2024年高考数学专项复习：梅涅劳斯和赛瓦定理（解析版）

2024年高考数学专项梅涅劳斯和赛瓦定理

（解析版海涅劳斯定理和赛瓦定理

梅涅劳斯定理：（此定理常用于证明三点共线的问题）

若直线I不经过^ABC的顶点，并且与kABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线

分别交于P,Q,足则票•票•第=1

簸.空=]

作平行线:作PQ,则嘿=BRCQ=RMBPCQAR=BR

~RM'~QA~~AR'TC•~QA,'RB~~RMARRB

SApp_SARQ_SAQBCQ_SPCQ

面积法：箧=SBPQ4R得证

1OSPCQSBRPSBRQSBPQQASAPQ

梅涅劳斯定理逆定理：

设P、Q、R分别是"BC的三边BC、C4、AB上或它们的延长线上的三点，若黑•票•嗯=1,则

JrOQAIL-D

P、Q、R三点共线；

塞瓦定理

RP

设P、Q、R分别是AABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:能•

CQ.AR=1

QARB

证:先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点；W,则：器=言理=誓丝=要也同理：CQ=空我,

PCS〉ACPS»CMPS〉ACM。力S&ABM

/五_S^ACM

RBSbBCM

以上三式相乘，得：嚣?•第=1

JOQA-TL-D

题目区如图四边形ABCD的内切圆分别切AB,BO,CD,D4于点E,F,G,H,求证：HG,AC,EF交于一点、.

题目囱在△ABC中,RE分别在CB,CA上，且AD,BE分别为/BAG和/ABC的角平分线.设DE交AB

于“，证明CM■为/ACB的外角平分线.

涉及定理:角平分线定理

题目可四边形交于C,BDAF交于E,连接BF,AD,CE,设AO延长线交CE于N,

证明./竺=/竺

力.MDND'

:题目|⑷以△ABC的底边B。为直径作半圆，分别与边AB,AC,交于D,E,分别过点。,E,作的垂线，垂

足依次为F,G,线段DG和EF交于点及■，求证

题目回△ABC,一个过AB的圆交边AC,3。于。㈤,AB,DE交于点9，BD，CF交于点”,求证:

MF=MC的充分条件是MB・MD=MC\

题目面如图，ZVLBC的三个顶点ABC各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证

明:三个交点。,关系.

题目⑶如图，。Q和。。2与4ABC的三边所在的直线都相切，E,F,G,H为切点、,并且EG,FH,对的延长

线交于点P.求证PA±BC.

题目⑼在四边形ABCD中，对角线AC平分ABAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF,交

BC于G,求证：/G4C=NEAC.

5

题目9四边形48。0中，445。，八8。0,44a7的面积之比是3：4：1,点跖双分别在47,8上,满足

AM-.AC^CN-.CD,并且B,M,N共线,求证M,N分别是AC,CD的中点.

题目兀设P为△ABC内点，过P的直线Z,m,n分别垂直于4P,BP,CP,若Z交BC于Q,小交AC于&,n

交AB于S,证明：Q,S,R共线.

6

［题目|11［已知AB=AO,BC=CD,过。的两条线段分别交AB,BC,CD,D4于

于I,J求证：OI—OJ.

・・

梅涅劳斯定理和赛瓦定理

梅涅劳斯定理：（此定理常用于证明三点共线的问题）

若直线I不经过AABC的顶点，并且与AABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线

分别交于P,Q,R，则煞■•空■•普■=1

作平行线:作以〃PQ,则需=舞/=需需穿.锯=焉.器馈=1

JFOiLiViqA/litiO闻A-fL-OiLivl/1/trcJD

面和叶BP=SBPQ/R=SARP=SARQ=SAQBCQ=Sp。

而一阮?适一百嬴—石嬴―百嬴’训一匹?

梅涅劳斯定出定理：

设P、Q、R分别是AABC的三边BC、CA,AB上或它们的延长线上的三点，若等■•勇•嘿=1,则

产。QArCJD

P、Q、R三点共线；

塞瓦定理

设P、Q、五分别是AABC的B。、CA.AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:寥•

空.空

QARB

证:先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点河,则：寥空空=警丝=必迪同理：丝=经我,

PCS〉ACPS^CMPS'ACMQASkABM

AR_S\ACM

A®S^BCM

以上三式相乘，得：修•%■•需=1

2oILJO

题目—如图四边形ABCD的内切圆分别切AB,BC,CD,D4于点E,F,G,H,求证：HG,AC,EP交于一点.

证明：设HG与4。交于R,班与47交于只

-A-P-.-•--C-G-•-D--H-=।

P.CGDHA

AP2CFBEi

P2CFBEA

・・•CG=CF,AH=AE,DH=DG,BE=BFo

，4丹是同一个点•

题目区在AABC中,分别在CB,C4上，且AD,BE分别为/BAG和/ABC的角平分线.设OE交AB

于刊，证明CM■为/ACB的外角平分线.

证明：r截△ABC

-C--E----A--M----B--D--=L、=>、--B--C---A---M----B--A--

EAMBDCBAMBAC

AM^AC^ACsi^MCA^ACnZ.MCB+4BCM=180

MBBCBCsinZMCBBC

AM_

涉及定理:角平分线定理

题目⑸四边形ABDF,ABQF交于C,BD,AF交于E,连接BF,AD,CE,设AD延长线交CE于N,

证明截△ZC。

AMDFCB._AMFC・BA不

MDFCBAMDDF-CB

C,N,E截4ADF

ANDCFEAN_CF-EA4

NDCFEANDDC-FE

①ANBA-EF-DC.

②MD.NDAE-ED-CB

版目@以△ABC的底边BO为直径作半圆，分别与边AB,AC,交于D,E,分别过点。，区作B。的垂线，垂

足依次为F,G,线段DG和EF交于点“，求证

法1

•M

i

由梅涅劳斯定理,AMHFCEAMHGBD

HMCFAEHMBGAD

HFCE=HGBDHF=BDCFAE

牙.布一乐•而'适一而♦而•言

CD2=FC-BC,BE2=BG・BC

FC_CD2.FH_CD2-AE-BD^^.CD_AD

诙一苗BE,2.CE-ADEAB4E“AA4CrnD'.FF

.FH=CDBD_SgBc_DF__DM

,9

HG~^E~CE~S^EBC

法2

作AHLB。于H,只需证共线，即据•5桨•答=1

rlkjMUk>A

BH=ABcosB=4ccosB

HG~AEcosC~ADcos。'

GM_EG_JBCCOS。sinC_cosCsin。_.cosC

MDDFBCcosBsinBcosBsinBACcosB

.BHGM=AB_即BHGMDA二1

**HG

、题目回A4BC,一个过AB的圆交边47出。于。,区48,。豆交于点干，9，CF交于点”,求证:

MF=MC的充分条件是MB-MD=MC2.

证明:

MB-MD=MC?uuAMBC-AMCDuAMCD=ACBM=ADAEuAEIIFC

MCMD

..FABECM

ABECMF

.FABE=

一ABEC

*=黑；AE〃FC

题目回如图，44BC的三个顶点ABC各作其外接圆的切线，分别与相应的顶点的对边所在直线相交，证

明:三个交点。，区F关系.

E

由梅涅劳斯逆定理,去证：煞煞曾

rr>UCHA

4F*BDCE_S丛FACS^BDAS^CEB_bsin8csinCasinA_1

FBDCEAS^FBCS^CAS^ABcsinAbsinBcsinC

题目⑶如图，。。1和。。2与△ABC的三边所在的直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,侬,对的延长

线交于点P.求证PA±BC.

方法一：由题意，易得O1,02,4三点共线。如图，延长P4交EF于。,连接01E,O2F,0102,

因为OLE、（^9工七乩所以去证：^^:黑

AOiDE

连接O1G,O2H,易得△AO1G~A4O2H,所以桨^=碧,所以去证黑=崇

AO1AGDEGA

于是考虑使用梅氏定理。

△m。与直线PE：备嘿黑=1，整理有:霭=器

△ABD与直线PF：落犒黑=1，整理有:斋=鬻，得证.

方法二:过4作ADLBC于。，延长D4交直线加1于P,

△ABD与直线P'F，4PDFBH_1整理有.4P=AH

△AbD与且我产上.p，DFBHA~上金埋向,po―DF

对于△—三点着学鬻二器鬻;黑岩

由梅涅劳斯逆定理,得证.

题目回在四边形ABCD中,对角线AC平分ABAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF，交

BC于G,求证：ZGAC=AEAC.

方法一：

ABAC=9

GFD截4BCE：需需餐=1

GrCUh/rD

SABGSACD^AEFI

SAGCS^EDSAFB

■ABsin/1■ACsinl/B+/4)ZEsin/3

ACsinZ2AEsin/4ABsin(Zl+Z2)

sin/1_sin/4

sinZ2sinZ3

sin(8—2)=sin(8—3)Q=

sin2sin3

方法二：

连接BD交AC于H点，设/D4E=/1,/CAE=/2,作/C4G，=/2,交3。于G，

连接DG',则ABAC=Z1,AC平分ABADn黑=芈，

HBAB

BG，=ABsin/1CE=ACsin/2.BG，CEPH=

~GC~CCsin/2'~ED-ADsin/1"~OC'~ED'HB-

在△BCD中，由塞瓦定理，DG\BE,CH共点、，,DG过F,

G，与G重合，/1=/2

题目可四边形7188中,入4由,^88必718。的面积之比是3:4:1,点河W分别在71。,8上,满足

AM：AC^CN-.CD,并且B,Al,N共线，求证Al,N分别是AC,。。的中点.

B

去证AM-.AC^CN-.CD=1:2

由面积比3:4:1,得AE:AC^3:7,BE-.BD=1:7,设AM-.AC^CN-.CD=r,

△DEC梅涅劳斯，

DBEMCN=

BEMCND，

r~^i

7•二、r

题目®设P为&ABC内点，过P的直线九分别垂直于AP,BP,CP,若Z交于Q,馆交AC于R,九

交AB于S,证明：Q,S,R共线.