2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第10节中位线和多边形内角和（含答案）

第9讲中位线和多边形内角和（学生版）目标层级图 课前检测1.如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是．2.已知：如图，，求图形中的的值．3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，求的周长．课中讲解中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.中位线逆定理：①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段，是三角形的中位线.②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.例1.如图所示，为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m.例2.如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为．例3.如图，在中，是上一点，且，，垂足是，是的中点．求证：．例4.已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是A． B． C． D．例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则与的等量关系为________，的度数是度．例6.如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形叫中点四边形．求证：四边形是平行四边形例7.几何证明（1）已知：如图1，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交．求证：．（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．例8.如图，在四边形中，，．分别是．的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不必证明）提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接．，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，，．分别是．的中点，连接，分别交．于点．，判断的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在中，，点在上，，．分别是．的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明．过关检测1.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，求的周长_______2.如图，在中，，、、分别是边、、的中点，，，则四边形的周长是A．18 B．16 C．14 D．123.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为．4.如图，，是四边形的对角线，，点为的中点，连接交于点，，．若，则长为．5.如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．（1）求证：；（2），平分，，求的长．6.如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，，求四边形的面积．多边形内角和1.多边形的对角线①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.②多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.3.多边形的外角和：与边数无关，始终等于.基本公式使用1.若正边形的每个内角都是，则的值是A．3 B．4 C．6 D．82.外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为A． B． C． D．3.一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和A．增加 B．减小 C．增加 D．没有改变例2.1.若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为A．7 B．8 C．9 D．102.从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则A．2018 B．2019 C．2020 D．2021例3.如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于A． B． C． D．例4.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则 B． C． D．例5.如图，五边形是正五边形．若，则．例6.如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？A． B． C． D．学习任务一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是．2．如图，在中，，，，分别是，，的中点，若，则的长是A．1 B．2 C．3 D．3.如图，等边的边长是2，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．（1）求证：；（2）求的长．4.如图，在中，平分，于点，点是的中点．（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；（2）如图2，请直接写出线段、、的数量关系．第9讲中位线和多边形内角和（解析版）目标层级图本节内容1新课，主要定位平行四边形章节中，中位线和多边形内角和部分。必考6-10分（A卷选填中）2本节课的主要目标：1能够识别和使用中位线；2会计算多边形内角和；3多见识常考中低难度题型。中位线部分，综合题目中，难度会比较大，涉及构造和转化使用。这部分将在后期的中点综合中讲解，此讲义不会涉及。3建议在授课过程中，中位线部分，定理和逆定理的使用需要关注。知道中位线怎么使用，还需要能够逆向判断是中位线，简单构造中位线。多边形内角和部分，比较简单，有两种方式算边或者角。一是直接使用公式，二是利用外角360°始终不变计算。两种方法都需要讲解。另外，注意多边形对应的规律题部分。４在授课内容中，可提前复习，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、垂直平分线和角平分线考点使用。课前检测1.如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是18．【考点】：三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：，分别是，的中点，，，，，，，，，又是的中点，直线是线段的垂直平分线，，的周长，故答案为：18．2.已知：如图，，求图形中的的值．【分析】根据平行线的性质先求的度数，再根据五边形的内角和公式求的值．【解答】解：，，，，．3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，求的周长．【考点】：三角形中位线定理；：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．【解答】解：的周长为36，，则．四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，．又点是的中点，是的中位线，，，的周长，即的周长为15．课中讲解中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.中位线逆定理：①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线.②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.性质证明学生版没有放置，需要老师证明为什么中位线平行且等于第三边一半性质证明：已知：如图，DE是△ABC的中位线.求证：DE//BC，DE=BC.证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF.在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF，AD=CF.∴CF//AB∵BD=AD∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF//BC（平行四边形的定义）DF=BC（平行四边形对边相等）∴DE//BC，DE=BC.中位线的直接使用例1.如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m.【解答】40 中位线定平行四边形+直角三角形斜边中线例2.如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为26．【分析】先证平行四边形再用斜边中线【解答】解：点，分别是边，的中点，，，，，又，四边形为平行四边形，，，点是边的中点，，故答案为：26．等腰三角形三线合一可以定E点为中点例3.如图，在中，是上一点，且，，垂足是，是的中点．求证：．【解答】证明：在中，因为且，等腰三角形三线合一，所以为的中点又因为是的中点，所以，，且为的中位线，因此，即．例4在于中位线的构造，转化使用已知的AB、CD长，结合三角形三边关系写取值范围。（初一二线段取值范围的求取一般为三点共线、三角形三边关系）连接四边形的对角线AC或者BD，取中点。则结合中点可以围绕MN构造一个三角形。三边关系满足即可例4.已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是A． B． C． D．【考点】：三角形三边关系；：三角形中位线定理【分析】当时，最短，利用中位线定理可得的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的其他取值范围．【解答】解：连接，过作，连接．是边的中点，，，是的中位线，，；是的中点，，，是的中位线，，在中，由三角形三边关系可知，即，，当，即时，四边形是梯形，故线段长的取值范围是．故选：．对边相等四边形+中位线构等腰三角形例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则与的等量关系为________，的度数是18度．【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形．【解答】解：在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，分别是与的中位线，，，，，故是等腰三角形．，．故答案为：18．中点四边形，一定是平行四边形（同一个对角线的中位线，平行且相等）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的在本节课中，因为只学习了平行四边形，所以矩形、菱形等中点四边形未作拓展。教师版有保留这部分内容，可结合自己情况拓展例6.观察探究，完成证明和填空．如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形叫中点四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（学生只保留一问）当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；当四边形变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？【考点】：三角形中位线定理【分析】（1）连接．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；（2）连接、．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；（3）由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．【解答】（1）证明：连接．、分别是、的中点，是的中位线．，．同理得，．，．四边形是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．识别问题和构造中位线例7难度上稍微拔高一些，主要目的依然是学生见识题型，能够进行简单的问题转化。需要从问题FG＝（AB＋BC＋AC）中去识别和转化线段，能够联想中位线。能够从三线合一中确定中点（可在此处复习等腰三角形三线合一、垂直平分线性质、角平分线性质）例7.几何证明（1）已知：如图1，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交．求证：．（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理证得，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出，，同理，，由此可以证明为的中位线，然后利用中位线定理求得；【解答】解：（1）如图1，，，，在和中，，，同理：，，是的中位线，，．（2）图2中，理由如下：如图2，延长、，与直线相交于、，由（1）中证明过程类似证，，，同理，，，，，答：线段与三边的数量关系是．中位线的综合使用例８主要考察中位线的构造、使用和转化，能够对同时出现两个中点（考虑中位线）有一定的敏感度和联想。三角形的形状，考虑特殊情况。等边、等腰、直角、等腰直角。（可以从角的角度证明，也可从边的角度）例8.如图，在四边形中，，．分别是．的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接．，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，，．分别是．的中点，连接，分别交．于点．，判断的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在中，，点在上，，．分别是．的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明．【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形是等边三角形，再进一步确定，进而求出，故的形状可证．【解答】解：（1）取中点，连接，，可知，，，同理，，，又，，，为等腰三角形．（2）判断出是直角三角形．证明：如图连接，取的中点，连接、，是的中点，，，同理，，，，，，，，是等边三角形，，是等边三角形．，，即是直角三角形．过关检测过关检测以常考题型为住，主要在于见识题型和简单的使用1.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，求的周长_______【解答】（1）证明：平分．（三线合一）又点是中点，是的中位线，，故的周长．勾股和中位线2.如图，在中，，、、分别是边、、的中点，，，则四边形的周长是BA．18 B．16 C．14 D．12【解答】解：，，，，、、分别是边、、的中点，，，四边形的周长．故选：．3.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为3．考虑放第三节-考虑【考点】：三角形中位线定理；：勾股定理【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为3．【解答】解：，，，最大时，最大，与重合时最大，此时，的最大值为3．故答案为3．中位线+直角三角形斜边中线4.如图，，是四边形的对角线，，点为的中点，连接交于点，，．若，则长为18．【分析】利用三角形中位线定理求出，再根据，求出，利用直角三角形斜边中线定理求出即可；【解答】解：，，，，，，，，，，，故答案为18．5.如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．（1）求证：；（2），平分，，求的长．【考点】：直角三角形斜边上的中线；：三角形中位线定理；：勾股定理【分析】（1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．（2）首先证明，根据即可解决问题．【解答】（1）证明：在中，、分别是、的中点，，，在中，是中点，，，．（2）解：，平分，，由（1）可知，，，，，，，由（1）可知，6.如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，，求四边形的面积．【分析】（1）欲证明，只要证明即可；（2）只要证明，即可；（3）只要证明，求出、即可；【解答】（1）证明：，，，，，．（2），，，，，，四边形是平行四边形．（3）在中，，，，，，，，，．多边形内角和1.多边形的对角线①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.②多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.3.多边形的外角和①定义：从多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.②多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.用ｎ多边形一个顶点出发可以构造（ｎ－２）个三角形，证明内角和公式灵活使用基本公式。直接用公式计算或外角等于３６０°计算基本公式使用(1)若正边形的每个内角都是，则的值是CA．3 B．4 C．6 D．8(2)外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为DA． B． C． D．（3）一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和DA．增加 B．减小 C．增加 D．没有改变【解答】一问为例1先算出外角，用外角360来算解：正边形的每个内角都是，每一个外角都是，多边形外角和为，多边形的边数为，故选：．2直接利用内角和公式，设边数为n(n-2)×180°=120n（2）边数为8，直接带入公式（3）多边形的外角和等于，与边数无关，例2.简单，需要有这样的题型见识（1）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：依题意有，解得：．故选：．（2）从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意得：，解得，故选：．三角形内角和及平角；也可看为多边形内角和例3.如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于A． B． C． D．【考点】：三角形内角和定理；：多边形内角与外角【解答】解：，，，，，．故选：．技巧：等角用ｘ、ｙ标记，更容易找等量关系例4.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则A． B． C． D．【分析】利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．【解答】解：如图，，，．又的角平分线与的外角平分线相交于点，，．故选：．多边形内角和＋平行