河南省部分学校2024届高三5月份大联考数学试卷(含答案)

2024届高三年级5月份大联考

数学试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡

上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若zi3=l—&i，则目=（）

A.lB，76c.V7D.3

2.某市2024年5月份第一周的每日最高气温（单位：C）分别为25,27,31,29,33,28,26,则这周的日最高

气温的第30百分位数为（）

A.31.5B.29C.28.5D.27

3.若方程+（1—加）/=1_〃表示焦点在彳轴上的椭圆，则（）

A.-l<m<lB.0<m<l

C.-l<m<0D.-1<切<0或Ovnzvl

4.已知｛%,｝为正项等比数列，若想出,联12023是函数/（x）=3f—12X+9的两个零点，则6%024=（）

A.10B.104C.108D.1012

5.袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母2个标有字母。.甲先从袋中随机摸一个球，摸出

的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母。的球的概率分别为Pi，P2,贝1H）

A.Pi=P2B.2Pl=3P2

C.P］=3p2D.2P1=。2

6.若函数的定义域均为［a,。］,且则"叫••加2"是句，/（%）.遇（》）"的

1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.在直角坐标系xOy中，已知质点A从点（1,0）处出发以Irad/s沿着单位圆逆时针方向运动，后质点B也

从点（1,0）处出发以2rad/s沿着单位圆顺时针运动.设在8运动fs后，质点分别位于人,稣处，若第二次

出现。^，。稣，贝"=（）

兀5兀3兀11

A.—B.C.—D.—71

1212412

8.在四棱锥V—ABCD中，若ABfBC=叵CD=BDA=l，其中.VBD是边长为2的正三角形，则

73

四棱锥V-ABGD外接球表面积的最小值为（）

“326兀n16兀16兀

2793

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知｛。,可口｛1,2,3｝,（。,，）€｛（%,丁）|丁=%+1｝,贝1|2。"的值可以为（）

A.2B.64C.256D.1024

io.关于（J7-%）7的展开式，下列判断正确的是（）

A.展开式共有7项

B.展开式的各二项式系数的和为128

C.展开式中含了5的项的系数为-49

D.展开式的常数项为3

n.已知函数/（X）=11«心（%）为〃%）的反函数，若/（x）、g（x）的图象与直线y=T交点的横坐标分别为

，则（）

A.%2>1叫B.西+%2=0

D.%-元2G[L；+ln2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若aw[0,逋），且cosa+

yfisina=4sinacosa，则sina=

2

v2

13.已知双曲线c：。—=1（。〉0,。〉0）的左、右焦点分别为耳,心，过耳的直线与C的两条渐近线分别交

a

于1轴上方的A5两点，。为原点，若直线Q4垂直平分5耳，则

7T

14.在“C中，已知ASC的对边分别为〃，"c,A=—乃=2。=2,。为区4延长线上一点，直线/平分

6

NCAD,且与直线交于E,贝U|AE『=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，

只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞

聘，已知各关通过与否相互独立.

543

（1）若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为一,一,一，求小李成功竞聘的概率P；

654

（2）统计得10000名竞聘者的得分X~N（420.5,10.752）,试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四

舍五人取整）

附：若随机变量X~N（〃,cr2）,则？（〃—成人〃+70.6827,2（〃—2扇渡//+2cr）«0.9545

16.（本小题满分15分）

如图，在正四棱柱ABC。—A4G2中，E为BCD的重心，棱Ad上的点/满足4尸=

（1）求证：4E〃平面5£甲；

（2）若A3=AE=3,求EQ与平面3D尸所成角的正弦值.

17.（本小题满分15分）

在/ABC-中，角A,3,C的对边分别为〃、Z?、c,且。cos5+2acosA+灰x）sC=0.

3

(1)求A；

7T

(2)如图所示，。为平面上一点，与A3C构成一个四边形A3QC,且/5DC=—,若c=2b=2,求AD

3

的最大值.

18.(本小题满分17分)

在直角坐标系xOy中，已知a=(4,y),/?=(x,—y),且a.b=0.

(1)求点v(x,y)的轨迹r的方程;

(2)由圆好+V=炉上任一点N(%,为)处的切线方程为/x+%>=R?，类比其推导思想可得抛物线

2

C:y=2Px(p>0)上任一点N5,为)处的切线方程为为y=p(x0+x).现过直线x=—3上一点P(不在

s

X轴上)作r的两条切线，切点分别为Q,A,若P。,PR分别与X轴交于与，求70的取值范围.

>PQR

19.(本小题满分17分)

已知函数g(x)=lnx+/nx+l.

(1)当根<0时，求g(%)的单调区间；

(2)当加=1时，设正项数列｛七｝满足：菁=L当+i=g(%)，

①求证：1;

2

n(J、

②求证：£ln1H--<1.

◎I%"

2024届高三年级5月份大联考

数学参考答案及解析

一、选择题

4

1.B【解析】依题意，2=二但=匕叵=上乎=/?+1,则忖=布.故选B.

1—1—1

2.D【解析】将七日的气温数据从小到大排序为25,26,27,28,29,31,33,7x0.3=2.1,则第30百分位数为

第3个数27.故选D.

2222

3.C【解析】椭圆(加+1)/+(1—加)/=1—机2,即椭圆=匚+二二=1,所以方程^_+二」=1表

1—mm+11—mm+1

示焦点在x轴上的椭圆等价于1一机＞加+1＞0,解得，一1＜根＜0.故选C.

4.B【解析】因为坨出，坨。2023是/(x)=3f—12x+9的两个零点，所以坨。2+坨。2023=4，所以

lg(a2a2023)=4，所以a2a2023=1°4，故。1。2024=104,故选B.

3

5.A【解析】设A为“甲摸到标有字母。的球"，8为"乙摸到标有字母。的球"，则Pl=P(A)=g,

___32233

而P2=P(B)=P(BA)+P(BA)=P(B\A)P(A)+P(剧A)P(A)--x-+-x-=-,故2=必.故选A.

6.A【解析】由已知得，/(x)叫m,?g(x),所以/(x)..g(x),所以充分性成立；

/(x)=-2x(x-2),g(x)=-x(x-2),xe[0,2],则X/xe[0,2],/(%)..g(x)成立，当/(%)..0,

g(X),,1,即班=0,m2=1，不满足明.•祖2，所以必要性不成立.故选A.

7.B【解析】由已知得，B运动fs后4,稣的坐标分别为卜ost+a],sin)+,(cos(-2/),sin(-2。)，

0+cos(-2?)+sin[/+T

因为。'，。稣，所以cossin(-2f)=0,所以cosl3z+-^-1=0,所以

jrjrjrl{TT5冗

3/H—=—I■防[(左eN),所以1=1(左wN),取左=1得方=—.故选B.

4212312

8.C【解析】因为43=同。=巫0)="。4=1,所以A3=1,3C=受,CD=巫,2X4=6，

7322

所以•2+")2=302+82=3。2,所以ABLAD.BCLCD,所以四边形A5CD必存在一个外接圆,

且圆心为的中点设为。-设外接球的球心为。，则。。1，平面A5CD,设。。1=x,过。作与平面

的垂线，垂足设为E，则E为r.HBD的中心，且。必位于底面A5CD的上方，设OE=y,外接球的半径为

r,则厂2=12+x2=[j]+/,所以所以X*,当且仅当y=0时，即。与后重合

5

4167c

时，外接球表面积取得最小值为4兀产=4X—TI=——.故选c.

33

二、多选题

9.AC【解析】当a=l时，由(a,，)w{(x,y)|y=x+”得b=2,满足丘{1,2,3},所以2“"=21=2；当。=2

时，由(a,b)w{(x,y)|y=x+l}得3=3,满足be{1,2,3},所以2『=28=256，当a=3时，由

(a,h)e{(x,y)|y=x+l}得〃=4,不满足{1,2,3},综上，则严=2或256.故选AC.

10.BD【解析】展开式共有7+1=8项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为27=128,故B正确；展

开式的通项公式为4+]=C；(J7)7f(―幻，=C；(—1).(、斤)7一，/,则含了5的项的系数为

C；(—1)5(近广5=—147,故C错误；展开式的常数项为(#_0)7=7上故D正确.故选BD.

11.BCD【解析】由题意得％+1叫=0,廿+々=0,十+々=0可变形为e巧+lne巧=0，又为+111^=0,

令/z(x)=x+lnx,则,又/z(x)=x+lnx在(0,+8)上单调递增，故俨=再，所以々=1叫，

所以A错误；由e”2+9=0可得，%+元2=0,所以B正确；由于

h{-}=—+ln—=--ln2=Inyfe-ln2<0,/z(l)=l>0,结合/z(x)=x+lnx在(0,+a)上单调递增，由零

1J222

点存在性定理得!<%<1,故C正确；%一%2=%T%，令r(x)=xTnY，则/(x)=l-L因为工<石<1，

2九2

所以<0,所以r(玉)在;<西

<1时单调递减，所以广。)<r(西)<，所以1<r(xj<；+ln2,即1<玉—x2<%+ln2,所以D正确.

故选BCD.

三、填空题

12.；【解析】已知cosa+Qsina=4sinacosa，所以2sin[tz+=2sin2a,即sin[(z+%]=sin2a,

因为a€(0,1^],所以&+56(5，萼]，2[€(0,^^]，所以a+殳=2a,故1=工,sina=1.故答案为

[18)61^69；19；6622

13.且【解析】因为。4垂直平分8耳，所以/A0K=/A03,又NAOg/BOF2,所以

3-

IT7T

ZAOFX=ZAOB=ZB0F2=-,故/A/O=—,因为Q4〃5鸟，所以5耳，58，所以

6

耨=tan/"°=ta吗=].故答案为当

X^7-T1

14.8-473【解析】因为b>c,所以E点位于射线CB的延长线上，由平面几何知识得，——=—=2,

BEc

所以AE=AC+CE=AC+2C5=AC+2(AB—AC)=2AB—AC,所以

\AE『=44笈+4。2—4A3・AC=4+4—4xlx2x#=8—4行故答案为8—4收

四、解答题

15.解：（1）设4：第，次通过第一关测试，Bj：第，次通过第二关测试，C：一次性通过第三关测试，（1分）

因为各关通过与否相互独立，

所以p=+P（A44。）+P（4

+p（A//修。）=尸（A）P（5JP（C）+P（A）尸（4）尸（6）尸©+尸（4）尸（瓦）尸（四）尸（。）

+尸（即尸（4）尸（瓦）尸（四）尸（。

„54315435143151437

654665465546655410

（2）由题意可知，X~N（420.5,10.75）,

则b=10.75,442-420.5=21.5=2b,

1-P(〃-2或•〃+2b)

尸(X〉〃+2cr)=

2

1-0.9545

=0.02275,

2

10000x0.02275=227.5。228，

所以得分在442分以上的竞聘者约有228人.

16.解：（1）设ACcBD=O,连接EO,如图,

因为底面A5CD为正方形，EeAC,且E为.BCD的重心,

7

所以EO=，QA,

3

因为所以9=£2=!，

“3FAOA3

所以AE//FO,

因为\E<z平面BDF,FOu平面BDF,

所以4E〃平面BDE.

(2)以直线AB,AD,A&分别为x,%z轴建立空间坐标系,

由已知得，5(3,0,0),D(0,3,0),F(0,0,3),

所以6。=(-3,3,0),BF=(-3,0,3),

设平面BDF的一个法向量为n=(%,y,z),

—3x+3y=0,

所以《~c八令X=L则y=l,z=l,

—3光+3z=0,

所以“=(1,1,1),

由题意可知AR=1，则A(0,3,4),£(2,2,0),

所以硝=(—2,1,4),

设ED］与平面BDF所成的角为9,

\n-ED\|3|不

所以sin£=—I----r=—1==--.

\n\\ED{\V3xV217

所以ED,与平面BDF所成角的正弦值为立

7

8

17.解：（1）因为久os5+%zcosA+灰x）sC=O,

由正弦定理得，sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC=0,

所以2sinAcosA+sin（5+C）=0,

所以2sinAcosA+sinA=0,

因为sinAwO,

所以cosA二一工,

2

因为A£（0,兀）,

2兀

所以4二下.

3

（2）在一A5c中，由余弦定理得，

a=ylc2+尸-2cbcosA

=,+仔―2x2xlx[—J

2兀71

因为/区4。+/80。=——+—=兀，

33

所以四边形A3OC存在一个外接圆0,

°R=a=币=2®

所以圆。的直径为而——充一二-,

sin——

3

因为AD,,2R,即A。,，

3

故AO的最大值为拽L

3

18.解：（1）因为无6=0，所以4x—y2=0,

整理得y2=4x,所以点〃的轨迹r的方程为＞2=4x.

（2）设P（-3,r）（r本0）,。（石,％）,我（孙%）,

由题可知，PQ方程为xy=2（x+xJ,当y=0时，x=,所以2（—七,0）,

将点P（-3,r）带入yy=2（x+石）,得见=2（-3+XJ,

同理可得月（―9，°），=2（-3+9），

9

所以。(石,乂),尺(孙％)的坐标均满足方程W=2(-3+X),

所以直线QR的方程为yt=2(-3+x),

即2%=Zy+6,

由卜=4%，整理得，丁―2(y—12=0,

2%=9+6,

1=4(产+12)>0,且%+%=2/,%%=T2,

所以磔|=，+(£)bi-y2|

=和2+4)(/+12)，

—6—r—6t2+12

点P到直线QR的距离为d=I,I

VW"+4

所以s+12)J『+12,

因为0(-七,。),4(一%2，°)，

所以|。内|=归—X2I=—2x2|

SPQ内=。国IW=+12,

2

sPQAt_12

所以/+12——广+12,

VPQR

产12

因为two,所以——e(o,l),所以1—F——e(o,l).

t2+12v'r+12v7

19.解：(1)g(x)=lnx+mx+l的定义域为(0,+。),

,(、1mx+1

g(%)=—+m=-----,

xx

当m<0时，令g'(%)=0,可得％=,

m

10

当0<x<—上时，g'(x)>O,g(x)单调