经济数学微积分 第4版 课件 4-2 多元函数的基本概念

多元函数微分学的学习要点1、多元函数的概念、极限、连续与一元函数的概念、极限、连续的类似之处2、多元函数的偏导、可微与一元函数的可导、可微的区别之处3、多元复合函数偏导数、隐函数的偏导数的求法4、多元微分学的实际应用5、本章的学习方法：与一元函数微分学类比经济数学——微积分三、多元函数的极限二、多元函数的概念四、多元函数的连续性4.2多元函数的基本概念一、平面区域的相关概念五、小结经济数学——微积分1.邻域

一、平面区域的相关概念2.内点、边界点、外点如果点P的某个邻域U(P)∩E=,则称P为E的外点.举例E的边界点的全体称为E的边界.3.开集、开区域与闭区域如果对于E内任意两点都可用折线连结起来，且折线上的点都属于E，则称点集E是连通的.连通的开集称为区域或开区域，开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，例如，为开区域.为闭区域.4.有界区域与无界区域对于区域E,如果存在某一正数r，使得EU(O,r),O是坐标原点,则E为有界区域，否则称为无界区域.为有界闭区域为有界开区域为无界开区域为无界闭区域E二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数．定义设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内任一点(x,y)，按照一定的法则f,都有唯一确定的实数z与之对应，则称是变量z为x,y的二元函数，记为z=f(x,y).当n≥2时，n元函数统称为多元函数.二元函数的图形通常是一张空间曲面.二元函数的图形例如,例如,上半球面:下半球面:约定,凡用算式表达的多元函数,除另有说明外,其定义域是指的自然定义域．与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域．一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用.例1

求的定义域．解所求定义域为三、多元函数的极限定义说明：（1）定义中的方式是任意的，（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2

求解当

时为有界量例3

求极限解例4

求极限解例5考察

在(0,0)点

的极限.取其值随k的不同而变化，故极限不存在．沿x轴趋近沿y轴趋近例6

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察播放确定极限不存在的方法：四、多元函数的连续性设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.如果z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称是函数的间断点.如果函数z=f(x,y)在区域D内的每一点连续，那么称函数z=f(x,y)在点D内连续，或称z=f(x,y)是D内的连续函数.定义

例7讨论函数的连续性.它的间断点在圆周上函数在圆周上无定义例8讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．

多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例9解有界闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理

有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．

在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值、最小值之间的任意数值.（3）介值定理2.多元函数极限的概念及极限不存在的判定3.多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结1.区域、多元