重庆市2024届中考四模数学试题含解析

重庆市八中达标名校2024届中考四模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.二次函数y=/-6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1,0）,则另一个交点的坐标为（）

A.（-1,0）B.（4,0）C.（5,0）D.（-6,0）

2.下列命题正确的是（）

A.内错角相等B.-1是无理数

C.1的立方根是±1D.两角及一边对应相等的两个三角形全等

3.下列调查中适宜采用抽样方式的是（）

A.了解某班每个学生家庭用电数量B.调查你所在学校数学教师的年龄状况

C.调查神舟飞船各零件的质量D.调查一批显像管的使用寿命

4.如图，在。ABC。中，AC,30相交于点。，点E是。4的中点，连接5E并延长交于点尸，已知SAAEF=4,

A尸1

则下列结论：①一=-;②SABCE=36；③SAABE=12；（4）AA£F-AACD,其中一定正确的是（）

FD2

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

5.下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（）

A.(1)(2)D.(3)(4)

6.从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）

①

②③④

A.①B.②C.③D.④

7.在函数y=J7+U中，自变量x的取值范围是（)

A.B.x<0C.x=0D.任意实数

8.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不

低于5%,则至多可打（）

A.6折B.7折

C.8折D.9折

9.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路1的距离，在A点测得/9£>=30。，在C点测得NHCE>=60°,又测

得AC=50米，则小岛B到公路1的距离为（）米.

100百

A.25B.25下D.25+256

3

10.小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点4,再走上坡路到达点8,最后走下坡路到达学校，小明骑自行

车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间f（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平

路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：

①小明家距学校4千米；

②小明上学所用的时间为12分钟；

③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；

④小明放学回家所用时间为15分钟.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

xy

11.化简：——・4一，结果正确的是（）

x-yx+y

22

x+y22

A.1B.~~22c.D・X+)

%-yx+y

12.若关于x的一元二次方程（a-1）/+x+1-1=0的一个根是0,则a的值是（）

A.1B.-1C.1或--1D.-1

2

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五,

值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊

每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程为.

14.在平面直角坐标系中，若点P（2x+6,5x）在第四象限，则x的取值范围是；

15.要使分式j有意义，则x的取值范围为.

X—1

16.分解因式2x?+4x+2=.

17.正五边形的内角和等于____度.

18.已知直线y=2x+3与抛物线＞=2--3》+1交于A（Xp%）,B（x2-%）两点，贝!_____-

X1十1X2十1

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在R3ABC中，ZB=90°,点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C,过点C

作直线MN,使NBCM=2NA.判断直线MN与。O的位置关系，并说明理由；若OA=4,ZBCM=60°,求图中阴影

部分的面积.

1,

20.(6分)如图，抛物线y=—gd+bx+c经过点A(-2,0),点B(0,4).

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)P是抛物线对称轴上的点，联结A3、PB,如果NP50=N8A0,求点尸的坐标；

(3)将抛物线沿y轴向下平移机个单位，所得新抛物线与y轴交于点。，过点。作OE〃x轴交新抛物线于点E,射

线EO交新抛物线于点八如果E0=20尸，求机的值.

21.(6分)综合与实践——折叠中的数学

在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究.

问题背景：

在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE=DF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在

点C，处，点D落在点D，处，射线EC，与射线DA相交于点M.

猜想与证明：

(1)如图1,当EC，与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；

操作与画图：

(2)当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形(要求：尺规作图，不写作法，保留作

图痕迹，标注相应的字母)；

操作与探究：

(3)如图3,当点M在线段DA延长线上时，线段分别与AD,AB交于P,N两点时，CE与AB交于点Q,

连接MN并延长MN交EF于点O.

求证：MOJ_EF且MO平分EF；

(4)若AB=4,AD=4若，在点E由点B运动到点C的过程中，点D，所经过的路径的长为.

22.（8分）如图，在矩形ABC。中，对角线AC的垂直平分线E尸分别交AO、AC.BC于点E、0、F,连接CE和

AF.

（1）求证：四边形AEC尸为菱形；

（2）若A8=4,BC=8,求菱形AECP的周长.

23.（8分）某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元.该门市为促销制定了两

种优惠方案：

方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；

方案二：按购买金额打八折付款.

某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x（x220）件.

⑴分别直接写出优惠方案一购买费用力（元）、优惠方案二购买费用1，2（元）与所买乙种商品x（件）之间的函数关系式；

⑵若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件.设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的

优惠办法购买.请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠.

24.（10分）某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P

处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.

已知AB_LBD、CD±BD,且测得AB=1.2m,BP=1.8m.PD=12m,求

图①图②

该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：请你设计一个测量这段古城墙高度的方案.

要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法.

25.（10分）如图，AB是。O的直径，ZBAC=90°,四边形EBOC是平行四边形，EB交。O于点D,连接CD并延

长交AB的延长线于点F.

（1）求证：CF是。O的切线；

（2）若NF=30。，EB=6,求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和兀）

26.（12分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.

（1）求证：ADCE^ABFE；

（2）若AB=4,tan/ADB=』，求折叠后重叠部分的面积.

2

27.（12分）绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图:

设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当16Wx<20时为“基本称职”，

当20心<25时为“称职”，当1之25时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：补全折线统计图和扇形统计图；求

所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励

标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能

获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解题分析】

根据二次函数解析式求得对称轴是x=3,由抛物线的对称性得到答案.

【题目详解】

解：由二次函数y=6x+〃2得到对称轴是直线％=3,则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，

•••其中一个交点的坐标为（1,0），则另一个交点的坐标为（5,0）,

故选C.

【题目点拨】

考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质.

2、D

【解题分析】解：A.两直线平行，内错角相等，故A错误；

B.-1是有理数，故B错误；

C.1的立方根是1,故C错误；

D.两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确.

故选D.

3、D

【解题分析】

根据全面调查与抽样调查的特点对各选项进行判断.

【题目详解】

解：了解某班每个学生家庭用电数量可采用全面调查；调查你所在学校数学教师的年龄状况可采用全面调查；调查神

舟飞船各零件的质量要采用全面调查；而调查一批显像管的使用寿命要采用抽样调查.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了全面调查与抽样调查：全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、

耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关

系到对总体估计的准确程度.

4、D

【解题分析】

*一1

•.•在。ABC。中，AO=-AC,

2

•••点E是04的中点，

.1

•.AE=—CE)

3

,JAD//BC,

:.△AFEs^CBE,

.AF_AE

••3C-CE-3'

"：AD=BC,

1

'.AF=—AD,

3

AF1十”

，——二—;故①正确；

FD2

SAEF,AF1

VSAAEF=4,2

SBCEBC9

:.SABCE=36；故②正确；

,,EF_AE1

*~BE~~CE_3,

.SAEF__1

,•二

.".SAABE=12,故③正确；

,.•3F不平行于CO,

：./\AEF与公ADC只有一个角相等，

...△AE歹与△AC£＞不一定相似，故④错误，故选D.

5、B

【解题分析】

根据三视图的定义即可解答.

【题目详解】

正方体的三视图都是正方形，故(1)不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故(符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，(3)符合题意;

三棱锥主视图是、左视图是,俯视图是三角形，故（4）不符合题意;

故选B.

【题目点拨】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

6、C

【解题分析】

根据正方形的判定定理即可得到结论.

【题目详解】

与左边图形拼成一个正方形，

正确的选择为③，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了正方形的判定，是一道几何结论开放题，认真观察，熟练掌握和应用正方形的判定方法是解题的关键.

7、C

【解题分析】

当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.据此可得.

【题目详解】

解：根据题意知｛c

-x>0

解得：x=0,

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量

可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数

为非负数.

8、B

【解题分析】

设可打X折，则有1200X--800>800x5%,

10

解得xNL

即最多打1折.

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2.解答本题的关键是

读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%,列不等式求解.

9、B

【解题分析】

解：过点B作BELAD于E.

■:ZBCD=60°,tanZBCE=——,

CE

..CE——x9

3

在直角△中，米，

ABEAE=A/3X>AC=50

贝！IV3x一x=50,

3

解得X=25G

即小岛B到公路1的距离为256，

故选B.

10、C

【解题分析】

从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡（45段）、下

坡（3到学校段）的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可求解.

【题目详解】

解：①小明家距学校4千米，正确；

②小明上学所用的时间为12分钟，正确；

③小明上坡的速度是U=°-2千米/分钟，错误；

8-3

④小明放学回家所用时间为3+2+10=15分钟，正确；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象

得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一.

11、B

【解题分析】

先将分母进行通分，化为(x+y)(x-y)的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.

【题目详解】

xy_x2+xyxy-y2_x2+y2

x-yx+y(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)x2-y2

【题目点拨】

本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.

12、B

【解题分析】

根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方程(a-l)x2+x+a2-l=0得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可

【题目详解】

把x=0代入方程(。-l)f+x+/_1=0得/_1=0,解得a=±i.

•原方程是一元二次方程，所以a—1/0,所以awl,故a=—l

故答案为B

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

5x+2y=10

13、＜"

2x+5y=8?

【解题分析】

【分析】牛、羊每头各值金X两、y两，根据等量关系：“牛5头，羊2头，共值金10两”，“牛2头，羊5头，共值

金8两”列方程组即可.

【题目详解】牛、羊每头各值金X两、y两，由题意得：

5x+2y=10

2x+5y=8

5x+2y=10

故答案为：＜

2x+5y=8

【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.

14、-3<x<l

【解题分析】

根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负可得出答案.

【题目详解】

•点P(2x-6,x-5)在第四象限,

\2x+6>0

(5x<0

解得故答案为

【题目点拨】

本题考查了点的坐标、一元一次不等式组，解题的关键是知道平面直角坐标系中第四象限横、纵坐标的符号.

15、

【解题分析】

由题意得

故答案为存1.

16、2(x+1)2o

【解题分析】

试题解析：原式=2(x2+2x+l)=2(x+1)2.

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

17、540

【解题分析】

过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形

/.正五边形的内角和=3x180=540。

9

8

、5-

【解题分析】

b

将一次函数解析式代入二次函数解析式中，得出关于X的一元二次方程，根据根与系数的关系得出“X।+X2=—

a

5c

=-,X「X2=—将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论.

2a

【题目详解】

222—

将y=2x+3代入至!]y—2x—3x+1中得，2,x+3-2.x—3x+1，整理得，2x—5x—2=0)xl+x2=—,xxx2—1,

5+2

.11_x+1+^+1_(石+%)+229

.•I-2.---------------------------——-----------------

X]+(11+%2)+

X]+lx2+l+l)(x2+1)1_]+,+]5

「一—2

【题目点拨】

此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19-,(1)相切；(2)--------4-\/3.

3

【解题分析】

试题分析：(1)MN是。O切线，只要证明NOCM=90。即可.(2)求出NAOC以及BC,根据S阴=5扇形OAC-SAOAC

计算即可.

试题解析：(1)MN是。O切线.

理由：连接OC.

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

VZBOC=ZA+ZOCA=2ZA,ZBCM=2ZA,

.,.ZBCM=ZBOC,

VZB=90°,

.,.ZBOC+ZBCO=90°,

.,.ZBCM+ZBCO=90°,

/.OC±MN,

；.MN是。O切线.

(2)由(1)可知NBOC=NBCM=60C

.\ZAOC=120°,

在RTABCO中，OC=OA=4,NBCO=30°,

ABO=-OC=2,BC=2J3

2

；・S阴=3扇形OAC

考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算.

1,7

20、(1)y=--x-+x+4；(2)P(1,-);(3)3或5.

【解题分析】

1,

(1)将点A、B代入抛物线y=-+法+。，用待定系数法求出解析式.

PGBO

(2)对称轴为直线x=L过点P作PGLy轴，垂足为G,由NPBO=NBAO,得tanNPBOhan/BAO,即——=——,

BGAO

可求出P的坐标.

1

(3)新抛物线的表达式为y=—万厂9+X+4—巾，由题意可得Z>E=2,过点歹作轴，垂足为H,-：DE//FH,

EO=2O凡，为=券=黑=彳，.然后分情况讨论点。在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得“

的值为3或5.

【题目详解】

解：(1)•.•抛物线经过点A(-2,0),点B(0,4)

-2-2b+c=0b-\

解得

c=4c=4"

1

/.抛物线解析式为y=--x29+x+4,

(2)y=-—x2+x+4=-—(x-l)~+—,

22V'2

对称轴为直线x=l,过点P作尸轴，垂足为G

,:ZPBO=ZBAO,：.tanZPBO=tanZBAO,

.PGBO

,•茄一茄’

*12

••___一_，

BG1

BG

2

0G=~,

2

7

：.P(1,-),

2

1

(3)设新抛物线的表达式为y=—]x29+x+4—机

则。（。,4一根），E（2,4-m）,DE=2

■:DE//FH,EO=2OF

FH=1.

点。在y轴的正半轴上，则1,1-加

OH=m——,

2

DO4—m2

OH-5-T,

m—

2

:.m=3,

点。在y轴的负半轴上，则加

9

:.OH=m—,

2

DOm—42

•••丽―97,

m—

2

m=5,

.•.综上所述m的值为3或5.

【题目点拨】

本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.

21、(1)AMEF是等腰三角形(2)见解析(3)证明见解析(4)—71

3

【解题分析】

(1)由AD〃BC,可得NMFE=NCEF,由折叠可得，/MEF=NCEF,依据NMFE=/MEF,即可得到ME=

MF,进而得出△MEF是等腰三角形；

(2)作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF,依据轴对称的性质，即可得到D，的位置；

(3)依据△BEQgZ\D'FP,可得PF=QE,依据△NCPgZkNAP,可得AN=CN,依据RtZkMCNgRtAMAN,

可得NAMN=NCMN,进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MOLEF且MO平分EF；

(4)依据点D，所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧，即可得到点D，所经过的路径的长.

【题目详解】

(1)AMEF是等腰三角形.

理由：•..四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

:.ZMFE=ZCEF,

由折叠可得，ZMEF=ZCEF,

ZMFE=ZMEF,

.\ME=MF,

.,.△MEF是等腰三角形.

(2)折痕EF和折叠后的图形如图所示：

(3)如图

BE

；FD=BE,

由折叠可得，D，F=DF,

.,.BE=D'F,

在4NC'Q和4NAP中，NC'NQ=N,ANP,NNC'Q=NNAP=90°,

.*.ZC'QN=ZAPN,

VZCQN=ZBQE,ZAPN=ZD'PF,

:.ZBQE=ZD'PF,

在小BEQfllADTP中，

ZBQE=ZDPF

{BE=D'F,

AP=C'Q

.♦.△BEQg△D'FP(AAS),

；.PF=QE,

•.•四边形ABCD是矩形，

/.AD=BC,

AAD-FD=BC-BE,

；.AF=CE,

由折叠可得，C'E=EC,

.\AF=C'E,

；.AP=CQ,

在4NAP中，

ZC'NQ=ZANP

{ZNC'Q=NNAP,

AP=C'Q

/.△NCP^ANAP(AAS),

.,.AN=C'N,

在RtAMC'N和RtAMAN中,

MN=MN

'AN=C'N'

；.RtAMC'N之RtAMAN(HL),

AZAMN=ZCMN,

由折叠可得，NCEF=NCEF,

•••四边形ABCD是矩形,

，AD〃BC,

；.NAFE=NFEC,

/.ZC'EF=ZAFE,

,*.ME=MF,

.,.△MEF是等腰三角形，

AMOIEF且MO平分EF；

(4)在点E由点B运动到点C的过程中，点所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240。的扇形的弧,

如图：

故答案为二"万.

【题目点拨】

此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质以及全等

三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键.

22、(1)见解析;(2)1

【解题分析】

(1)根据ASA推出：4AE0出ACFO；根据全等得出OE=O尸，推出四边形是平行四边形，再根据E尸，AC即可推

出四边形是菱形；

(2)根据线段垂直平分线性质得出AF=CF,设AF=x,推出4F=CF=x,BF^8-x.在RtAAB尸中，由勾股定理求出

x的值，即可得到结论.

【题目详解】

(1)是AC的垂直平分线，：.AO=OC,ZAOE=ZCOF=90°.

•.•四边形ABC。是矩形，J.AD//BC,:.NEAO=NFCO.

ZEAO=ZFCO

在小AEO和4CFO中，：1A。=C。，A△AE。名△CFO(ASA)；:.OE=OF.

ZAOE=ZCOF

又•••Q4=0C,.•.四边形AECF是平行四边形.

又•••EbLAC,...平行四边形AEC尸是菱形；

(2)设

是AC的垂直平分线，：.AF=CF=x,BF=8-x.在RtZkABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,：.42+(8-x)

2=炉，解得：x=5,...4万=5,.•.菱形AEC尸的周长为1.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识

点的综合运用，用了方程思想.

23、(1)yi=80x+4400；y2=64x+4800；(2)当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案

二购买20件乙种商品时，总费用最低.

【解题分析】

(1)根据方案即可列出函数关系式；

(2)根据题意建立w与机之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案.

解：(1)yj=20x300+80(x-20)得：yj=80x+4400\

y>2=(20x300+80x)x0.8得：y>2=64x+4800；

(2)w=300m+[300(20-m)+80(40-m)]x0.8,

w=-4m+7360,

因为w是m的一次函数，fc=-4<0,

所以w随的增加而减小，%当机=20时，w取得最小值.

即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品.

24、(1)8m；(2)答案不唯一

【解题分析】

(1)根据入射角等于反射角可得ZAPB=ZCPD,由AB1BD,CD±BD可得到ZABP=ZCDP=90°,从而可证

得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.

（2）设计成视角问题求古城墙的高度.

【题目详解】

（1）解：由题意，得NAPB=NCPD,NABP=NCDP=90。,

/.RtAABPsRtACDP,

.ABCD

••一,

BPBP

1.2x12

；.CD=----------=8.

1.8

答：该古城墙的高度为8m

（2）解：答案不唯一，如：如图，

A

。尸鱼......C

E..........B

在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为a.即可测量这段古城墙

AB的高度，

AC

过点D作DC_LAB于点C.在R3ACD中，NACD=90。，tana=——，

CD

AC=atana9

:.AB=AC+BC=atana+h

【题目点拨】

本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数

学模型来解决问题.

25、（1）证明见解析；（2）9,\/3-3n

【解题分析】

试题分析：（1）、连接OD,根据平行四边形的性质得出NAOC=NOBE,ZCOD=ZODB,结合OB=OD得出

ZDOC=ZAOC,从而证明出△（3。。和4COA全等，从而的得出答案；（2）、首先根据题意得出△OBD为等边三角形,

根据等边三角形的性质得出EC=ED=BO=DB,根据RtAAOC的勾股定理得出AC的长度，然后根据阴影部分的面积

等于两个^AOC的面积减去扇形OAD的面积得出答案.

试题解析：（1）如图连接

•••四边形。BEC是平行四边形，：.OC//BE,：.ZAOC^ZOBE,NCOD=/ODB,

VOB=OD,；.NOBD=NODB,：.ZDOC=ZAOC,

'oc=oc

在△COO和ACOA中，，NCOD=/COA，.,.ACOD^ACOA,：.ZCDO=ZCAO^90°,

OD=OA

/.CF±OD,cr是。。的切线.

(2),：ZF=30°,ZODF=9Q°,二NOO尸=NAOC=NCQD=60。，

•；OD=OB,.,.△080是等边三角形，.,./4=60。，VZ4=ZF+Z1,/.Zl=Z2=30°,

'：EC//OB,：.ZE=180°-Z4=120°,AZ3=180°-ZE-Z2=30°,：.EC=ED=BO=DB,

'：EB=6,：.0B=0D=0A=3>,在RtZiAOC中，VZOAC=90°,0A=3,ZAOC=60°,

，AC=Q4・tan60°=3«,阴=2况AOC-S扇形OA0-2X2X3X3、R-幽亘=9\后-37r