2024年高考数学模拟试题含答案 (二)

1.抛物线y=的焦点坐标为(▲).

2.在等比数列｛%｝中，q+〃x=82,44_2=81,且前1项和1=121,%=(▲).

A.4B.5C.6D.7

3.已知相，及表示两条不同直线，。表示平面，则(▲).

A.若mlIa,nila,贝！JB.若租_La,〃ua,则帆_L〃

C.若相_La,m±72,则〃〃0D.若m//a,mVn,贝！J〃_La

4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放,

则共有(▲)种停放方法.

A.72B.144C.108D.96

5.已知ZkABC的边的中点为。，点石在ZiABC所在平面内，且CD=3CE-2cA，若

AC=xAB+yBE,贝1」%+丁=(▲).

A.5B.7C.9D.11

22

6.函数)=/(%)的图象为椭圆C:5+*=l(a>6>0)x轴上方的部分，若"ST),/(s),/(s+f)成

ab

等比数列，则,(

A.线段(不包B.椭圆一部分

C.双曲线一部D.线段(不包含端点)和双曲线一部分

713兀

7.已知工£0,—，sinx+cosx=—则tanx(▲).

_454

A.3B.-3c._J5D.2

8.双曲线C：W—1=1(。〉0］〉0)的左、右焦点分别是《，F2,离心率为迈，点尸(西,乂)是C的

a2b22

右支上异于顶点的一点，过工作/耳里的平分线的垂线，垂足是|"。|=拒，若C上一点T满

足月T•2T=5,则T到C的两条渐近线距离之和为(▲).

A.20B.2y/3C.2百D.276

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数马*2是关于X的方程/+桁+1=0(-2<6<2,beR)的两根，贝|(▲).

A.zx-z2B.-ER

Z2

C.\^\=\z2\=lD.若〃=1,则z；=z；=l

10.若函数/(%)=2$1112%.10825111%+2©052%.108285%,则(▲).

IT

A.7(x)的最小正周期为兀B.7(x)的图象关于直线x=:对称

仁小)的最小值为一1D.〃x)的单调递减区间为(2E,：+2屋左eZ

11.设。为常数，/(0)=；，/(x+y)=/(x)/(a—y)+/(y)/(a—尤)，则(▲).

A./(a)=1B.了(无)=］恒成立

C./(尤+y)=2/(x)/(y)D.满足条件的〃无)不止一个

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.集合A={xeR|a——3x+2=0,aeR},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是▲.

13.己知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为▲时,圆锥的体积最大，最

大值为▲.

38

14.函数/(%)=—^—-+-一a—-(xeR)的最小值▲.

2sinx+13cosx+2

四'解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明'证

明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

13

设/(x)=alnx+---------x+1,曲线y=/(x)在点处取得极值.

2x2

(1)求a；

(2)求函数/(无)的单调区间和极值.

16.(本小题满分15分)

袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验.

(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；

(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值.

17.(本小题满分15分)

如图，在三棱柱A5C—4与£中，AC=BB、=2BC=2,NCBB、=2NCAB=个,且平面ABC，平面

4cleA

(1)证明：平面A5C，平面AC4；

(2)设点P为直线BC的中点，求直线AP与平面ACB1所成角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

己知抛物线E：y2=4x的焦点为F,若AABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足FA+FB+FC=O>

则称该三角形为“核心三角形”.

(1)设“核心三角形ABC'的一边AB所在直线的斜率为2,求直线AB的方程；

(2)已知△A5C是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2.

19.(本小题满分17分)

对于给定的正整数"，记集合R"={a|c=a，无2，三,…,％),尤」eR,j=l,2,3,…，川,其中元素。称为一

个〃维向量.特别地，0=(0,0,…,0)称为零向量.

n

设左eR,d=(al,a2,---,an)eR,£=(4也,…,b“)eR”,定义加法和数乘：ka={kal,ka2,---,kaj,

tz+£=(q+4，阻+b2,---,an+b).

对一组向量％,%(swN+，s..2),若存在一组不全为零的实数勺，k2,ks,使得

左％+m4+…+耳％=0,则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(1)对〃=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

①a=(1,1,1),夕=(2,2,2)；

②a=(1,1,1),0—(2,2,2),(5,1,4)；

③a=(1,1,0),£=(1,0,1),/=(0,1,1),=(1,1,1).

(2)已知tz,0,7线性无关，判断a+£,p+Y，a+z是线性相关还是线性无关，并说明理由.

(3)已知功(〃?..2)个向量%,«2,....%；线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：

①如果存在等式左内…=。(勺eR"=l,2,3,…,附，则这些系数匕，k2,左加或者

全为零，或者全不为零；

②如果两个等式勺%+k2a2+---+kmam=0,4%+I2a2+-••+/„,«,„=0(左eR,lte7?,z=1,2,3,•­•,//!)同

时成立，其中#0,则:=不"-=广

"1%

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案DBBADAAA

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.

题号91011

答案ACDBCDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

题号1213①13②14

答案…9瓜16649

a=0或a.l------71

8~32713

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

-1Q[Q

(1)f(x)=ainx-\---------x+1,则广(%)=@----Y——

2^-2x2%2

又，/\1)=0,故可得〃—2=0,解得a=2；

(2)由⑴可知，/(x)=21nx+---x+1,r(x)=_(3xT),T),

2x22x2

令ra）=。，解得Xj=g,x2=i,

又函数定义域为（。,+8）,故可得了（X）在区间（0,g）和（1,+8）单调递减，在区间（g』）单调递增.

故/（X）的极大值为/（I）=0,fM的极小值为/（1）=2-21n3.

16.(15分)

39x339x1x31

(1)X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=—,P(X=2)=——=一，P(X=3)=----------=—,

55x4105x4x310

故抽取次数X的概率分布为:

X123

331

P

51010

3313

£(X)=lx—+2x——+3x——=

510102

（2）每次检验取到新球的概率均为I，故X〜815,|],所以E（X）=5*|=3.

17.（15分）

（1）证明：因为AC=23C=2,所以3c=1,因

7T7T

为2NC4B=—,所以NCAB=—.在

36

2

sinB，所

以sin6=l,BPAB±BC.又

因为平面AB。，平面4GCB，平面ABCc平面与GCS=6C,ABu平面ABC,

所以A3,平面及GCB

又5]Cu平面用GCB，所以A3,用C,

TT

在.耳3。中，B1B=2,BC=1,ZCBB.=-,

3

所以4c2=BB2+BC2_2bb.3C.cosg=3,即4C=JL

所以BjCLBC.

而AB_L4C,ABu平面ABC,5Cu平面ABC,ABcBC=B,

所以4。，平面ABC.

又51Cu平面所以平面平面ACB].

（2）在平面ABC中过点C作AC的垂线CE,

以C为坐标原点，分别以CA,CE,CB]所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,5（；,芯,0）,4（2,0,0）,耳（0,0,百），

所以尸（；,亨,0）,4（|，-*，君），

所以4尸=（_*,更，一石），

44

平面ACB,的一个法向量为n=（0,1,0）,

设直线AP与平面ACB,所成的角为a,

则直线A.P与平面ACB,所成角的正弦值为：

3追

|吊尸."|_百

n>=_=3

sin«=|cos<AP-\=^^\l25+^7+315-

V16+16+

18.（17分）

（1）解：设直线AB的方程为y=2x+/,与3?=4x联立得/—2y+2/=0,A=4—8/>0,得/<g，

设A（%,%）,B®,%），。（七，%），则%+%=2,%%=2r,

所以玉+W=/（%+%—2r）=1-/,

由题意知户（1,。），因为E4+FB+尸C=o，E4=（X]-1,%）,FB=（X2-l,y2），FC=（x3-l,y3）,

所以（％+々+三一3,%+%+%）=（°，°）>

所以｛%+々+鼻=3,%+%+%=°，，

所以优=2+/,%=-2,,即点C的坐标为（2+t,-2）,代入抛物线E的方程得：4=4（2+力，解得/=—匕

满足条件/<1，

2

所以直线AB的方程为2x—y—1=0.

（2）证明：设直线BC的方程为％=阳+",与/=4x联立得丁—4〃少—4〃=0,

2

A=16（m+n）>0,所以〃>—4，y2+y3=4m,y2y3=-4n,

所以％2+%3=机（%+%）+2〃=4m2+2n.

+x2

由⑴知｛菁+%23=3,%+%+%=°，，所以｛%=3-4m-2n,yi=-4m.,

即点A的坐标为（3-4m2-2n,-4m）.

3

又点A在抛物线｝?=4%上，所以16疗=4（3-4加2-2〃），所以〃二3-4/，

又所以疗<二，所以点A的横坐标3-4>-2〃=4/v2,

2

同理可证，B,C两点的横坐标也小于2.

所以ABC三个顶点的横坐标均小于2.

19.（17分）

（1）解：对于①，设勺。+%2〃=0,则可得匕+2左2=0,所以％方线性相关；

对于②，kxa+k2/3+k3y=0,则可得｛匕+2左2+5左3=。尢+2&+女3=。勺+2女2+4左3=。，所以左I+2%2=0,

左3