2024年新高考数学一轮复习-空间点线面之间的位置关系（学生版）

专题42空间点、线、面之间的位置关系

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关

系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

【考点预测】

1.与平面有关的基本事实及推论

⑴与平面有关的三个基本事实

基本事实内容图形符号

A,B,C三点不共线今

基本过不在一条直线上的三个

存在唯一的a使4属

事实1点，有且只有一个平面/.A

CGa

如果一条直线上的两个点在

基本A^l,BG1,且/Ga,

一个平面内，那么这条直线

事实2/BQa=dua

在这个平面内

如果两个不重合的平面有一

基本pea,且尸e£0an

个公共点，那么它们有且只

事实30=1,且—

有一条过该点的公共直线

(2)基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外一

推论1

点，有且只有一个平面

经过两条相交直线，有且只有一确定平面的依

推论2

个平面据

经过两条平行直线，有且只有一

推论3

个平面

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

符号

a//ba//aa//0

语言

图形

相交语言…才

关系符号

aC\b=AaPla-AanB=1

语言

图形

/=^

独有语言

关系符号a,6是

aua

语言异面直线

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：己知a,6是两条异面直线，经过空间任意一点。作直线，//a,b'//b,把/与〃所成的角

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：［0,=.

【常用结论】

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成

的角，也可能等于其补角.

【方法技巧】

1.共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.

(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.

(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

2.点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.

3.求异面直线所成的角的三个步骤

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

4.作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

5.作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

二、【题型归类】

【题型一】平面的基本性质

【典例1］如图所示，在正方体/a34AG2中，E,尸分别是/方和24的中点，求证：E,C,4,尸四点共

面.

【典例2】(多选)如图，在长方体46。-46K"中，。是的的中点，直线4。交平面G初于点必则下列

结论正确的是()

A.G,M,。三点共线^

B.Q,M,0,C四点共面,4'

C.G,0,4,〃四点共面I

D.",D,0,〃四点共面,［一

A--------吊

【典例3］如图，空间四边形463中，E,6分别是力6,皿的中点，G,〃分别在9CD上,且加：GC=

DH'.HC=\：2.

(1)求证：E,F,G,〃四点共面;

⑵设£6与9交于点尸，求证：P,A,C三点共线.

【题型二】空间两直线的位置关系

【典例1】如图，点”为正方形4?5的中心，为正三角形，平面故心平面〃是线段功的中

点，贝1()

A.BM=EN,且直线题,睥是相交直线

B.BM^EN,且直线题EV是相交直线

C.BM=EN,且直线掰可是异面直线

D.BM^EN,且直线掰可是异面直线

【典例2】已知空间三条直线，，m,n,若，与0异面，且，与〃异面，贝!J（)

A.m与n异面

B."与〃相交

C."与〃平行

D."与〃异面、相交、平行均有可能

【典例3］如图，正方体/反7461Gq中，M,“分别为棱ac的中点，有以下四个结论:

①直线与CG是相交直线;

②直线4〃与脚是平行直线;

③直线BN与形是异面直线;

④直线■与2®是异面直线.

其中正确的结论是（注：把你认为正确的结论的序号都填上）.

【题型三】求两条异面直线所成的角

【典例1］如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱〃中，44=2/8=2,则异面直线

46与4〃所成角的余弦值为（）

12

-B-

A.C55

34

--

5D.5

【典例2】在长方体"阅%中，AB=BC=1,44=/,则异面直线9与Z®所成角的余弦值为（）

A1R逆「亚口也

5652

【典例3】在正方体抽切一46K"中，户为的中点，则直线如与/〃所成的角为（）

JIJIJI兀

A.-B.-C.-D.—

2346

【题型四】空间几何体的切割（截面）问题

【典例1］在正方体加切一4合04中，M,“分别是棱2®和能上的点，NB=^BB\,那么正方体

中过弘儿G的截面图形是（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

【典例2】（多选）正方体力a/一/山G”的棱长为2,已知平面aVAQ,则关于。截此正方体所得截面的

判断正确的是（）

A.截面形状可能为正三角形

B.截面形状可能为正方形

C.截面形状可能为正六边形

D.截面面积最大值为队回

【典例3］如图，正方体4C的棱长为1,点〃在棱4〃上，AiM=2MDl,过〃的平面。与平面4阅平行，

且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为.

三、【培优训练】

【训练一】平面。过正方体/比》/出G"的顶点4。〃平面/以aC平面力及力=如an平面ABB4

=n,则勿，〃所成角的正弦值为（）

A④

A.2B口.亚2C,.亚3D.31

【训练二】已知直四棱柱/及的棱长均为2,/曲左60°.以“为球心，十为半径的球面与侧面

BCCB的交线长为.

【训练三】如图，E,F,G,〃分别是空间四边形/8切各边上的点，且/£：EB=AH：HD=m,CF：FB=CG：GD

n.

(1)证明：E,F,G,〃四点共面；

⑵m,〃满足什么条件时，四边形龙诩是平行四边形?

(3)在(2)的条件下，若AC1BD,试证明：EG=FH.

【训练四】如图1,在边长为4的正三角形46c中，D,尸分别为46,4C的中点，£为/〃的中点.将△板

与分别沿切，鳍同侧折起，使得二面角力一斯一，与二面角6一切一£的大小都等于90°,得到如图

2所示的多面体.

(1)在多面体中，求证：A,B,

(2)求多面体的体积.

【训练五】如图1,在边长为4的正三角形/及;中，D,b分别为/氏4C的中点，£为/〃的中点.洛丛BCD

与分别沿⑺,绪同侧折起，使得二面角力一用一。与二面角6一切一£的大小都等于90°,得到如图

2所示的多面体.

图1图2

(1)在多面体中，求证：A,B,D,£四点共面;

(2)求多面体的体积.

【训练六】如图，在四棱锥产一48⑦中，底面/及力为正方形，边长为4,£为46的中点，皿平面/及/.

(1)若△处3为等边三角形，求四棱锥P—46劈的体积；

⑵若切的中点为R阳与平面A6切所成角为45°,求用与/，所成角的正切值.

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知直线a和平面a,£,aCB=1,afta,闻£,且a在a,£内的射影分别为直线6和c,则直

线6和c的位置关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

2.在四面体48切中，点£,F,G,〃分别在直线段，AB,CD,BC上,若直线反和面相交，则它们的交

点一定（）

A.在直线龙上B.在直线4?上

C.在直线/上D.都不对

3.如图所示，平面an平面8=1,Jea,BGa,ABC1=D,CGS,637,则平面26c与平面£的交

线是（）

Pc

直线/CB.直线46

直线CDD.直线8c

4.如图，在三棱柱/跖46储中，底面三角形48c是正三角形，£是"?的中点，则下列叙述正确的是（）

CEB

A.约与多£是异面直线

B.GC与熊共面

C./£与6c是异面直线

D.熊与61G所成的角为60°

5.已知直线R平面a,直线0U平面a,给出下面四个结论：①若/与勿不垂直，则，与。一定不垂直；

②若/与0所成的角为30°,则/与。所成的角也为30°；③/〃〃是/〃。的必要不充分条件；④若/

与。相交，则，与"一定是异面直线.其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图，在正方体力6绥HB'CD'中，平面。垂直于对角线/C',且平面。截得正方体的六个表面

得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S,周长为/,贝心）

A.S为定值，，不为定值B.S不为定值，，为定值4，/A

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值OLZ.IL

7.如图，已知线段垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上的两点，〃是点8在/C上的射影，当点C运动

时，点〃运动的轨迹（）

A.是圆B.是椭圆

C.是抛物线D.不是平面图形

8.如图，点N为正方形46（力的中心，为正三角形,平面aZ4平面加切,〃是线段旗的中点，则（）

A.BM=EN,且直线题EV是相交直线

B.BM^EN,且直线题即是相交直线

C.BM=EN,且直线题EV是异面直线

D.BM^EN,且直线题以V是异面直线

【多选题】

9.四棱锥夕一48切的所有棱长都相等,M,"分别为以，切的中点，下列说法正确的是（)

A.MN与加是异面直线

B.椒■〃平面PBC

C.MN//AC

D.MN1PB

10.下图中，G,N,M,〃分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直

线掰蛇是异面直线的图形有（）

11.如图所示，在正方体力宽9一4笈G”中,。是的中点，直线4C交平面ABiB于点、M,则下列结论正

确的是（）

A4,M,。三点共线B.A,M,0,4共面

C.A,M,C,。共面D.8,5,0,〃共面

兀AEAr

12.如图，已知二面角/—初一C的大小为丁，G,〃分别是8C,5的中点，E,b分别在4）,上，—

0AuAD

=1,且力心平面70,则以下说法正确的是（）

A.E,F,G,〃四点共面

B.刀G〃平面ADC

C.若直线囚6,庞交于点R则RA,C三点共线

D.若的面积为6,则△9的面积为3

【填空题】

13.已知在直三棱柱49C—4瓜&中，ZABC=120°,AB=2,BC=CG=1,则异面直线45与阅所成角的余

弦值为.

14.在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为.（填序号）

①过平面a外的两点，有且只有一个平面与平面a垂直；

②若平面£内有不共线三点到平面a的距离都相等，则a〃£；

③若