湖北省黄冈市2024-2025学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

湖北省黄冈市2024-2025学年高一下学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.（5分）已知各项均为正数的等比数列｛aj,a1a2a3=5,a7a8a9=10,贝!）a4a5a6=O

A.5A/2B.7C.6D.472

2.(5分)对于实数a,b,c,下列命题正确的是()

A.若a>b,贝！Iac?>bc2B.若aVbVO,JI!!ja2>ab>b2

C.若aVbVO,则工<工D.若aVbVO,则上〉总

abab

3.(5分)已知直线li：x+2ay-1=0,与I2：(2a-1)x-ay-1=0平行，则a

的值是()

A.0或1B.1或1C.0或1D.」

444

B.22C

3

6.(5分)关于直线m,n与平面a,B,有以下四个命题:

①若m〃a，n//B且a〃B,则m〃n；

②若m±a,n_LB且aJ_B,则m±n；

③若m±a,n//B且a〃B,则m±n；

④若m〃a,n_LB且aJ_B,则m〃n；

其中真命题的序号是()

A.①②B.③④C.①④D.②③

7.(5分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=«bc,

sinC=2\QsinB,则A=()

A.30°B.60°C.120°D.

150°

8.(5分)已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线1：y=k(x-2)+1与线段

AB没有交点，则k的取值范围是()

A.B.kW-2C.k>=，或kV-2

D.-24k《J

.22_0；22

9(5分)设等差数列瓜｝满意‘I"3cos__产再二=1,公差de(-

sin(.a4+a5)

1,0),当且仅当n=9时，数列｛aj的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项出

的取值范围()

A.(121,")B.C.(12L,空)D.

6332

10.（5分）若正实数a,b满意a+b=l,则（）

A.工」有最大值4B.ab有最小值。

ab4

C.通+五有最大值RD.a?+b2有最小值退

2

’0<x<«

11.（5分）点M（x,y）是不等式组.y<3表示的平面区域Q内的一动点,

.x<Vsy

且不等式2x-y+m，0恒成立，则的取m值范围是（）

A.m23-2MB.m23C..m，0D.

m^l-2-./3

12.（5分）如图，正方体ABCD-ABCD的棱线长为1,线段BD上有两个动点

E,F,且EF=1则下列结论中错误的是（）

B.EF〃平面ABCD

C.三棱锥A-BEF的体积为定值

D.异面直线AE,BF所成的角为定值

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的

相应位置.

13.（5分）经过点P（3,-1）,且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍

的直线1的方程是.

14.（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积恰好与半球的体

积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是.

15.（5分）ZkABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知NA=60°,a=«,

b=x.若满意条件的三角形有两个.则x的范围是.

16.（5分）已知数列｛aj满意a=33,an+1-an=2n,则0的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤

17.（10分）已知关于x的不等式ax?-3x+2W0的解集为｛x|lWxWb｝.

（1）求实数a,b的值；

（2）解关于x的不等式：三二£>0（c为常数）.

ax-b

18.（12分）设公差不为0的等差数列｛4｝的首项为1,且a。，a6,碗构成等比

数列.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（II）若数列瓜｝满意旦+出…+殳=1」nGN*,求｛bj的前n项和L.

ala2an2n

sinA+sinB

19.（12分）4ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanCz：>

cusA+cosB

sin(B-A)=cosC.

(1)求A,C；

(2)SAABC=3+V3»求a,c.

20.(12分)已知直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0.

(1)证明：直线恒过定点；

(2)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？

(3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A.B两点，求aAOB面积的最小值

及此时直线的方程.

21.(12分)A、B两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的须

要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地.已知从A仓库调运到甲、乙两地

的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分

别为100元/万个、150元/万个.问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小

值是多少？

22.(12分)已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是

腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.

(1)求此几何体的体积V的大小；

(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;

(3)求二面角A-ED-B的正弦值.

湖北省黄冈市2024-2025学年高一下学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.（5分）已知各项均为正数的等比数列｛aj,aia2a3=5,a7a8a9=10,贝!ja4a5a6=O

A.5^2B.7C.6D.472

考点：等比数列.

3

分析：由数列｛aj是等比数列，则有aia2a3=5=a2J5；a7a8a9=10=>a8=10.

3

解答：解：aia2a3=5=>a2=5;

a7a8a9=10==10,

a5,=a2a8，

,a卜a会350，'a4a5a6=ag=5&，

故选A.

点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数塞的运算、根式与指数式的互化

等学问，着重考查了转化与化归的数学思想.

2.（5分）对于实数a,b,c,下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝!|ac2>bc?B.若aVbVO,贝!]a,AabAb?

C.若aVbVO,则工〈工D.若aVbVO,.则也>总

abab

考点：命题的真假推断与应用.

专题：阅读型.

分析：选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项推断，得出正确结

果.

解答：解：A,当c=0时，有ac"bc2故错.

B若aVbVO,贝！|a"ab=a(a-b)>0,a2>ab；ab-b2=b(a-b)>0,ab

>b2,a2>ab>b2故对

C若aVbVO,取a=-2,b=-1,可知」>」,故错.

ab

D若aVbVO,取a=-2,b=-1,可知也故错

ab

故选B.

点评：本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法.

3.（5分）已知直线li：x+2ay-1=0,与I2：（2a-1）x-ay-1=0平行，则a

的值是（）

A.0或1B.1或。C.0或。D.工

444

考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系.

专题：计算题；分类探讨.

分析：先检验当a=0时，是否满意两直线平行，当a#0时，两直线的斜率都

存在，由2-1二一二二,解得a的值.

a2a-1

解答：解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，

它们的方程分别是x=l,x=-l,明显两直线是平行的.

当aWO时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，

由空二1TW二，解得：a=L

a2a-14

综上，a=0或工，

4

故选：C.

点评：本题考查两直线平行的条件，要留意特别状况即直线斜率不存在的状

况，要进行检验.

2

4.（5分）已知x>2,则函数y=x-4x+W的最小值是（）

x-2

A.5B.4C.8D.6

考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义.

专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用.

分析：依据分式函数的特点，进行整理，结合基本不等式的性质即可得到结论.

22

解答：解：y=x-4x+8=(x-2)+4=—2)

x-2x-2x-2

Vx>2,.*.x-2>0,

则由基本不等式可得y=(x-2)+」-2力(x-2).」一二2a=4,

x-2yx-4

当且仅当x-2=，_,即x-2=2,解得x=4时取等号，

x-2

故函数的最小值为4,.

故选：B

点评：本题主要考查函数最值的求解，利用分式函数的特点，结合基本不等式

是解决本题的关键.

5.(5分)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()

考点：由三视图求面积、体积.

专题：计算题；空间位置关系与距离.

分析：依据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个全

等的三棱锥，由此求出它的体积.

解答：解：依据几何体的三视图，得；

该几何体是棱长为2的正方体，在相对的两个顶点处各截去一个直三棱锥,

，该几何体的体积为

23-2xlxAxi2Xl=23.

323

故选：A.

点评：本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了空间想象实力与计算实力

的应用问题，是基础题目.

6.(5分)关于直线m,n与平面a,B,有以下四个命题:

①若m〃a,n〃B且a〃B,则m〃n；

②若m±a,n±B且a_LB,则m±n；

③若m±a,n〃B且a〃B,则m±n；

④若m〃a,n±B且aJ_B,则m〃n；

其中真命题的序号是()

A.①②B.③④C.①④D.②③

考点：空间中直线与平面之间的位置关系.

分析：依据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行

分析，易得到答案.

解答：解：若m〃a,n〃B且a〃B,则m,n可能平行也可能异面，也可以

相交，故①错误；

若m±a,n_LB且a,则m,n肯定垂直，故②正确;

若m_La,n〃B且a〃B,则m,n肯定垂直，故③正确；

若!11〃(1,且a，B,则m,n可能相交、平行也可能异面，故④错误

故选D.

点评：推断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共

点)；②利用线面平行的判定定理(aua,bCa,a〃b=a〃a)；③利用面面

平行的性质定理(a〃B,aua=a〃B)；④利用面面平行的性质(a〃B,

ada,ad,a〃a=a〃B).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面

垂直，这条直线就垂直于平面内全部直线，这是找寻线线垂直的重要依据.垂

直问题的证明，其一般规律是“由己知想性质，由求证想判定”，也就是说，

依据已知条件去思索有关的性质定理；依据要求证的结论去思索有关的判定定

理，往往须要将分析与综合的思路结合起来.

7.(5分)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=Tbc,

sinC=2，、/^sinB,则A=()

A.30°B.60°C.120°D.

150°

考点：余弦定理的应用.

专题：综合题.

分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可

求得A.

解答：解：VsinC=2V3sinB,，c=2«b,

Va2-b2=V3bc,.•.COSA/2+C2T=2®一氏=近

2bc2bc2

TA是三角形的内角

.•.A=30°

故选A.

点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题.

8.(5分)已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线1：y=k(x-2)+1与线段

AB没有交点，则k的取值范围是。

A.B.kW-2C.k*或k<-2

D.-

考点：两条直线的交点坐标.

专题：直线与圆.

分析：由已知条件画出图象并求出直线1与线段AB相交的条件，进而即可求

出答案.

解答：解：如图所示：

由已知可得1^=3=-2，人口=匚二

1-2-2-22

由此可知直线1若与线段AB有交点，则斜率k满意的条件是

或kN-2.

因此若直线1与线段AB没有交点，则k满意以下条件:

k>X或kV-2.

2

故选C

点评：娴熟驾驭直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键.

-22_122

naC0Sa

9.(5分)设等差数列｛aj满意‘I"——63=i＞公差de(-

sin(a4+a5)

b0),当且仅当n=9时，数列｛aj的前n项和权取得最大值，求该数列首项e

的取值范围()

A.(I2L,")B.C.(如，空)D.

6332

考点：数列与三角函数的综合.

专题：等差数列与等比数列.

分析：由已知条件推导出sin(a?-ae)=1,或sin(a3+a§)=0,由仅当n=9时,

数列｛4｝的前n项和S0取得最大值，推导出&产-工区.由此能求出该数列首项

%的取值范围.

.22_22

解答：解：•••等差数列区｝满意sm㊀3cos__nJ6cos』

sin(a4+a5)

(sina3cosa6-sina6cosa3)(sina3cos%+sina6cosa)

=sin(a3+a6)=(sina3cosa6+sina6cosa3),

/.sina3cosa6-sina6cosa3=L

即sin(a3-a6)=L或sin(a3+a6)=0(舍)

当sin(a3-a6)=1时，

a?--3d£(0,3),为-@6=2k兀k£Z,

2

-3d=2L,d=-21.

26

且仅当n=9时，数列｛aj的前n项和Sn取得最大值,

_d

，--^—^=9,化为=-3.

2X-f312

故选：C.

点评：本题综合考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数的平方关系和

倍角公式、特别角的三角函数等基础学问与基本技能方法，属于难题.

10.（5分）若正实数a,b满意a+b=l,则（）

A,工」有最大值4B.ab有最小值。

ab4

C.通+近有最大值后D.a?+.b2有最小值至

2

考点:基本不等式.

专题:计算题.

分析:由于工」=出3足2+也-N4,故A不正确.

ababab

由基本不等式可得a+b=lN2后，可得ab^l,故B不正确.

由于F+瓜）2=1+2后W2,故黑+瓜＜圾,故C正确•

由a2+b2=（a+b）2-2ab，l-1=A,故D不正确.

22

解答：解：•••正实数a,b满意a+.b=l,

.•.工」=亘也3±=2+［了22+2=4,故工」有最小值4,故A不正确.

abababab

由基本不等式可得a+b=122收，.,.abWL故ab有最大值L故B不正确.

44

由于（7^+Vb）2=a+b+2后=1+2日＜2,:.黑+瓜£如,故「+立有最大

值为证,故C正确.

*.,a2+b2=（a+b）2-2ab=l-2ab^l-1=1,故a'+b?有最小值工，故D不正确.

222

故选：C.

点评：本题考查基本不等式的应用，留意检验等号成立的条件，式子的变形是

解题的关键，属于基础题.

’0<x<«

11.(5分)点M(x,y)是不等式组，y<3表示的平面区域Q内的一动点,

且不等式2x-y+m，0恒成立，则的取m值范围是()

A.mN3-2、”B.mN3C.m，0D.-

2M

考点：简洁线性规划.

专题：不等式的解法及应用.

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将不等式恒成立转化为求

最值问题，即可得到结论.

解答：解：若2x-y+mNO总成立om2y-2x总成马上可，

设2=丫-2*,即求出z的最大值即可，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=y-2x得y=2x+z,

平移直线y=2x+z,由图象可知当直线经过点C(0,3)时，直线的截距最大，

此时z最大，

此时z=3-0=3,

点评：本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转换为求目标函数的最

值是解决本题的关键.

12.(5分)如图，正方体ABCD-ABCD的棱线长为1,线段BD上有两个动点

E,F,且EF=1则下列结论中错误的是()

B.EF〃平面ABCD

C.三棱锥A-BEF的体积为定值

D.异面直线AE,BF所成的角为定值

考点：棱柱的结构特征.

专题：空间位置关系与距离.

分析：利用证线面垂直，可证AC_LBE；推断A正确；

依据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而推断B正

确；

依据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可推断C正

确；

例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，依据大小不同推断D错误.

解答：解：•在正方体中，AC±BD,平面BDDB,BEu平面BDDB,

.*.AC±BE,故A正确；

•.•平面ABCD〃平面ABCD,EFu平面ABCD,；.EF〃平面ABCD,故B正确；

,.•EF=1.•.△BEF的面积为定值。XEFX1=1又AC，平面BDDM，A0为棱

224

锥A-BEF的高，，三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确；

•.•利用图形设异面直线所成的角为a,当E与Di重合时sina=La=30°；当

2

F与R重合时tana=1.•.异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；

2

故选D.

点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性

质，考查了学生的空间想象实力及作图分析实力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的

相应位置.

13.(5分)经过点P(3,-1),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍

的直线］的方程是x+2y-1=0或x+3y=0.

考点：直线的截距式方程.

专题：直线与圆.

分析：设直线1在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,当a=0时，b=0,

当aWO时，a=2b,由此利用题设条件能求出直线1的方程.

解答：解：设直线1在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,

当a=0时，b=0,

此时直线1过点P(3,-1),0(0,0),

，直线1的方程为：工二，整理，得x+3y=0；

x3

当aHO时，a=2b,

此时直线1的斜率k=-A=-1,

2b2

，直线1的方程为:y+l=-1（x-3）,

2

整理，得x+2y-1=0

故答案为：x+2y-1=0或x+3y=0.

点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意不要丢

解.

14.（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积恰好与半球的体

积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是其

5

考点：球的体积和表面积；余弦定理；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.

专题：计算题.

分析：设圆锥的半径为R,高为H,母线与轴所成角为0,求出圆锥的高，利

用体积相等，求出20的余弦值即可.

解答：解：设圆锥的半径为R,高为H,母线与轴所成角为9,则圆锥的高

H=R・ctg0

圆锥的体积Vi=2nR2・H=1nR3ctge

33

333

半球的体积V2=2JTR，:%=V2即：1nRctg0=2JTRctg0=2

333

cos20=3

5

故答案为：3.

5

点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球

的体积和表面积，考查计算实力，是基础题.

15.(5分)AABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知NA=60°,a=灰,

b=x.若满意条件的三角形有两个.则x的范围是(«,2).

考点：正弦定理.

专题：解三角形.

分析：由已知条件A的度数，a及b的值，依据正弦定理用x表示出sinB,由

A的度数及正弦函数的图象可知满意题意4ABC有两个B的范围，然后依据B的

范围，利用特别角的三角函数值即可求出sinB的范围，进而求出x的取值范围.

解答：解：由正弦定理得：即.我。=J，

sinAsinBsin60sinB

变形得：sinB=3,

2

由题意得：当BG(60°,120°)时，满意条件的AABC有两个，

所以近VZV1,解得：M<X<2,

22

则a的取值范围是(册,2).

故答案为：(M，2).

点评：此题考查了正弦定理及特别角的三角函数值.要求学生驾驭正弦函数的

图象与性质，牢记一特别角的三角函数值以及敏捷运用三角形的内角和定理这个

隐含条件，属于基本学问的考查.

16.(5分)已知数列瓜｝满意a=33,an+1-an=2n,则亘的最小值为型.

n2

考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用.

专题：计算题；压轴题.

分析：由累加法求出4=33+1?-n,所以亘二驾n-l，设f(n)=驾n-l，由

nnn

此能导出n=5或6时f(n)有最小值.借此能得到之的最小值.

n

2

解答：解：an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+…+(a2-ai)+ai=2+33=33+n-n

所以亘

nn

设f(n)=^+n-l，令f'(n)=—^+l>0,

nn2

则f(n)在(每，+8)上是单调递增，在(0,V33)上是递减的，

因为nWN+,所以当n=5或6时f(n)有最小值.

又因为里里，里丝驾

55662

所以目的最小值为0:区

n62

点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数推断函

数单调性，考查了同学们综合运用学问解决问题的实力.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤

17.(10分)已知关于x的不等式ax2-3x+2W0的解集为｛xllWxWb｝.

(1)求实数a,b的值；

(2)解关于x的不等式：三二£>0(c为常数).

ax-b

考点：一元二次不等式的解法.

专题：计算题；不等式的解法及应用.

分析：(1)由题意知1,b为关于x的方程ax2-3x+2=0的两根，由韦达定理

可得方程组，解出即可；

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,依据对应方程的根2、c的大小关系

分三种状况探讨可得；

解答：解：(1)由题意知1,b为关于x的方程ax?-3x+2=0的两根，

则&,b=2.

l+b=-

a

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0,

所以：当c>2时解集为｛x|x>c或xV2｝；

当c=2时解集为｛x|xW2,xER)；

当c<2时解集为｛x|x>2或x<c｝.

点评：该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间

的关系是解题关键.

18.(12分)设公差不为0的等差数列｛4｝的首项为1,且a2,a5,碗构成等比

数列.

(I)求数列｛aj的通项公式；

(II)若数列仇｝满意B1+&+...+殳nGN*,求｛bj的前n项和

ala2an2n

考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合.

专题：综合题；等差数列与等比数列.

分析：(I)设等差数列｛aj的公差为d(dWO),由a2,a5,a,构成等比数列

得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a0；

(II)由条件可知，n，2时，显1-工-(1-」_)=-L,再由(I)可求

an2n2n72n

得也，留意验证n=l的情形，利用错位相减法可求得I；

解答：解：(I)设等差数列｛aj的公差为d(dWO),

•2,a$,a”构成等比数列，

，a2=aa,即(l+4d)2=(1+d)(l+13d),

5214

解得d=0(舍去)，或d=2.

/.an=l+(n-1)X2=2n-1.

(II)由已知，nWN*,

an2n

当n=l时,

ai2

当n22时，-A-

an2n

.•.星J_,nFN*.

an2n

由(I),知aEn-Ln£N*,

2n

.•.bn=~nGN*.

nn

1

又Tn=l+-^-+-^-+•••+^!—一,

222232n

贝！)1T„=_+_2_+…+4n-1

222232n2n+1

两式相减,得蚪+专学.嗑„一,

/.Tn=3-2n+2.

2n

点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中

档题.

sinA+sinB

19.(12分)Z^ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC^>

cosA+cosB

sin(B-A)=cosC.

(1)求A,C；

(2)若SAABC=3+T，求a,c.

考点：余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用.

专题：计算题.

分析：（D先依据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可

得到3内角的正弦关系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案.

（2）先依据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案.

解答：解：（1）因为七3n‘二旦过皿

cosA+cosB

所以左边切化弦对角相乘得到

sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

所以sin(C-A)=sin(B-C).

所以C-A=B-C或C-A="-(B-C)(不成立)

即2C=A+B,C=60°,

所以A+B=120°,

又因为sin(B-A)=cosC=L

2

所以B-A=30°或B-A=150°(舍),

所以A=45。，C=60°.

(2)由(1)知A=45°，C=60°.,.B=75°；.sinB=&+&

4

依据正弦定理可得」即：年f.a喜©

sinAsinCV2虫V3

___22

S=AacsinB=工又率2*正电=3+5

22V34

.,.c2=12.\0=273

'a春©=2正

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式

的应用.对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆.

20.(12分)已知直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0.

(1)证明：直线恒过定点；

(2)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？

(3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A.B两点，求aAOB面积的最小值

及此时直线的方程.

考点：点到直线的距离公式；恒过定点的直线.

专题：计算题；转化思想.

分析：(1)证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；

(2)点Q(3,4)到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最

大值.

(3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A.B两点，设出直线的方程，求出

A,B,然后求出aAOB面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程.

解答：(1)证明：直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0,可化为(2x+y+4)

+m(-x+2y+3)=0,对随意m都成立，所以「、+2"3=0,解得卜二-1,所以

2x+yH=02

直线恒过定点(-1,-2)；

(2)解：点Q(3,4)到直线的距离最大，

可知点Q与定点(-1,-2)的连线的距离就是所求最大值，

即d(3+1)(4+2)X2氏.

(3)解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A.B两点，直线方程为y+2=k

(x+1),k<0,

则A(2-1，0),B(0,k-2),

k

-=--

SAAOB=—I--11|k21—(—1)(k2)=2+(————)22+2=4,当且仅当

2k2k-k2

k=-2时取等号，面积的最小值为4.

此时直线的方程为2x+y+4=0.

点评：本题是基础题，考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应

用，考查计算实力，转化思想.

21.(12分)A、B两仓库分别有编织袋50万个和30万个