人口模型-逻辑斯谛模型

人口问题——

逻辑斯谛模型主讲人：陈志钦微分方程模型知识点一、逻辑斯谛模型二、模型检验与人口预测三、模型的应用一、逻辑蒂斯模型人口增长到一定数量后增长率下降的原因阻滞作用随人口增加而变大资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用简单、便于应用的线性函数r是

x的减函数系数a,b？内禀(固有)增长率r~

理论上x=0时的增长率.人口容量xm~

资源和环境对人口的最大容量.r(0)=rr(xm)=

0一、逻辑蒂斯模型r(0)=r,

r(xm)=0

a=rb=

r/xm

(1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长rx~自身增长一、逻辑蒂斯模型tx0xmx0xm/2logistic曲线求解t1/2

dx/dtxOxmxm/2一、逻辑蒂斯模型用数据和非线性最小二乘估计参数.模型年实际人口（百万）logistic模型17903.97.718005.39.518107.211.7………1980226.5228.31990248.7252.02000281.4275.1误差平方和

458.2r=0.2155/10年,x0=7.6962,xm=443.9931一、逻辑蒂斯模型指数模型logistic模型34742458指数模型与logistic模型计算结果比较(误差平方和)对1790年至2000年美国人口数据的拟合，logistic模型比指数增长模型有很大改善.二、模型检验和人口预测用1790年至2000年美国人口估计参数代入模型，计算2010年人口与实际值比较作为模型检验2010年实际人口加入重估参数预测2020年人口年17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4增长率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增长率/10年0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年19501960197019801990200020102020

人口(百万)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7

增长率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.1349

美国人口数据二、模型检验和人口预测上面表、图给出的结果是利用1790年至2000年美国人口数据估计的参数代入模型计算得到的这些结果与同期实际数据比较虽能反映模型与数据的拟合程度,但不是真正意义上的模型检验在估计指数模型和逻辑蒂斯模型参数时未用2010年的美国人口，留下这个实际数据用于模型检验二、模型检验和人口预测模型检验的误差在5%以内，可以接受预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布

实际人口（百万）指数模型logistic模型2010年308.7515.0297.0误差

66.8%-3.8%2020年？

326.8拭目以待三、逻辑蒂斯模型的应用logistic模型

~

欧洲生物数学家Verhulst19世纪提出生态、医疗领域中的应用鱼塘中鱼群数量森林中树木数量

传染病传播人数的变化规律三、逻辑蒂斯模型的应用经济、社会领域中的应用耐用消费品销售量消息传播范围的变化规律小结模型假设是建模的关键之一.“增长率随人口增加而线性减少”是lo