西安市2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

西安市东仪中学2024学年中考考前最后一卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0・5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

x<3a+2

1.若关于x的不等式组,无解，则a的取值范围是（）

x>a-4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

2.如图，在矩形ABCD中，AB=0,AD=2,以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC边于点E,则图中阴影部

c2V2-24D.2>/2-1--

4

3.一次函数yi=kx+l-2k（导0）的图象记作Gi,一次函数yz=2x+3（-l<x<2）的图象记作G2,对于这两个图

象，有以下几种说法:

①当Gi与G2有公共点时，yi随x增大而减小；

②当Gi与G2没有公共点时，yi随x增大而增大；

③当k=2时，Gi与G2平行，且平行线之间的距离为6所

下列选项中，描述准确的是（）

A.①@正确，③错误B.①③正确，②错误

C.②③正确，①错误D.①②③都正确

4.如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90。的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥侧

面，如果圆锥的高为3闻cm,则这块圆形纸片的直径为（）

A

B.20cmC.24cmD.28cm

5.已知二次函数y=or?+瓜+c的x与y的不符对应值如下表:

X-3-2-10123

y111-1-115

且方程ar2+bx+c=0的两根分别为』，々（』<12），下面说法错误的是（）.

A.x=—2,y=5B.l<x,<2

C.当时，y>0D.当工=工时，有最小值

2

6.如图，将△ABC绕点C旋转60。得到△•已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为（）

A.—B.—C.67rD.以上答案都不对

23

x=2nvc+ny=S

7.己知｛।是二元一次方程组｛।的解，则2/〃一〃的算术平方根为（）

y=lnx-my=\

A.±2D.4

8.如图，在平面直角坐标系中RtAABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1,0）,AC=2,ZABC=30°,JCRtAABC

先绕B点顺时针旋转180。，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点的坐标为（）

-4,-2-百)<-4,-2+73)C.<-2,-2+73)D.<-2,-2-百)

10.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到AADE,若NCAE=65。，ZE=70°,且AD_LBC,NBAC的

度数为（）.

A.60°B.75°C.85°D.90°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.己知的=3,那么的值为

12.已知数据XI,X2,…，Xn的平均数是则一组新数据X1+8,X2+8,…,Xn+8的平均数是一.

13.某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增

长率为.

14.一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，都

是黄球的概率为

15.关于1的一元二次方程2%-左=0有两个相等的实数根，则&=.

16.在平面直角坐标系中，点A（2,3）绕原点O逆时针旋转90。的对应点的坐标为.

17.若4a+3b=1,则8a+6b-3的值为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）观察下列等式：

22-2xl=p+l①

32-2x2=241②

42-2x3=32+l③

…第④个等式为：根据上面等式的规律，猜想第〃个等式（用含，，的式子表示，〃是正整数），并说明你猜想

的等式正确性.

19.（5分）如图，矩形43co中，对角线AC,3。相交于点0,且AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点

C,A同时出发，运动速度均为lcm/s.点P沿CfDfA运动，到点A停止.点。沿AfOfC运动，点。到

点。停留4s后继续运动，到点。停止.连接BP,BQ,PQ,设V8PQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面

积为0的三角形），点尸的运动时间为x（s）.

（1）求线段的长（用含工的代数式表示）；

（2）求5麴k14时，求>与1之间的函数解析式，并写出x的取值范围;

（3）当y=时，直接写出工的取值范围.

20.（8分）某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏，A型灯每盏进价为30元，售价为45元；B型台灯每

盆进价为50元，售价为70元.

（1）若商场预计进货款为3500元，求A型、B型节能灯各购进多少盏?

根据题意，先填写下表，再完成本问解答：

型号A型B型

购进数量（盏）X—

购买费用（元）

——

（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利

最多？此时利润为多少元？

21.（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边

AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.

（1）求证：四边形FBGH是菱形；

（2）求证：四边形ABCH是正方形.

22.（10分）如图，RiAABC中，NAC8=90°,CE_L48于E,BC=niAC=nDC,D为BC边上一点.

图1图2

(1)当相=2时，直接写出C笑F=—,A芸F=—.

BEBE

、3

(2)如图1,当机=2,〃=3时，连加石并延长交C4延长线于产，求证：EF=；DE.

(3)如图2,连4。交CE于G,当且CG=^AE时，求'的值.

23.(12分)如图，已知矩形ABCD中，AB=3,AD=m,动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向

点A运动，连接CP,作点D关于直线PC的对称点E,设点P的运动时间为t(s).

(1)若m=5,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.

(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于

24.(14分)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=A@>0)的图像与边长是6的正方形OABC的两边A8,

x

分别相交于M,N两点.若点M是AB边的中点，求反比例函数>二人的解析式和点N的坐标；若AW=2,求

x

直线MN的解析式及△OWN的面积

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可.

x<3a+2

【题目详解】,・•不等式组/无解,

/•a-423a+2,

解得：a£-3,

故选A.

【题目点拨】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、

大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

2、B

【解题分析】

先利用三角函数求出NA4E=45。，则拉，NZME=45。，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积

=S矩形A5C0-SAABE-S扇彩EAD进行计算即可.

【题目详解】

43万

解：*：AE=AD=2,而AB二桓,：.cosZBAE=——=—,/.ZBAE=45°;.BE=AB=正,ZBEA=45°.

AE2f

・・・AD〃BC,・・・N&AE=N5EA=45。,・••图中阴影部分的面积二S矩形形EW=2XJ5・；xj^x友-

45•乃・2〜广.冗

------------=2V2-1--

3602

故选B.

【题目点拨】

本题考查了扇形面积的计算.阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不

规则图形面积转化为规则图形的面积.

3、D

【解题分析】

画图，找出G2的临界点，以及Gi的临界直线，分析出Gi过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数

图象逐个选项分析即可解答.

【题目详解】

解：一次函数yz=2x+3(-l<x<2)的函数值随x的增大而增大，如图所示，

N(-1,2),Q(2,7)为G2的两个临界点，

易知一次函数yi=kx+l・2k(k#»的图象过定点M(2,1),

直线MN与直线MQ为。与G2有公共点的两条临界直线，从而当Gi与G2有公共点时，yi随x增大而减小；故①正

确；

当Gi与Gz没有公共点时，分三种情况：

一是直线MN,但此时k=0,不符合要求；

二是直线MQ,但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；

三是当k>0时，此时力随x增大而增大，符合题意，故②正确；

当k=2时，Gi与G2平行正确，过点M作MP_LNQ,则MN=3,由yz=2x+3,且MN〃x轴，可知，tanNPNM=2,

/.PM=2PN,

由勾股定理得：PN2+PM2=MN2

:.(2PN)2+(PN)2=9,

・・・PN=K，

T

・・・PM=独.

故③正确.

综上，故选：D.

【题目点拨】

本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大.

4、C

【解题分析】

设这块圆形纸片的半径为R,圆锥的底面圆的半径为门利用等腰直径三角形的性质得到利用圆锥的侧面

展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2仃=也王叵，解得k也R,然后利用勾股定理得到

1804

（0R）2=（3同）2+逮R）2,再解方程求出R即可得到这块圆形纸片的直径.

4

【题目详解】

设这块圆形纸片的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,则45=应凡根据题意得：

2k90：R,解得：口外,所以（0R）三（3同）2+（正R）2,解得：R=i2f所以这块圆形纸片的直

18044

径为24cm.

故选C

【题目点拨】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

5、C

【解题分析】

分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案.

【题目详解】

A、利用图表中x=0,1时对应y的值相等，x=-l,2时对应y的值相等，・・・x=-2,5时对应y的值相等，.，.x=

-2,y=5,故此选项正确；方程ax2+bc+c=0的两根分别是xi、xz（xl<x2）,且x=l时y=-l；x=2时，y

=1,.-.1<X2<2,故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，，当xiVxVxz时，y<0,故此选项错误；D、

•・•利用图表中x=0,1时对应y的值相等，.•.当x=；时，y有最小值，故此选项正确，不合题意.所以选C

【题目点拨】

此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键.

6、D

【解题分析】

从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,

所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.

【题目详解】

阳昌，而和60万x（36-16）10

阴影面积=--------------=-n.

3603

故选D.

【题目点拨】

本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形.

7、C

【解题分析】

二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根.

x=2ntx+ny=^2〃什〃=8m=3

【分析】•・•{।是二元一次方程组{的解，,{'解得｛“=2

）二1nx-my=i2n-m=\

・•・j2m-”=j2x3-2="=2.即2加一〃的算术平方根为1.故选C.

8、D

【解题分析】

解：作ADJ_SC,并作出把RtAASC先绕5点顺时针旋转180。后所得如图所示.・.・AC=2,乙45c=10。，

ABC=4,:.AB=2»,：.AD=ABAC=2^x2=73,:.Bg竺_=Q舟=1.丁点3坐标为（1,0）,点

BC4BC4

的坐标为（*G）・・・・8&=1,・・・5。1=1,・・出坐标为（・2,0）,・"1坐标为（-2,-6）・・・・再向下平移2个单

位，；・4'的坐标为（・2,-5/3-2）.故选D.

点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的

性质是解答此题的关键.

9、D.

【解题分析】

试题分析：根据一次函数和反比例函数的性质，分k>0和kVO两种情况讨论：

当kVO时，一次函数图象过二、四、三象限，反比例函数中，-k>0,图象分布在一、三象限；

当k>0时，一次函数过一、三、四象限，反比例函数中，一kVO,图象分布在二、四象限.

故选D.

考点：一次函数和反比例函数的图象.

10、C

【解题分析】

试题分析：根据旋转的性质知，ZEAC=ZBAD=65°,ZC=ZE=70°.

二在RtAABF中，ZB=9O°-ZBAD=25°,

，在△ABC中，ZBAC=180o-ZB-ZC=180o-25o-70o=85°,

即NBAC的度数为85。.故选C.

考点：旋转的性质.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、±245

【解题分析】

分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答.

详解：因为盯=3,所以x、y同号，

当X>0,时，原式==26；

当xvo,yvo时，原式=-历+(-历)=一26

故原式=±2JL

点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键.

12、1+8

【解题分析】

根据数据XI,X2,…，Xn的平均数为又三,(X1+X2十…十Xn),即可求出数据Xl+LX2+1,…，Xn+1的平均数.

n

【题目详解】

数据Xi+1,X2+1,...»Xn+1的平均数=L(Xi+l+X2+l+...+Xn+l)=—(X1+X2+...+X11)+1=X+1.

nn

故答案为又+1.

【题目点拨】

本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.平均数是表示一组数据集中趋

势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标.

13、10%

【解题分析】

本题可设这两年平均每年的增长率为X,因为经过两年时间，让市区殿地面积增加44%,则有(1+x)1=1+44%,解这

个方程即可求出答案.

【题目详解】

解：设这两年平均每年的绿地增长率为x,根据题意得，

(1+x)'=1+44%,

解得(舍去)，xi=0.1.

答：这两年平均每年绿地面积的增长率为10%.

故答案为10%

【题目点拨】

此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量x(l±x)J现在的量，增长用+,减少用但要注意解的取舍，及每

一次增长的基础.

【解题分析】

让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率.

【题目详解】

解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出2个球是黄球的概率是输.

故答案为：言3.

【题目点拨】

本题考查了概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

15、-1.

【解题分析】

根据根的判别式计算即可.

【题目详解】

解：依题意得：

•・•关于工的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根，

:.♦=//-4ac=4-4x1x(-k)=4+4k=0

解得，k=-l.

故答案为：・I・

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程根的判别式，当♦=//-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当♦=//-4ac=0时,

方程有两个相等的实数根；当♦=//-4农，<0时，方程无实数根.

16、(-3,2)

【解题分析】

作出图形，然后写出点A，的坐标即可.

【题目详解】

解答：如图，点的坐标为(-3,2).

故答案为(-3,2).

y

0\：;x

.«L__A..J

【题目点拨】

本题考查的知识点是坐标与图象变化•旋转，解题关键是注意利用数形结合的思想求解.

17、-1

【解题分析】

先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解.

【题目详解】

V4a+3b=l,

AXa+6h=2,

8a+6b-3=2-3=-l；

故答案为：・L

【题目点拨】

本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)52-2X4=42+1；(2)(w+1)2-2w=w2+l,证明详见解析.

【解题分析】

(1)根据①②③的规律即可得出第④个等式；

(2)第〃个等式为(〃+1)2-2〃=〃2+1,把等式左边的完全平方公式展开后再合并同类项即可得出右边.

【题目详解】

(1)V22-2xl=l2+l(l)

32-2x2=2?+l②

42-2x3=341③

工第④个等式为52-2x4=42+1,

故答案为：52-2X4=42+1,

(2)第〃个等式为(w+1)2-2H=W2+1.

(M+1)2-2〃=层+2〃+1-2W=W2+1.

【题目点拨】

本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.

19、(1)当OVxWl时，PD=l-x,当IV烂14时,PD=x-l.

-；x+12(5VxW8)

(2)y=<2x-16(8<x<9)；(3)5<x<9

24R

--x2+yx-88(9<x<14)

【解题分析】

(1)分点P在线段CD或在线段AD上两种情形分别求解即可.

(2)分三种情形：①当5<x<l时，如图1中，根据y=JSADPB,求解即可.②当1<在9时，如图2中，根据y=ySADPB,

求解即可.③9Vx514时，如图3中，根据y=§AAPQ+SAABQ-SAPAB计算即可.

(3)根据(2)中结论即可判断.

【题目详解】

解：⑴当OVxWl时，PD=l-x,

当1VXS14时，PD=x-l.

(2)①当5$烂1时，如图1中,

.\OD=OB,

111,、3,、3

*.y=­SADPB=­x—•(1-x)*6=—(1-x)=12--x.

22222

②当lVx89时，如图2中，y=-SDPB=-xl

A(x-1)xl=2x-2.

222

③9VxW14时，如图3中,y=SAAPQ+SAABQ-SAPAB=—・(14・x)•一(x-4)+—xlx—(tx-4)--x1x(14-x)=--x2+—x-11.

2525255

图3

-12(5WxV8)

综上所述，y=〈2x-16(8<x<9)

74R

-1x2+yx-88(9<x<14)

(3)由(2)可知：当5±W9时，y=；SABDP.

【题目点拨】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想

思考问题，属于中考常考题型.

20、(1)30x,y,50y；(2)商场购进A型台灯2盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875

元.

【解题分析】

(1)设商场应购进/4型台灯x盏，表示出3型台灯为)，盏，然后根据“A,8两种新型节能台灯共100盏”、“进货款

=A型台灯的进货款+8型台灯的进货款”列出方程组求解即可；

(2)设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根

据一次函数的增减性求出获利的最大值.

【题目详解】

解：(1)设商场应购进A型台灯x盏，则5型台灯为『盏，根据题意得：

x+y=]OO

30x+50y=3500

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯2盏.

故答案为30x；y；50j；

(2)设商场应购进A型台灯x盏，销售完这批台灯可获利j元，则严(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+l-204

-5x+l,即产・5x+L

•IB型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，・・・100-烂3x,・••於2・

•・Z=-5V0,y随x的增大而减小，・・・x=2时，y取得最大值，为-5x2+1=1875(元).

答：商场购进A型台灯2盏，3型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元.

【题目点拨】

本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，(2)

题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键.

21、(1)见解析(2)见解析

【解题分析】

(1)由三角形中位线知识可得DF〃BG,GH〃BF,根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形；

(2)连结BH,交AC于点O,利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH,OF=OG,又AF=CG,所以OA=OC.再

根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解.

【题目详解】

(1)•・•点F、G是边AC的三等分点，

AAF=FG=GC.

又丁点D是边AB的中点，

ADH/7BG.

同理：EH〃BF.

:.四边形FBGH是平行四边形，

连结BH,交AC于点O,

AOF=OG,

AAO=CO,

VAB=BC,

/.BH±FG,

，四边形FBGH是菱形；

(2)•・•四边形FBGH是平行四边形,

ABO=HO,FO=GO.

XVAF=FG=GC,

AAF+FO=GC+GO,即：AO=CO.

.••四边形ABCH是平行四边形.

VAC±BH,AB=BC,

，四边形ABCH是正方形.

【题目点拨】

本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键.

22、(1)-；(2)证明见解析；(3)-=

24n4

【解题分析】

(1)利用相似三角形的判定可得ABCESACAESABAC,列出比例式即可求出结论：

(2)作DH//CF交AB于H,设4E=。，贝ij3E=W,根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,

然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可得出结论；

(3)作于”，根据相似三角形的判定可得AAEG-ACE4,列出比例式可得4炉=EG・EC,设CG=3a,

AE=2a,EG=xf即可求出x的值，根据平行线分线段成比例定理求出瓦):8C=D”:CE：=5:8,设8D=AD=5b,

BC=8b,CD=3b,然后根据勾股定理求出AC,即可得出结论.

【题目详解】

(1)如图1中，当帆=2时，BC=2AC.

cDB

图1

•:CEtAB,ZACB=90°,

/.^BCE^CAE^ABAC,

.CEAC_AE\

"~EB~~BC~~EC~29

:.EB=2ECfEC=2AE,

.AE1

••——♦

EB4

故答案为：—■>了.

24

(2)如图1一1中，作DHHCF交.AB千H.

••.tanNB=-=-----=—，tanNACE=tanNB=-----=—

BEBC2CE2

/.BE=2CE,AE=-CE

2

/.BE=4AE,BD=2CD»设AE=a,则,

DH//AC,

BHBD合

二.——=——=2,

AHCD

55?

/.AH--aEH--a-a--a

3f33f

DH//AF,

EF_AE_ci_3

•••DE--a2,

3

3

:.EF=-DE,

2

(3)如图2中，作。于〃.

图2

.Z4CB=ZC£B=90°,

7ACE+/ECU=90°,7R+/F.CR=90。,

/.ZACE=ZB,

DA=DBf

ZEAG=ZBf

:.ZEAG=ZACEt

ZAEG=ZAEC=9(rf

/.AAEG^ACEA,

AE?=EG・EC,

3

-CG=^AEf设CG=3。，AE=2atEG=x,

则有4a2=x(xi3a),

解得工=。或Ta(舍弃)，

EG1

tanZ.EAG=tanZACE=tanZ.B==—,

AE2

:.EC=^i,EB=E,AB=M

DA=DB,DHtAB,

AH=HB=5a,

:.DH=-a

2f

'、DHIICE,

..BD:BC=DH:CE=5:8,^BD=AD=5btBC=8b,CD=3b,

在RtAACD中，AC=VA52^CDI=4Z?»

...AC:CD=4:3t

inAC=nDC,

AC:CD=〃：〃?=4:3,

in3

••—=-,

n4

【题目点拨】

此题考查的是相似三角形的应用和锐角三角函数，此题难度较大，掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比

例定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

o77

23、(1)1;(1)-^-<m<3>/5.

【解题分析】

(1)在RtAABP中利用勾股定理即可解决问题；

(