河南省郑州市市级2024届中考数学最后一模试卷含解析

河南省郑州市市级名校2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图钓鱼竿AC长6昨露在水面上的鱼线8C长3忘而，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15。

到4。的位置，此时露在水面上的鱼线方C长度是（）

A.参加本次植树活动共有30人B.每人植树量的众数是4棵

C.每人植树量的中位数是5棵D.每人植树量的平均数是5棵

3.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设NCAB=a,那么拉

线BC的长度为（）

DB

sinacosatanacot。

23

4.方程一；=—的解是

x—1X

A.3B.2C.1D.0

5.已知圆内接正三角形的面积为36,则边心距是（）

A.2B.1C.百D.—

6.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90。后得到△AB'U（点B的对应点是点B，，点

C的对应点是点C，，连接CC.若NCUB，=32。，则NB的大小是（）

7.欧几里得的《原本》记载，形如犬+以=廿的方程的图解法是：画HAABC,使NAC3=90,BC=-,AC=b,

2

再在斜边AB上截取BD=-.则该方程的一个正根是（）

2

A.AC的长B.AD的长C.的长D.CD的长

8.计算-2+3的结果是（）

A.1B.-1C.-5D.-6

9.下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（）

31

A.y=x2B.y=x-1C.y=~xD.y=_

x

10.二次函数y=ax?+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=£在同

一平面直角-坐标系中的图象可能是（）

11.人的头发直径约为0.00007m,这个数据用科学记数法表示（）

A.0.7x104B.7x105C.0.7xl04D.7x10s

12.如图，在五边形ABCDE中，NA+N3+NE=300。，尸分别平分NEOC、ZBCD,则N尸的度数是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图,AB为。O的直径,BC为。。的弦，点D是劣弧AC上一点，若点E在直径AB另一侧的半圆上,且NAED=27。,

则NBCD的度数为

—11—Sv

14.若代数式的值不小于代数式一丁的值，则x的取值范围是

56

15.抛物线y=-x?+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是

vn

16.抛物线y=x2-4x+3与x轴的一个交点的坐标为（1,0）,则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是

17.计算：（4）-1-（5-TT）°=.

2

18.如果正比例函数y=（左-3）x的图像经过第一、三象限，那么左的取值范围是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知抛物线-4与X轴交于点A,6（点A位于点5的左侧），。为顶点，直线y=x+/n经过

点A,与7轴交于点n求线段的长；平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为若新抛物线经

过点。，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线C。平行于直线AO,求新抛物线对应的函数表达式.

20.(6分)如图，儿童游乐场有一项射击游戏.从。处发射小球，将球投入正方形篮筐O4BC.正方形篮筐三个顶点

为A(2,2),B(3,2),D(2,3).小球按照抛物线y=-飞行.小球落地点P坐标(〃，0)

(1)点C坐标为;

(2)求出小球飞行中最高点N的坐标(用含有"的代数式表示)；

(3)验证：随着”的变化，抛物线的顶点在函数y=*2的图象上运动；

(4)若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出〃的取值范围.

21.(6分)阅读下列材料:

题目：如图，在△ABC中，已知NA(ZA<45°),ZC=90°,AB=1,请用sinA、cosA表示sin2A.

22.(8分)如图，过点A(2,0)的两条直线4，分别交y轴于B,C,其中点B在原点上方，点C在原点下方,

已知AB=V13.

h

B卜

\li求点B的坐标；若△ABC的面积为4,求〃的解析式.

23.（8分）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、

B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表:

每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金

A地区18001600

B地区16001200

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数

关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种

方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.

24.（10分）为上标保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、3港口分别运送100吨和50吨生活物资.B

知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

运费（元/台）

港解4乙座

A港1420设从甲仓库运送到A港

B港I。8

口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；求出最低费用，并说明费用

最低时的调配方案.

25.（10分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）

绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.

学生立定跳远测试成绩的频数分布表

分组频数

1.2<x<1.6a

1.6<x<2.012

2.0<x<2.4b

2.4<x<2.810

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：表中a=,b=,样本成绩的中位数落在范围内；

请把频数分布直方图补充完整；该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4Wx<2.8范围内的学

生有多少人？

学生立定蚓随测试成绩的频数分布直方图

26.（12分）已知关于x的一元二次方程（机-1）*2+（m_4口-3=0（加为实数且m/1）.求证：此方程总有两个实数

根；如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数机的值.

27.（12分）某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的

2倍.具体情况如下表：

甲种乙种丙种

进价（元/台）120016002000

售价（元/台）142018602280

经预算，商场最多支出132000元用于购买这批电冰箱.

（1）商场至少购进乙种电冰箱多少台？

（2）商场要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数.为获得最大利润，应分别购进甲、乙、丙电冰箱多少台？

获得的最大利润是多少？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

因为三角形ABC和三角形A3，。均为直角三角形，且3C、沙。都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求

出NCA3,进而得出NOAH的度数，然后可以求出鱼线戌。长度.

【题目详解】

M...„BC3A/2A/2

解：.sinZCAB=------=-------=------

AC62

.,.ZCAB=45°.

ZC'AC^15°,

：.ZC'AB'=60°.

..,ftOB'CV3

..sm60=------=——，

62

解得：B'C'=3yf3.

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.

2、D

【解题分析】

试题解析：A、V4+10+8+6+2=30（人），

,参加本次植树活动共有30人，结论A正确；

B、V10>8>6>4>2,

•••每人植树量的众数是4棵，结论B正确；

C、1•共有30个数，第15、16个数为5,

...每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；

D、V（3x4+4x10+5x8+6x6+7x2）-30=4.73（棵），

,每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确.

故选D.

考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数.

3、B

【解题分析】

根据垂直的定义和同角的余角相等，可由NCAD+NACD=90。，NACD+NBCD=90。，可求得NCAD=NBCD,然后在

「•加CDh

RtABCD中cosZBCD=——，可得BC=---------------=---------.

BCcos/BCDcosa

故选B.

点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.

4、A

【解题分析】

试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解：去分母

得：2x=3x-3,解得：x=3,

经检验x=3是分式方程的解.故选A.

5、B

【解题分析】

根据题意画出图形，连接4。并延长交3c于点。，则设无，由三角形重心的性质得AO=3x,利用锐

角三角函数表示出的长，由垂径定理表示出3c的长，然后根据面积法解答即可.

【题目详解】

如图，

连接A0并延长交于点。，则

设OD=x,贝!|AD=3x,

BD

VtanZ.BAD=---,

AD

:.BD=tan30°*AZ)=百x,

：.BC=2BD=2y/jx,

-：-BCAD=3y/3,

2

1厂r-

/.—x2y/3xx3x=3y/39

/.x=l

所以该圆的内接正三边形的边心距为1,

故选B.

【题目点拨】

本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确

题意，求出相应的图形的边心距.

6、C

【解题分析】

试题分析：由旋转的性质可知，AC=ACSVZCACMO0,可知△CA。为等腰直角三角形，贝!]

NCC'A=45°.'：ZCC'B'=32°,，NC'B'A=NC'CA+NCC'B'=45°+32°=77°,；NB=NC'B'A,：.ZB=77°,故选C.

考点：旋转的性质.

7、B

【解题分析】

【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出45的长，进而求得AO的长，即可发现结论.

【解答】用求根公式求得：v=;x,="

1222

AD的长就是方程的正根.

故选B.

【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.

8、A

【解题分析】

根据异号两数相加的法则进行计算即可.

【题目详解】

解：因为23异号,且卜2|V|3|,所以-2+3=1.

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

9、D

【解题分析】

A、、•••y=x2,.•.对称轴x=0,当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减

小，故此选项错误

B、k>0,y随x增大而增大，故此选项错误

C、B、k>0,y随x增大而增大，故此选项错误

D、y=-(x>0),反比例函数，k>0,故在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项正确

X

10、C

【解题分析】

b

试题分析：.••二次函数图象开口方向向下，・・・aV0,•・•对称轴为直线％=-丁>0,・・・b>0,・・•与y轴的正半轴相交,

2a

c

.•.c>0,y=ox+人的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=—图象在第一三象限，只有C选项图象符合.故

x

选C.

考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象；3.反比例函数的图象.

11、B

【解题分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO?与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【题目详解】

解：0.00007m,这个数据用科学记数法表示7xl0-i.

故选:B.

【题目点拨】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl0n,其中心回<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

12、A

【解题分析】

试题分析：根据五边形的内角和等于540。，由/A+NB+NE=300。，可求NBCD+NCDE的度数，再根据角平分线的

定义可得NPDC与NPCD的角度和，进一步求得NP的度数.

解：•五边形的内角和等于540。，ZA+ZB+ZE=300°,

:.ZBCD+ZCDE=540°-300°=240°,

VZBCD.NCDE的平分线在五边形内相交于点O,

/.ZPDC+ZPCD=-(ZBCD+ZCDE)=120°,

2

/.ZP=180°-120°=60°.

故选A.

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、117°

【解题分析】

连接AD,BD,利用圆周角定理解答即可.

【题目详解】

连接AD,BD,

A

；AB为。。的直径，

/.ZADB=90°,

；NAED=27。，

:.ZDBA=27°,

...NDAB=90°-27°=63°,

:.ZDCB=180°-63o=117°,

故答案为117°

【题目点拨】

此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理解答.

11

14、x>—

一43

【解题分析】

根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得.

【题目详解】

e33x-l、l-5x

解：根据题意，得：--一2—-一，

56

6（3x-1）>5（1-5x）,

18x-6>5-25x,

18x+25x>5+6,

43x>ll,

11

x>—,

43

故答案为XN二.

【题目点拨】

本题主要考查解不等式得基本技能，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.

15、-3<x<l

【解题分析】

试题分析：根据抛物线的对称轴为x=-L一个交点为（1,0）,可推出另一交点为（-3,0）,结合图象求出y>0时,

x的范围.

解：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为X=-1,已知一个交点为（1,0）,

根据对称性，则另一交点为（-3,0）,

所以y>o时，X的取值范围是-3<x<L

故答案为-3<x<l.

考点：二次函数的图象.

16、（3,0）

【解题分析】

把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标.

【题目详解】

把点（1,0）代入抛物线y=x2-4x+,中，得m=6,

所以，原方程为y=x2-4x+3,

令y=0，解方程X2-4X+3=0,得XI=LX2=3

二抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）.

故答案为（3,0）.

【题目点拨】

本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与x轴交点坐标的求法.本题也可以用根与系数关系直接求解.

17、1

【解题分析】

分别根据负整数指数塞，0指数幕的化简计算出各数，即可解题

【题目详解】

解：原式=2-1

=1,

故答案为1.

【题目点拨】

此题考查负整数指数塞，0指数募的化简，难度不大

18、k>l

【解题分析】

根据正比例函数丫=(k-1)x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可.

【题目详解】

因为正比例函数丫=(k-1)x的图象经过第一、三象限，

所以k-l>0,

解得：k>l,

故答案为：k>l.

【题目点拨】

此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数丫=(k-1)x的图象经过第一、三象限解答.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)1«^/2；(1)J—x1-4x+lj=x,+6x+l.

【解题分析】

(1)解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；

(1)设新抛物线对应的函数表达式为：y=xl+bx+l,根据二次函数的性质求出点。的坐标，根据题意求出直线C。

的解析式，代入计算即可.

【题目详解】

解：(1)由*1-4=0得，处=-1,xi—1,

•点A位于点5的左侧，

AA(-1,0),

,直线y=x+/n经过点A,

:.-l+m=O,

解得，机=1,

点。的坐标为(0,1),

,40=slOA^+OD2=10；

(1)设新抛物线对应的函数表达式为：y=x1+bx+l,

bb~

y=xi+bx+l=(x+—)1+l--,

24

bb2

则点。的坐标为(--,1-幺)，

24

•••CO平行于直线AO,且经过C(0,-4),

...直线CO的解析式为：y=x-4,

•1b'-b4

42

解得，bi--4,61=6,

二新抛物线对应的函数表达式为：y=R-4x+l或y=*i+6x+l.

【题目点拨】

本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是

解题的关键.

„2711

20、(1)(3,3)；(2)顶点N坐标为(一n，—)；(3)详见解析；(4)-<n<—.

2423

【解题分析】

(1)由正方形的性质及A、B、D三点的坐标求得AD=BC=1即可得；

(2)把(0,0)(n,0)代入y=-x2+bx+c求得b=n、c=0,据此可得函数解析式，配方成顶点式即可得出答案；

(3)将点N的坐标代入y=x2,看是否符合解析式即可；

(4)根据“小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐"知：当x=2时y>3,当x=3时y<2,据此列出关于n的不

等式组，解之可得.

【题目详解】

(1)'：A(2,2),B(3,2),D(2,3),

：.AD=BC=1,则点C(3,3),

故答案为：(3,3)；

(2)把(0,0)(%0)代入y=-x2+bx+c得：

c=0

—n2+加+c=0

b-n

解得：<

c=Q9

nn乙

...抛物线解析式为y=-，+”x=.(x__)2+_,

24

2

•••顶点N坐标为(一，—)；

24

nnn2

(3)由(2)把x=—代入了=必=(—)2=ZL,

224

抛物线的顶点在函数>=好的图象上运动；

-4+2n>3

(4)根据题意，得：当x=2时y>3,当x=3时y<2,即｛八°，

-9+3n<2

“711

解得：T<n<,

23

【题目点拨】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及将实际问题转化为二

次函数的问题能力.

21、sin2A=2cosAsinA

【解题分析】

先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出CE==，ZCED=2ZA,最后用三角函数的定义即可得出结论

【题目详解】

解:如图，

作RtAABC的斜边AB上的中线CE,

则CE=^AB=L=AE,

-22

.\ZCED=2ZA,

过点C作CD±AB于D,

在RtAACD中，CD=ACsinA,

在RtAABC中,AC=ABcosA=cosA

CDACsinA

在RtACED中，sin2A=sinZCED=CE1=2ACsinA=2cosAsinA

2

AEDB

【题目点拨】

此题主要解直角三角形，锐角三角函数的定义，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，构造出直角三角形和

ZCED=2ZA是解本题的关键.

22、(1)(0,3)；(2)y=-x—1.

一2

【解题分析】

(1)在RtAAOB中，由勾股定理得到OB=3,即可得出点B的坐标；

(2)由SUBCM'BOOA,得到BC=4,进而得到C(0,-1).设4的解析式为V=履+。，把A(2,0),C(0,-1)

代入即可得到4的解析式.

【题目详解】

(1)在R3AOB中，

O^+OB2=AB2,

2

:.22+OB=(A/13)2,

.\OB=3,

，点B的坐标是(0,3).

(2)•••LcfcPA,

1

—BCx2=4,

2

/.BC=4,

AC(0,-1).

设L的解析式为、=区+6，

2k+b=0

把A(2,0),C(0,-1)代入得：｛

•••/2的解析式为是丁=5%—1.

考点：一次函数的性质.

23、(1)y=200x+74000(10<x<30)

(2)有三种分配方案，

方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；

方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；

方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；

(3)派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金

最高.

【解题分析】

(1)根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式；

(2)根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题；

(3)根据(1)中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题.

【题目详解】

解：(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为(30-x)台，派往A、B地区的

甲型联合收割机分别为(30-x)台和(x-10)台，

.,.y=1600x+1200(30-x)+1800(30-x)+1600(x-10)=200x+74000(10<x<30)；

(2)由题意可得，

200x+74000>79600,得xR8,

.\28<x<30,x为整数，

，x=28、29、30,

有三种分配方案，

方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；

方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；

方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；

(3)派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金

最高，

理由：•.,y=200x+74000中y随x的增大而增大，

...当x=30时，y取得最大值，此时y=80000,

二派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最

高.

【题目点拨】

本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和不等式的性质解答.

24、(1)j=-8x+2560(30<x<l)；(2)把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的

全部运往3港口.

【解题分析】

试题分析：(1)设从甲仓库运x吨往A港口，根据题意得从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，从乙仓库运往A港口

的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运

往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简，即可得总运费y(元)与x(吨)

之间的函数关系式；由题意可得它0,8-x>0,x-30>0,100-x>0,即可得出x的取值；(2)因为所得的函数为一次函数,

由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=I时，y最小，并求出最小值，写出运输方案.

试题解析：(1)设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有(1-x)吨，

从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50-(1-x)=(x-30)吨，

所以y=14x+20+10(1-x)+8(x-30)=-8x+2560,

x的取值范围是30WxSL

(2)由(1)得y=-8x+2560y随x增大而减少，所以当x=l时总运费最小，

当x=l时，y=-8x1+2560=1920,

此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B