经济数学微积分 第4版 课件 4-6 多元函数的极值及其应用

一、二元函数的极值三、二元函数的最值二、条件极值拉格朗日乘数法四、小结4.6多元函数的极值及其应用经济数学——微积分

某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x元，外地品牌的每瓶卖y元，则每天可卖出本地品牌的果汁70-5x+4y瓶，外地品牌的果汁80+6x-7y瓶.问题问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大利润？每天的利润为求最大利润即为求二元函数的最大值.问题的分析本节将利用偏导数讨论多元函数的极值和最值问题.一、二元函数的极值播放1.二元函数极值设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点,如果都满足不等式f(x,y)>f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值f(x0,y0).如果都满足不等式f(x,y)<f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定义(1)(2)(3)例1例2例32.二元函数取得极值的条件设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则定理推广到三元函数设函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数，且在点(x0,y0,z0)处有极值，则（必要条件）与一元函数类似，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点如何判定一个驻点是否为极值点？注意：（具有偏导数）例如,点(0,0)是函数z=xy的驻点,但不是极值点而(0,0)是的极值点，但函数在该点的偏导数不存在.结论：二元函数的极值在驻点或一阶偏导数不存在的点处取得.问题

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有直到二阶的连续偏导数，又f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0,设A=f''xx(x0,y0),B=f''xy(x0,y0),C=f''yy(x0,y0)，则（1）当AC-B2>0时，具有极值，且当A<0(或C<0)时有极大值，当A>0(或C>0)时有极小值；（2）当AC-B2<0时不取得极值；（3）当AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值.这里不作讨论定理（充分条件）求函数极值的一般步骤：第一步解方程组f'x(x,y)=0,f'y(x,y)=0,求出所有驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶

偏导数的值A、B、C.第三步确定AC-B2的符号，根据定理作出判断是否取得极值，是极大值还是极小值，如取得极值，求出f(x0,y0).

例4求函数的极值.解令求得驻点为（1,0）（1,2）（-3,0）（-3,2）再求出二阶偏导数在点(-3,2)处，AC-B2=72>0又A<0，所以函数在(-3,2)处取得极大值f(-3,2)=31；在点(1,0)处，AC-B2=72>0又A>0，所以函数在(1,0)处取得极小值f(1,0)=-5；在点(1,2)处，AC-B2=-72<0，所以函数在(1,2)处不取得极值；在点(-3,0)处，AC-B2=-72<0，所以函数在(-3,0)处不取得极值；无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值拉格朗日乘数法实例：某人有20元，现用来购买两种物品：笔和本子，设他购买x支笔，y本本子达到最佳效果，效果函数

u(x,y)=lnx+lny

如果笔每支２元，本子每本5元，问他如何分配这20元以达到最佳效果？问题的实质：求函数u(x,y)=lnx+lny在2x+5y=20条件下的极值.条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法：要找函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的可能极值点，其步骤如下：（1）构造拉格朗日函数

F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)其中λ为参数，称为拉格朗日乘数.（2）令F'x=0,F'y=0,F'λ=0,解出x,y,λ,其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.（3）判断求出的(x,y)是否为极值点，一般实际问题中由问题的实际意义判定.拉格朗日乘数法的推广拉格朗日乘数法可推广到条件多于两个的情况：要求函数u=f(x,y,z,t)在条件φ(x,y,z,t)=0和ψ(x,y,z,t)=0下的极值.（1）构造拉格朗日函数

F(x,y,z,t,λ1,λ2)=f(x,y,z,t)+λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)其中λ1,λ2为参数，（2）令对所以自变量和参数偏导数为零解出，即得可能极值点的坐标.三、二元函数的最值1、有界闭区域D上连续函数的最值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.多元函数最值的两种情况：2、实际问题中的最值实际问题中，如果根据实际意义确定函数的最值一定能在D的内部取得，且D的内部只有一个驻点，那么函数在该点上一定取得最值.例5求函数f(x,y)=xy-x2-y2在有界闭区域D：x2+y2≤1上的最大值和最小值.解先求D内的驻点令求得驻点(0,0)经验证，在（0,0）取得极大值f(0,0)=0再求函数在D的边界上的最大值和最小值.该问题就是求f(x,y)在条件x2+y2=1下的极值.——拉格朗日乘数法设F(x,y,λ)=xy-x2-y2+λ(x2+y2-1),令解得可能的极值点综上，f(x,y)在D上的最大值是0，最小值是解令经验证，这两点是函数的极值点。例6求的最大值和最小值.解如图,先求函数在D内的驻点故f(2,1)=4为极大值解方程组再求f(x,y)在边界上的最值求得区域D内唯一驻点(2,1)在边界x=0和y=0上，函数值均为0.比较可知f(2,1)=4为最大值，f(4,2)=-64为最小值.解例8设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x,y(吨)间的关系式S(x,y)=0.005x2y，现准备向银行贷款150万元购原料，已知A,B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?该问题就是求S(x,y)=0.005x2y在条件x+2y=150下的最大值.作拉格朗日函数因仅有一个驻点，且最大值一定存在，故在点(100,25)处取得最大值S(100,25)=125（吨）即购A原料100吨，B原料25吨时，可以使产量达到最大.例9求表面积为a2体积为最大的长方体的体积.分析：该问题可以看成，求在表面积为a2条件下的