经济数学微积分 第4版 课件 2-9 曲线的凹凸性、拐点与函数作图_第1页
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文档简介

2.9曲线的凹凸性、拐点

与函数作图一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线四、函数图形的作图五、小结经济数学——微积分如何研究曲线的弯曲方向?一、曲线的凹凸性问题图形上任意点的切线位于曲线的上方图形上任意点的切线位于曲线的下方凹凸定义凹凸性的判定定理例1解二、曲线的拐点及其求法注意:拐点是曲线上的点(x0,y0).定义如果连续曲线y=f(x)上的点(x0,y0)的一侧是凹的，而另一侧是凸的，那么称点(x0,y0)是曲线y=f(x)的拐点.曲线拐点的横坐标x0只可能是使f''(x)=0或f''(x)不存在.判别曲线的凹凸性与求拐点的步骤：（1）写出函数的定义域；（2）求函数的二阶导数f''(x),求出定义域内使f''(x)=0或f''(x)不存在的x的值；（3）以求出的x的值将定义域划分成若干区间，判别各区间内的凹凸性，根据拐点定义判定是否为拐点.例2解拐点拐点凹区间凸区间例3解三、渐近线定义(1)水平渐近线如果y=f(x)的定义域是无穷区间，且有那么称直线y=C为曲线y=f(x)的水平渐近线.如果曲线上的点P沿曲线趋于无穷远时，点P与某条直线的距离趋于零，那么称这条直线为该曲线的渐近线.例如有水平渐近线两条:(2)垂直渐近线如果函数y=f(x)在x=x0处间断，且有那么称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线.例如有垂直渐近线两条:(3)斜渐近线如果y=f(x)的定义域是无穷区间，且有那么称y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线.注意:∴x=1是曲线的垂直渐近线.例4解∴y=2x+4是曲线的斜渐近线.四、函数图形的描绘如果函数f(x)

的定义域上的某个小区间中（1）单调性已知；（2）凹凸性已知；（3）区间端点的位置已知或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形．函数图形描绘的步骤第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步例5解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点得垂直渐近线x=0.作图例6解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点例7解无奇偶性及周期性.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值极小值例8设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为

最大需求量为6，其中x表示需求量，P为价格：(1)求该商品的收益函数和边际收益函数；(2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格；(3)画出收益函数的图形.解x(0,2)2(2,4)4(4,6)+0------0+极大值拐点其图形如下：0xTR2464.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究.1.曲线的弯曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.2.改变弯曲方向的点——拐点;拐点的判断五、小结3.函数曲线在无穷远处的变化趋势——渐近线水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线f''(

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