湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

2023年上学期高二期末考试

数学试题

考试时量：120分钟分值：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题

目要求的

1.记复数2=］（1-0的共轨复数为则三在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据复数代数形式的乘法化简复数z,即可得到其共腕复数，再根据复数的几何意义判断即

可；

【详解】解：因为Z=i（l—i）=i—i2=l+i,所以］=

则5在复平面内所对应的点为（1,-1）,位于第四象限；

故选：D

2.在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为

黑球的概率为（）

27

A.-B.ID.—

510

【答案】C

【解析】

【分析】根据古典概型概率计算公式，可以利用组合数进行运算求解，也可以利用列举法运算求解.

【详解】根据题意：

方法一：“恰好一个为黑球”的概率为P=T^=K=—

C5105

方法二：设三个白球为a,6,c,两个黑球为A,3,不放回地抽取2个球，则有：

{a,b},{a,c},{a,A},{a,B},{b,c},{b,A},{h,B},{c,A},{c,B},{A,B},共10个基本事件

“恰好一个为黑球”包含：{a,A\,{a,B}{b,A},{b,B},{c,A},{c,B},共6个基本事件，其概率为

故选：c.

3.2x—9）的展开式中『的系数为（）

A.240B.-240C.120D.-160

【答案】A

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可

【详解】2》—十）展开式的通项7；+1=C＞（2x）61£[=（力”晨.

由6—£=3,可得厂=2.二含V项的系数为（―1）2X24XC；=240.

故选：A.

4.随机变量X的分布列如表，则E（2X+3）的值为（）

X123

P0.2A0.4

A.4.4B.7.4C.21.2D.22.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据期望公式求£（X）,然后由期望性质可得.

【详解】由0.2+A+0.4=l得A=0.4,

所以£（X）=lx0.2+2x0.4+3x0.4=2.2,

所以E（2X+3）=2E（X）+3=2x2.2+3=7.4.

故选：B

5.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2,则该四棱锥的表面积为（）

A.473B.4君

C.473+4D.475+4

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答.

【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4,四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为

与22=5

4

所以四棱锥的表面积为4出+4.

故选：C

6.已知tana=4,则sinacosa=()

244,4

A.一一B.—C.-D.±—

517917

【答案】B

【解析】

【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.

sinacosatana44

【详解】因为tana=4,则smacosa=—---------z—=—z-------—=一.

sina+cos**atana+14~+l17

故选：B.

7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹

果近似看成球体)的直径X(单位：mm)服从正态分布N(80,5?),则估计苹果直径在(75,90］内的概

率为()

(附:若XN出吟,则P(〃—b<X"+b)a0.6827,

P"-2o<X<4+2CF)B0.9545.)

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

【答案】D

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解可得.

【详解】由X:N(80,52)知〃=80,cr=5,

所以尸(75<X<90)=P("一b<X<〃+2cr)

=PQi+o<X<〃+2b)+P(〃—b<X<〃+b)

=g[P(〃-2cr<X<//+2a)-P(/.i-cr<X<〃+b)]+尸(〃-cr<X<ju+a)

X1(0.9545-0.6827)+0.6827=0.8186.

故选：D

8.已知y=4'-3-2、+3的值域为[1,7],则x的取值范围可以为（）

A.[2,4]B.（―,0）C.（O,l）i[2,4]D.（-<x）,0]u[l,2]

【答案】D

【解析】

【分析】令2*=f，根据值域解不等式组可得，的范围，然后解指数不等式可得.

【详解】令2*=f，则y=/-3r+3,

?-3?+3>1

由题知，〈,,解得-1W/W1或2W/W4,

/-3r+3<7

即一142*W1或2<2V<4>解得x40或1WXW2-

故选：D

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9.某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量）（单位：kg）之间的对应数据如下表所示:

X1015202530

y1110865

数据表中的数据可得回归直线方程为9=羸+14.4,则以下结论正确的是（）

A.变量>与x呈负相关

B.回归直线经过点（20,8）

C.g=-0.32

D,该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg

【答案】ABC

【解析】

【分析1根据线性回归方程经过样本中心（20,8）,可解得5=一0.32,可判断A,B,C.由回归方程做预测,

即可判断D.

……_10+15+20+25+30〜、-11+10+8+6+5

［详解］-------------------=20,y=--------------------=8o,

.♦.回归直线经过点(20,8),B正确，

将了，歹代入夕=嬴+14.4得刃=—0.32，变量旷与x呈负相关，A、C正确，

当产品价格为35元/依时，代入得5=3.2,.♦.日需求量大约为3.2依，D错误，

故选:ABC.

10.在AABC中，下列命题正确的是()

A.若4>B，则sinA>sin8

B.若sin2A=sin23，则A48c定为等腰三角形

C.若acosB-Z?cosA=c,则AABC定为直角三角形

D.若三角形的三边的比是3:5:7,则此三角形的最大角为钝角

【答案】ACD

【解析】

【分析】

选项A,由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B,由三角函数确定角的关系，要结合角范

围，所以错误；选项C,用正弦定理边化角，再将sinC=sin(A+3)代入展开，整理可得cosA=0,所

以正确；选项£>,用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.

【详解】在AA8C中，若/>8,则a>b,因此sinA>sin8,A正确；

若sin2A=sin2B,则2A=28或2A+2B=;r,

乃

即A=8或A+3=7，

2

所以AABC为等腰三角形或直角三角形，3错误；

若acosb一力cosA=c,

则sinA-cosB-sin-BcosA=sinC=sin(A+B),

71

所以sin5cosA=(),即cosA=(),A=—

29

所以AABC定为直角三角形，C正确；

三角形的三边的比是3:5:7,设最大边所对的角为

a24-S2-721

则cos，=因为0<。<»，

2x3x52

所以。=--->。正确.

3

故选:ACD

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角

和等于180°，属于中档题.

11.二次函数,=依2+。无+。的图象如图所示，则下列结论中正确的是()

A.b=-2aB.a+b+c<0C.a+c<hD.abc<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由二次函数性质对选项逐一判断

b

【详解】由题意得。<0,对称轴x=——=1,则人=—2。>0,故A正确,

2a

当％=一1时，y^a-b+c<0,则a+c<A,故C正确,

当x=0时，y=c>0,则曲c<0,故D正确，

当x=l时，y=a+b+c>0,故B错误，

故选：ACD

12.已知函数了=-的值域为集合A,函数y=lg(V-4x)的定义域为8,则下列说法正确的是

()

A.Ac8={x|x<0或4<x«8}

B.AD8={X|XH0}

仁“》€金8是“％64的充分不必要条件

D.函数y=lg(d-4x)的增区间是(4,+8)

【答案】BD

【解析】

【分析】根据指数型函数值域即可得到即可A,根据对数型函数定义即可得到8,根据交并集含义即可判

断AB,根据充分不必要条件的判定即可判断C,根据复合函数单调性即可判断D.

【详解】|X|-3N—3,则<1，则<8,则A=（o,8],

由题意得/一4%>0,解得x<0或％〉4,则3=（-8,0）（4,+00）,

则Ac3=（4,8],故A错误；AU3={X|XH0},故B正确；

6RB=[0,4],其中一个元素0在集合A中找不到，故C错误；

设，=f—4%=（》—2）2—4,则/在（4,"o）上单调递增，且,>0,

而y=lgf在（0,+8）上单调递增，

则根据复合函数单调性得丁=怆（％2—4"在（4,+8）上单调递增，则其增区间为（4,+8）,故D正确，

故选：BD.

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

八,34口，，

13.已知x>0,y>0,且尤+y=l,则一+一的最小值为________.

xy

【答案】7+46##4G+7

【解析】

【分析】妙用'T',展开使用基本不等式可得.

【详解】因为x+y=l,

所以3+&=（3+@）。+口=7+2+”27+2m=7+4百

xyxyxy

3y_4x

当且仅当，Xy,即X=2由一3,y=4-2石时，等号成立.

[x+y-1

34广

所以一+一的最小值为7+4月.

xy

故答案为：7+4石

14.为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文、数学、英语、

物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师

上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不

同的安排上课的方法数为.

【答案】504

【解析】

分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.

【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.

①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有A；=120种方法；

②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有A：=24种方法，所

以共有：4x4x24=384种方法.

所以不同的安排上课的方法数为120+384=504.

故答案为：504.

“、[x3+1,x>0

15.已知函数,为偶函数，则2"+0=_________.

[ax'+/7,%<0

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】令x<0时，则—x>0,由偶函数的定义可得出/(x)7■(一x),可得出Z?的值，进而可得出

2"+。的值.

x?+]x>0

【详解】因为函数/(x)=<3人为偶函数，

ax+Z7,x<0

当XV。时，一X>0,此时，/(X)=f(-X)=(-X)34-1=-X34-1=CVC3+/7,

13

所以，。二一1,b=l,故2"+。=27+1=—+1=—.

22

3

故答案为：—.

2

16.记13—(1+x)]=4+Q[,(1+x)+a2•(1+x)~+L+%,(l+x),则％+q+%++4=

【答案】129

【解析】

【分析】令f=l+x,则(3—利用二项展开式通项可求出％的值，然后

令，=1,可求得4+4+4++4的值.

【详解】令r=l+x,贝（J（3—=%++兄产+L+//7,

所以，（37）7的展开式通项为=a・3”•（—，）"=c1）A/仅=0,1,2,,7）,

所以，%=-C；=-1,

在等式（3—/J=%+。/+42/+L+%/中，

令/=],可得%+q+a>++4+%=（4+4+氏++%）—1=27，

因此,%+q+%++“6=2，+1=129.

故答案为：129.

四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步）

310g<,5l0£73

17.化筒与计算：-3^xlog53-（3V3）*+7.

【答案】]2

【解析】

【分析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值.

2~

]（-V1/11A

【详解】解：原式=3.27丫xbg'30一口2）+3:1不13口吐-273+3,

=-xlog,5^=-xl=-.

9929

18.在_A5C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且52Kg±9=，.

cosC2h+c

（1）求角4

（2）若b=l,cosC=,求〃，c.

7

27r

【答案】（1）A=—：

3

（2）a-y/l，c=2.

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换化筒即得解;

(2)求出sin8,再利用正弦定理得解.

【小问1详解】

解：因e、，为co一s(-B--+--C=)，一a，所以---c-o--s-A-=---a---

cosC2h+ccosC2b+c

由正弦定理得一垩4sinA

cosC2sinB4-sinC

所以2sinBcosA+sinCeosA=-cosCsinA,

所以2sin8cosA=-(cosCsinA+sinCcosA),

即2sinSeosA=-sin(A+C)=-sinB.

因sin5w(),所以cosA=一-,

2

27r

因为A£(0,»),所以A=《-.

【小问2详解】

解：若cosC=2：,C,则sinC=

I7)7

nV2i_V21

则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x+-X------------

2714

1_a_c

由正弦定理"一二，一==J,得后一6一后,

sin3sinAsmC—————

1427

解得a=不,c=2.

19.常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简

便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗

手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕“，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对

“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表

如下:

得分45678910

女生2914131154

男生357111042

（1）现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌

握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面2x2列联表，并判断可否认为学生对“七步洗手法''的

掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05?

未能掌握基本掌握合计

女生

男生

合计

（2）从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人

中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X,求X的分布列与期望.

附：片=----------r，（〃=a+"c+d）.

（a+〃）、八（c+"d）消（a+°c）（8+d）

临界值表:

P（K2>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列联表答案见解析，没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关

9

（2）分布列答案见解析，数学期望g

【解析】

【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求K?，即可判断；（2）根据分层抽样的特点求得

抽取10人中，女生和男生的分布情况，再结合X的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求

数学期望即可.

【小问1详解】

由得分情况的频数分布表得2x2列联表如下：

未能掌握基本掌握合计

女生253358

男生152742

合计4060100

故片_100x(25x27-33x15)2〜0554

'40x60x42x58

因为0.554<3.841,所以没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关.

【小问2详解】

由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中,

女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.

在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,

所以P(X=0)=*C°r3/1，p(x=l)=C岩'C2=小3p(x=2)=皆C2Cl

joDUjojo2

P(X=3)=寻=：,

Go6

所以随机变量X的分布列为

X0123

13j_

p

3010~26

i311Q

所以E(X)=0x—+lx—+2x-+3x-=—.

\)3010265

20.如图，四棱锥P—A8CD中，底面ABC。是梯形，ABHCD.BC±CD,245是等边三角形,

E是棱A8的中点，AB=PD=2,BC=CD=l.

(1)证明：平面ABC£>；

(2)求直线P4与平面PCD所成角正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵旦

4

【解析】

【分析】（1）可证得四边形BCDE为平行四边形，由此可得。E=l，利用勾股定理证得PEJ.DE；由

等腰三角形三线合一性质可得PE1AB；根据线面垂直的判定定理可得结论；

（2）以E为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

£\PAB等边三角形，AB=2,E为AB中点，.•.产后=百且%，4?；

BE=CD=1,B£〃CD,••・四边形BC0E为平行四边形，：.DE=BC=1,

又PD=2,PE2+DE2=PD2>:.PE上DE,

又=。瓦ABu平面ABC。，..PEL平面ABC。.

【小问2详解】

BCLCD,四边形BCOE为平行四边形，.♦.BEJ.OE，

则以E为坐标原点，皮）,£比后「正方向为尤，夕/轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则尸（0,0,g）,A（0,-l,0）,C（l,l,0）,£>（1,0,0）,

PC=（1,1,-V3）,PO=（l,0,—6）,AP=（0,l,V3）,

设平面尸CD的法向量〃=（x,y,z）,

PCn=y—V3z=0--

，令z=l，解得：x=y/3»y=0,n=

PDn=x-y/3z=0

cos<AP,n>\=

|AP|.|H|=2^2=T,

即直线PA与平面PC。所成角的正弦值为—

4

21.已知函数/(x)=V3sin2x-2sin2x.

(1)求/(x)的对称中心；

(2)求/(X)的最小正周期和单调递增区间；

(3)若XG-pO,求/(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值.

【答案】⑴+(keZ)

冗兀

(2)最小正周期为兀；--+k7r,—+k7i,(%eZ)

_36

⑶九《)=-3,X=-]

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；

(2)利用整体代换法可得周期和单调区间；

(3)根据x的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.

【小问|详解】

/(x)=>/3sin2x-2sin2x=V3sin2x-1+cos2x

]Tl'

sin2x+—cos2x—l=2sin2x+—

2JI6)

._7C./r7CZr7U

由2xH—=kit得尤=-----1----9kfeZ,

6122

(兀&兀A

所以对称中心[一石十万,一1J(ZrGZ)；

【小问2详解】

/(x)=2sin|2x+—,

・・・7=福・•・7=1=兀・•・/(x)的最小正周期为兀，

兀7L7C

由----F2kli<2xH—<—F2kli,Z£Z,

262

兀兀

得：----hkit<x<—FkuZ£Z,

36f

jrjr

.・・单调递增区间为一1+^7+左兀，（&£Z）；

【小问3详解】

/(x)=2sinf2x+—j-1,

兀八c兀5兀71

•,*X€--,02xHG

26~6,6

.(_71\1

，sin2尤+—G-1t,—

I6)2

A2sin2x+^-1G[-3,0],

即:狐(力=-3,jJtflt.A2x+—=-—X=——7T