2023-2024学年吉安二中八年级下学期期中数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2023-2024学年吉安二中八年级下学期期中数学试卷一、选择题。（每题3分，共18分）1．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不等式2x﹣1＜3（x+1）的解集在数轴上表示如图所示，则手掌盖住的数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣13．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中：①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；②AD上任一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°5．（3分）如图，将△ABC向左平移得到△DEF，连接AD，如果△ABC的周长是16cm，四边形ACED的周长是20cm，那么平移的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．（3分）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1二、填空题。（每题3分，共18分）7．（3分）命题“如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．8．（3分）如图，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A′P′B′，若BP＝3，那么PP′的长为．9．（3分）若k表示等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值，且当k＝1时，其顶角度数是度．10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线都经过A（m，1）当时，x的取值范围是．11．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围．12．（3分）已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30°，点C在直线l上，若△ABC是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是．三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解不等式（组）．（1）2（x﹣1）≤10（x﹣3）+4，并把它的解集表示在数轴上．（2）14．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．15．（6分）如果一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3的图象经过第二、三、四象限，求m的取值范围．16．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个四边形ABEF，使四边形ABEF既是轴对称图形又是中心对称图形；（2）在图②中以线段AB为边画一个四边形ABCD，使四边形ABCD只是中心对称图形．17．（6分）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标；（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）小亮在做数学题时由于不小心，把不等式组污染了一部分（不等式组中的☐），他记得这个不等式组的解集是x＞1，且☐里是一个正整数．根据上述信息，你能求出☐里原来是一个什么数吗？19．（8分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，（1）求点P与P'之间的距离；（2）求∠APB的度数．20．（8分）如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式x＞3的解都是不等式x＞1的解，则称不等式x＞3是不等式x＞1的“蕴含不等式”．（1）在不等式①x＜﹣1，②x＞4，③x＜﹣3中，是x＜﹣2的“蕴含不等式”的是（填序号）．（2）若不等式x＜﹣6是不等式3（x﹣1）＜2x+m的“蕴含不等式”，求m的取值范围，（3）已知x＜﹣2n+4是x＜2的“蕴含不等式”，试判断x＞n+3是不是x＞2的“蕴含不等式”，并说明理由．五、解答题。（本大题共2小题，每题9分，共计18分）21．（9分）如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）求∠AGB的度数；（2）连接DG，求证：DG＝AG+BG．22．（9分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值．六、解答题。（本大题12分）23．（12分）【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】如图3，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四边形ABCD的面积．

参考答案与试题解析一、选择题。（每题3分，共18分）1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【解答】解：第一个交通标志，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故A不符合题意，第二个交通标志，是轴对称图形，但不是中心对称图形；故B不符合题意，第三个交通标志既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故C不符合题意，第四个交通标志，是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．2．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵2x﹣1＜3（x+1），∴2x﹣1＜3x+3，2x﹣3x＜3+1，﹣x＜4，则x＞﹣4，故答案为：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．【分析】利用等腰三角形的性质以及角平分线的性质定理一一判断即可；【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴AD上任一点到AB、AC的距离相等，故②④正确，∵∠B＝∠C，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE+∠B＝90°，∠CDF+∠C＝90°，∴∠BDE＝∠CDF．故③正确，AB上任一点与AC上任一点到D的距离不一定相等，故①错误，故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．【分析】当该等腰三角形为钝角三角形时：底角＝（90°﹣50°）＝20°，当该等腰三角形为锐角三角形时：底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直的性质，关键在于分情况进行分析，认真的进行计算．5．【分析】根据平移的性质和三角形的周长公式列方程即可得到结论．【解答】解：∵将△ABC向左平移得到△DEF，∴AD＝CF，AB＝DE，∵△ABC的周长是16cm，∴AB+BC+AC＝16cm，∴AC+BC+DE＝16cm，∵四边形ACED的周长是20cm，∴AC+CE+DE+AD＝20cm，∴AC+BC+CF+DE+AD＝20cm，即16+CF+AD＝20，∴2AD＝4，解得AD＝2，∴平移的距离为2cm．故选：B．【点评】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．6．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞m﹣1，∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1，∵不等式组恰有两个整数解，∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，解得：﹣1≤m＜0．故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．二、填空题。（每题3分，共18分）7．【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．【解答】解：如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，假设a＝1，b＝﹣2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．故答案为：假．【点评】此题考查了命题与定力的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．8．【分析】由△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A′P′B′，根据旋转的性质得到BP＝BP′，∠PBP′＝90°，即△BPP′为等腰直角三角形，得到PP′＝BP，由此得到PP′的长．【解答】解：∵△APB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到△A′P′B′，∴BP＝BP′，∠PBP′＝90°，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴PP′＝BP＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．9．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵k＝1，∴设顶角＝α，则底角＝α，∴α+α+α＝180°，∴α＝60°，∴该等腰三角形的顶角为60°，故答案为：60．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．10．【分析】根据题意和函数图象，可以写出当时，x的取值范围．【解答】解：把点A（m，1）代入y＝x，得1＝m，解得m＝3．即A（3，1）．由图象可得，当kx+b＞x时，x的取值范围是x＜3．故答案为：x＜3．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞，解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组无解，∴≥3，解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式≥3是解此题的关键．12．【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当C4A＝C4B时；分别进行计算即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线l于点C1，C2，∵∠BAC1＝30°，∴∠BAC2＝180°﹣∠BAC1＝150°，当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线l于点C3，∴∠BAC3＝∠BC3A＝30°，∴∠ABC3＝180°﹣∠BAC3﹣∠BC3A＝120°，当C4A＝C4B时，作AB的垂直平分线，交直线l于点C4，∴∠BAC4＝∠ABC4＝30°，∴∠AC4B＝180°﹣∠BAC4﹣∠ABC4＝120°，综上所述：若△ABC是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是30°或150°或120°，故答案为：30°或150°或120°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键．三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）≤10（x﹣3）+4，∴去括号，得2x﹣2≤10x﹣30+4，移项、合并同类，得﹣8x≤﹣24，两边都除以﹣8，得x≥3．解集在数轴上表示如下：（2）解不等式﹣x+3＜2x，得：x＞1，解不等式，得：x≤4，则不等式组的解集为1＜x≤4，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．【分析】首先由AB＝AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝＝70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．15．【分析】由一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3的图象经过第二、三、四象限可得到不等式组，解方程组即可求出m的取值范围．【解答】解：∵由一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3的图象经过第二、三、四象限，∴，解得：2＜m＜3．【点评】本题主要考查了一次函数的增减性，也利用了解不等式组，是一道难度中等的题目．16．【分析】（1）以AB为边作一个正方形即可；（2）以AB为边作一个平行四边形即可．【解答】解：（1）如图①所示，四边形ABEF即为所作；（2）如图②所示，四边形ABCD即为所作（答案不唯一）．【点评】本题考查了旋转变换与轴对称变换，熟练掌握旋转变换的性质与轴对称变换的性质是解题的关键．17．【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心是D1D的中点，据此解答即可．（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心Q的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【点评】此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形的性质的应用，根据题意得出旋转后对应点位置是解题关键．四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．【分析】求出该不等式组中两个不等式的解，根据该不等式组的解集为x＞1可得，，再根据☐里是一个正整数即可求得□＝1．【解答】解：，解不等式①，得x＞1，解不等式②，得，∵这个不等式组的解集为x＞1，∴，∴□+1≤2，∴□≤1，∵□里是一个正整数，∴□＝1，∴☐里原来是1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度数．【解答】解：（1）由题意可知BP′＝PC＝5，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝3；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．20．【分析】（1）直接根据“蕴含不等式”的定义解答即可；（2）先用m表示出不等式的解集，再由“蕴含不等式”的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（3）根据题意得出关于n的不等式，求出n的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：（1）在不等式①x＜﹣1，②x＞4，③x＜﹣3中，是x＜﹣2的“蕴含不等式的是③x＜﹣3．故答案为：③；（2）解不等式3（x﹣1）＜2x﹣m可得x＜m+3，则m+3≥﹣6，解得m≥﹣9．故m的取值范围是m≥﹣9；（3）是，理由：依题意有﹣2n+4≤2，解得n≥1，∴x＞n+3的范围是x≥4，故x＞n+3是x＞2的蕴含不等式．【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能是解题的关键．五、解答题。（本大题共2小题，每题9分，共计18分）21．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，再根据三角形全等的判定方法可证得△ABE≌△BCF，则∠BAE＝∠FBC，利用三角形外角性质得∠BGE＝∠ABG+∠BAE，则∠BGE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°，然后利用邻补角的定义可计算出∠AGB的度数；（2）延长GE至点H，使GH＝GB，由于∠BGE＝60°，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，且AB＝BD，∠ABD＝60°，易得∠ABH＝∠DBG，根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≌△ABH（SAS），则DG＝AH，即可得到DG＝AG+BG．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，∵在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠FBC，∵∠BGE＝∠ABG+∠BAE＝∠ABG+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠AGB＝180°﹣∠BGE＝120°；（2）证明：延长GE至点H，使GH＝GB，如图，∵∠BGE＝60°，∴△BGH为等边三角形，∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵∠ABH＝∠GBH+∠ABG，∠DBG＝∠ABD+∠ABG，∴∠ABH＝∠DBG，∵在△DBG和△ABH中，，∴△DBG≌△ABH（SAS），∴DG＝AH，而AH＝AG+GH，∴DG＝AG+BG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．22．【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据购买费用＝A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意得，，解得：，答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；（2）由题意，得W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+15