO},N={X|X<3},

所以McN={H0V尤<3}=[0,3].

故选：C.

【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.

2.已知复数z满足z（l+i）=5+i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法求出z,即可判断.

【详解】因为z=R=（5+i）（l_i）=^j.=3_2i,

1+i22

所以点（3,-2）位于第四象限.

故选：D.

3.下列结论中正确是（

A,若直线a,6为异面直线，则过直线a与直线6平行的平面有无数多个

B.若平面a〃平面仇直线加ua,点则过点M有且只有一条直线与机平行

C,若直线机与平面a内无数条直线平行，则直线机与平面a平行

D.若直线/I平面a,则过直线/与平面a垂直的平面有且只有一个

【答案】B

【解析】

【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由直线与平面的位置关系判断；D.

由面面垂直的判定定理判断.

【详解】A.若直线a,b为异面直线，则过直线。与直线b平行的平面只有一个，故错误；

B.因为平面a〃平面0,直线机ua,点所以由平面的基本性质得，点M与直线机确定一个平面

/,且==",由面面平行的性质定理得加〃“，Men,所以过点M有且只有一条直线

与机平行，故正确；

C.若直线加与平面a内无数条直线平行，则直线机与平面a平行或在平面a内，故错误；

D.若直线/I平面a,则过直线/与平面a垂直的平面有无数个，故错误；

故选：B

a

4.抛物线J=6x上一点M到其焦点的距离为一，则点以到坐标原点的距离为（）

2

A.73B.273C.3A/3D.473

【答案】C

【解析】

【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点M的坐标，最后利用两

点间距离公式即可求解.

【详解】设点/（%,%）.

由抛物线y2=6x可得：焦点坐标为准线方程为x=-1.

Q

因为抛物线V=6x上一点M到其焦点的距离为彳,

39

所以根据抛物线的定义可得：xM+-=-,解得：XM=3,则城=6%=18.

所以点Af到坐标原点的距离为Jxj+=732+18=3A/3.

故选：c.

5.对于函数y=/（x）,部分x与y的对应关系如下表：

X123456789

y745813526

数列｛%“｝满足西=2,且对任意〃eN*,点（七,％1）都在函数y=/（x）的图象上，贝U

玉+%2+%3+…+%2016的值为（）

A.9400B.9408C.9410D.9414

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：•••数列｛易｝满足玉=2,且对任意〃eN*,点（%,4+1）都在函数y=/（元）的图象上,

x"+]=f（X"），则X]=2,%2=4,%=8,x4—2,匕=4,—8,x7—2,夫=4…数列是周期

数列，且周期为3,一个周期内的和为14,•,•玉+々+%+…+9016=672'（国+马+退）=9408,故选

B.

考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.

【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数>=/（尤），

部分X与y的对应关系表求得石=2,々=4，%=8,%=2，%=4,4=8,七=2，/=4…，从而

得出数列为周期数列，且周期为3,一个周期内的和为14,所求数列的和为672个周期的和，从而求得数

列的和.做题时注意①根据函数求得对应的x,+i=/（%）的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将

2016除以3是否有余数，否则容易出错.

<士”“如眉％竹管劣输入该对的面带厚度-输出该对的面带厚度人囱在一泊

输入该对的面带厚度

的示意图，擀面机由若干对轧辑组成，面带从一端输入，经过各对轧辐逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧

辐的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辑，所有

轧辐的横截面积均为幽Wmm2,若第女对轧辐有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机

71

输出的面带上，疵点的间距为耳，则（）

A.A=1600X0.21JmmB.4=1600x0.2i°mm

lo-/;

C.Lk=16OOxO.8mmD.4=1600x0.8i°mm

【答案】D

【解析】

【分析】据题意，第9对轧辐出口处疵点间距为轧辐周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口

处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到1600=4<1-20%）,由次求出4,进而求出人.

【详解】设轧辐的半径为,，

由轧辐的横截面积640°°°mm2可得：nr2=‘加。。mm2,

7171

解得：r=800,所以轧辐的周长为2Q=2兀

由图易知，第9对轧辐出口处疵点间距为轧辐周长，

在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，

因宽度不变，有1600=4<1—0.2）,

所以4=^^=2000（mm）,筑=1600

0.8

所以4==1600x0.8i°mm

故选：D.

7.已知函数/（丈）的大致图象如图所示，则其解析式可能为（）

2e'+e

A./(%)=B./W=

C.f（x）=2D.=

el-e-x八/2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据图象的对称性排除CD；根据函数的最值排除B,从而可得答案.

【详解】由图象关于y轴对称可知，函数〃无）为偶函数，

2〃一尸

因为小）=1与小）=一为奇函数’所以排除CD；

因为/Q）=e，；ex"e，『=1,当且仅当x=0时，等号成立,

所以/Q）=e"[e'在）=o时取得最小值1，由图可知/（x）在》=（）时取得最大值，故排除B.

故选：A

【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.

8.已知双曲线上—匕=1,。为坐标原点，p,。为双曲线上两动点，且OPLOQ,则

36

11

-------7---------T=（）

10Pl2\0Q\-

11

A.2B.1C.-D.-

36

【答案】D

【解析】

【分析】设0P直线方程为y=依，直线方程为y=-且设尸（斗％）,。（X2，%），将直线分别与

双曲线联立，求出石2,%2,%2,%2,再利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】由题意设0P直线方程为y=。。直线方程为丁=-

k

设P&，X），Q（孙%）

,-匚=1262_6k2

则，

36nxj2-k2，y'—2—廿

。=履

f_2_匕2=

同理,366k226

—o—，y?——o—

12k2—1722k2—1

y=——x

〔k

b,,12-k-12k2—1

n\以T=3,T=w

\OP|-6+6左2\OQ\26+6产

k2+l1

即-----7+----7

IOPI2\OQ\26+6k"~6

故选：D

【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知平面a的一个法向量为%=[1,—2,—g],平面月的一个法向量为巧=(—1,0,—2),直线/的方向

向量为a=(l,0,2),直线机的方向向量为匕=(0,1,—2),贝U()

A.HIa

B.

C./与加为相交直线或异面直线

D.a在万向量上的投影向量为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.

【详解】因为平面a的一个法向量为4=11,—2,—g),直线/的方向向量为a=(l,0,2),则

Y\-41=1+0-1=0,即则〃/a或/ua,故A不正确；

又平面月的一个法向量为％=(—1,0,—2),所以“•巧=—1+0+1=0,即勺_1_%

,所以。_1_尸，故B正确;

由直线加的方向向量为〃=(0,1，-2),所以不存在实数4使得a=26,故/与加为相交直线或异面直线,

故c正确;

a-bb0+0-4(o,l,2)-4刎，-2）=。,高|

a在万向量上的投影向量为,故D不正确.

bbV55

故选：BC.

71111

10.已知函数/'(x)=sin尤・sin|尤+一-1的定义域为［加,"|（7〃<〃），值域为一5，五,则“一m的值不

344NT*

可能是（）

5兀7兀37r1171

A.——B.—C.—D.——

1212412

【答案】CD

【解析】

由三角恒等变换得/（x）=；sin-高

【分析】,作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得

71715兀

m=——<m<——

226,即可得解.

或V

5兀，7兀一7兀

——<n<——n-——

、666

711fl,也£

【详解】由题意“x）=sinx-sin|x+一—=sinx-—smxH---COSX

34224

7

走sinxcos」」」8s2》+且心」

2244444

」8s251

sin2x=-sin2x--

4426

作出函数/（X）的图象，如图所示,

若要使函数/（X）的值域为一《：，

在一个周期内考虑问题,

n2万

所以〃一机的值可以为区间y,—内的任意实数,

所以A、B可能，C、D不可能.

故选：CD.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思

想，属于中档题.

11.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具

有立方结构的天然晶体.如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台

ABCDEF—ABICREIK（上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-

ABCDEF,其中正六棱台的上底面边长为°,下底面边长为2a,且尸到平面4瓦£的距离为3a,则下列说

法正确的是（）

（台体的体积计算公式：丫=3（5]+邑+邓瓦）/2,其中邑分别为台体的上、下底面面积，力为台

体的高）

A,若平面平面AWA，则正六棱锥P-ABCDEF的高为十#,

2

B.若PA=141a，则该几何体的表面积为3舟21币a2

2

C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为迎乃/

81

D.若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8,则该几何体的体积为身叵/

2

【答案】BD

【解析】

【分析】分别取AF,AH，G2,CD的中点。，R,S,T,连接RS,RQ,TS,TQ,得到。，R,S,T

四点共面，且点尸，M,N均在该平面上，连接PM,则N在上，进而得到NPQR为二面角

P-AR-A的平面角，进而判定A错误；连接PM,则尸M=3a,结合截面尸。RST,利用表面积公式可

判定B正确；连接设外接球半径为R,连接OA,OD,OD,,求得外接球的半径，可判定C

V,7

错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为匕，匕，结合引=工，可得久=2/%利用丫=匕+匕，

V2o

可判定D正确.

【详解】设M,N分别为正六棱台上、下底面中心.

对于选项A,如图1,分别取AF,4耳，G2，CD的中点。，R,S,T,

连接RS,RQ,TS,TQ,则RS=屈，QT=2瓜,

可得。，R,S,T四点共面，且点P,M,N均在该平面上，

连接尸跖则N在上，得如图2所示的截面PQRST,四边形QRST为等腰梯形，

且NPQR为二面角P—AE—4的平面角，即NPQR=90°,

过点R作RL_LQT交QT于点L则NRQL=NQPN,可得兽=要，

LQNP

即NP*RL=LQ.QN=^61.®!=#,而NP+RL=MP=3a,

故NP4a-NP)=)f,解得NP=W3a，故A错误；

22

图1图2

对于选项B,如图3为截面PM，。，依题意得AA=2〃，AD=4a,

连接尸则尸A/=3Q,又24=2应〃，所以ZW=2a,MN=3a-2a=a,

如图4为截面尸。RST,从而RQ=J/+*&=5a，PQ=^(73a)2+(2tz)2=/la>故该几何体

的表面积S—6x^-a2+6x—•(tz+2a)-a+6x--2a-A/7a=36+21S>2,故B正确;

42222

图3图4

对于选项C,如图5所示的截面PAA.D.D,

连接依题意可知42=2。，AD=4a,PM=3a,

若该几何体存在外接球，则外接球球心.在上，

22

设外接球半径为R,连接04,0A},OD,ODX,得OA=OA=OP=R，3a-R=MO=yjR-a1

解得R=°a,又QA+OD=2R<4a=Q4,矛盾，

3

故该几何体不存在外接球，C错误；

图5

对于选项D,设该几何体上、下两部分的体积分别为匕，匕，MN=%,PN=k

2

则VJ+66/+%h1a2,V,=x6A/3«xh2=,由

7

V7

方二W，可得刈=2%,

结合4+4=3。，可知4=4,h2=2a,

因此该几何体的体积▽=匕+匕=半/+46a3=,故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

5723567

12.己知(1-x)+(l+x)=a0-alx+a2x-a3x+-a5x+a6x-G7X,则%+%+%的值为

【答案】78

【解析】

【分析】令x=0求小，分别令x=l,X=—1代入已知关系式，然后两式相加即可求解.

【详解】令x=0,可得4=2,

令%=1,可得2，=a。—q+%—/+•——％①

令X——1,则2，=%+q+%+..,+%②

所以②+①可得：2(%+%+/+/)=2,+2,=160,

所以2+a?+。4+“6=8。，即g+%+4=78

故答案为：78

13.已知^卜in°-c°s°=受’则=

【答案】9+46##46+9

【解析】

【分析】由条件sin6-cos6=三5两边平方结合平方关系可求sin26,再由平方关系可求cos2。，由

3

此可求Jsm2。

cos2。

【详解】将sind—cos0=2出两边平方，得1—2sindcos：=9+4百，即$足2。=—逑，因为

399

1+声

（与，所以26c（孚，2乃］,所以cos28=L,故1Tm=——-2—=9+4A/5.

I4）\2）9cos20£

9

故答案为：9+4卮

14.己知〃x)是定义在R上的函数，/(1)=10,且对于任意都有/(%+20)之/(幻+20,

f(x+l)<f(x)+l,若g(x)=/(x)—x+l,则g(10)=.

【答案】10

【解析】

【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得了(10)的值，由此求得g(io)的值.

【详解】在/(x+20)V/(x)+20中,令1=—10,得"10""-10)+20.

又〃x+l)<〃x)+l,故〃10)=〃9+l)K〃9)+l"(8)+2M</(l)+9=19.

而10)2〃—10+1)—1=/(—9)—8)—2>>/(l)-ll=-l.

所以/(IO)2/(—10)+202—1+20=19.

综上所述19W/(10)W19,即/■(10)=19,

所以g(10)=/(10)_10+l=10

故答案为：10

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记Sn是等差数列｛4｝的前n项和，已知为=邑+2,$6=4%.

(1)求｛4｝的通项公式；

、(1Y1Y1)(1)、13

Is2)｛S3人sj〔S“+J24

【答案】(1)4=2〃-1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于4,d的方程组，解之即可得解;

(2)由(1)求得S〃，再利用累乘法求得7；,从而利用“cN*及北与〃的关系式的性质即可得证.

【小问1详解】

因为｛&｝是等差数列，设其公差为d,

CL+5d=3tz+3d+2—1

则由《i,解得4

6%+15d=4%+16Jd=2

所以数列｛4｝通项公式为=1+2("—1)=2〃—1.

【小问2详解】

数列｛a,｝的前几项和Sn=(1+2"T)"=岛

则1—J-=l—1n2-l(n-l)(n+l)

S"n2n2n2

///

1、1、1、(1)

所以I=1--1--1--,1-----

S4

八八7k°n+l7

1x32x43x5(n+l)(n+l)n(n+2)1n+2

二-x---x---xXx------丁二一x----,

223242n25+1)22n+1

71+2―1"十21

因为〃eN*，所以——1+—>1,则方----r>—；

n+1n+12n+12

1〃+211

因为r7义--x1A+

2〃+12\n+1

当“增大，则工减少，所以“=1时,.取得最大值为〜

n+1

所以4=gx(l+13

最大为“

〃+1

13

综上，

2〃4

16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩

滑，让人唇齿留香.双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成.水牛奶中含有丰

富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素.不过新鲜的

水牛奶保质期较短.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售

水牛奶的情况，获得如下数据：

日销售量/0123

件

天数5102510

假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

(1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；

(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对水牛奶实行如下存货管理制

度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货.假设某

天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.

【答案】(1)—；

125

⑵—.

25

【解析】

【分析】(1)由题设三天中卖出3件水牛奶的天数X8(3,：),利用二项分布的概率概率公式求

尸(X22)即可；

(2)讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天

营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.

【小问1详解】

14

由题设，能卖出3件水牛奶的概率为《，3件以下的概率为彳，

所以三天中卖出3件水牛奶的天数XB(3,1),

■7419q1O13

则P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=C|(-)(-)2+C；(?3=—.

JJJJ-4D

【小问2详解】

由(1)及题意知：第一天营业结束后不补货情况为A=｛销售0件｝或2=｛销售1件｝,

所以P(A)=A，=

令。=｛第二天货架上有1件存货｝,则P(C|A)=g,P(C|B)=|,

9

所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=——.

第一天营业结束后补货的情况为。=｛销售3件｝或斤｛销售2件｝,

所以尸(D)=；,P(E)=g，

令4｛第二天货架上有1件存货｝,则尸(用。)=；,P(F|E)=1,

7

所以P(F)=P(D)P(F|D)+P(E)P(F|E)=—.

综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率P=P(C)+P(E)=||.

17.如图，在四棱锥尸―ASCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD,M为线段PC的中点,

PD=AD=1,N为线段上的动点.

(1)证明：MDLPN；

(2)当N为线段的中点时，求三棱锥A-的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

12

【解析】

【分析】(1)通过证明平面PBC,可证MDLPN；

(2)根据匕一MN°=%_ADN，利用棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】(1)证明：PD_L平面ABCD,3。匚平面43。。，，5。_1?。,

又BC人DC,PDcDC=D,PD、DCu平面PDC,

，平面PDC,又用Du平面PDC,，MD_L3C,

在Rt_P£>C中，PD=DC,M为PC的中点，尸C,

VPCr>BC=C,PC、5Cu平面PBC,

，MD_L平面PBC,

^.^尸Nu平面PBC,.^.MDJ_PN.

_le

(2)VA_MND二^M-ADN-3-ADN--PD=—x—xlxlx—xl=—.

232212

【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明平面P5C得到是解题关键；（2）中，转化为求

^M-ADN是解题关键.

18.若函数/（X）=加+桁，当％=-2时函数/（无）有极值。.

（1）求函数/（尤）的解析式；

（2）求曲线y=/（x）过点P（3,—3）的切线方程.

【答案】（1）=—X3—4x

（2）5x-y-18=0或7x+4y-9=0

【解析】

分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出。力，得到解析式;

（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.

【小问1详解】

/,(X)=3O¥2+b,由题意得:

/(-2)=12a+b=01

61——

♦、16，解得：＜3,

/(-2)=-8a-2/?=—

、3