经济数学微积分 第4版 课件 2-8 函数的单调性、极值与最值

一、函数的单调性

2.8函数的单调性、极值与最值四、小结二、函数的极值与求法三、最大值和最小值经济数学——微积分一、函数的单调性1．单调性的判别法定理证应用拉氏定理,得例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2．单调区间求法

有些函数在定义域上可能不是单调的，但在一些部分区间上单调，如何判别其单调性？导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:问题例2解

x（-∞,1）1(1,2)2(2,+∞)f'(x)

f(x)例3解

x（-∞,0）0(0,+∞)f'(x)_不存在

f(x)例4证3．利用单调性证明不等式证明时，练习：二、函数的极值1．函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对该邻域内任一点(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)(或f(x)<f(x0))则称f(x0)为函数y=f(x)的极大值（或极小值）点x0为极大值点（或极小值点）2．函数极值的求法例如,定理设函数y=f(x)在x0处可导，如果函数f(x)在x0处取得极值，那么必有f'(x0)=0.(极值存在的必要条件）习惯上，把使得f'(x0)=0的点x=x0，称为驻点.注意:可导的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点.(不是极值点情形)(是极值点情形)(极值存在的第一充分条件)该定理对驻点和不可导点均适用函数在x0处连续，在x0的某去心邻域内可导(1)如果x∈(x0-δ,x0),有f'(x)>0,而x∈(x0,x0+δ),有f'(x)<0，则在x0处取得极大值.定理(2)如果x∈(x0-δ,x0),有f'(x)<0,而x∈(x0,x0+δ),有f'(x)>0，则在x0处取得极小值.(3)如果时，f'(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处不取得极值.例5解列表讨论极大值极小值图形如下例6解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

x（-∞,2）2(2,+∞)f'(x)+不存在－f(x)(第二充分条件)证同理可证(2).定理设函数y=f(x)在点x0处具有二阶导数，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0.(1)如果f''(x0)<0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0);(2)如果f''(x0)>0,那么f(x)在x0处取得极小值f(x0).例7解图形如下注意:时，f(x)在x0是否取得极值，其判定仍需用第一充分条件.求极值的步骤:（4）找出极值点求出极值三、函数的最大值与最小值

经济问题中，经常有这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最大值或最小值问题．1．闭区间上连续函数的最值由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法步骤如下：第二步，计算所求出的各点的函数值，比较其大小，选出最大值和最小值．例8求函数在[-3,3]上的最大值和最小值.解比较得最大值最小值2．经济问题中的最值在实际问题中，如果f(x)在开区间(a,b)内仅有唯一的驻点，并且f(x)在(a,b)内的最大值一定存在，那么在驻点x0处取得的极大值（或极小值）f(x0)即为所要求的最大值（或最小值）.（1）最大利润问题

为使总利润最大，令即称为厂商利润最大化或亏损最小化的基本原则.解：例9

某厂每批生产A商品x台的费用为

TC(x)=5x+200(万元)，得到的收入为TR(x)=10x-0.01x2(万元)，问每批生产多少台，才能使利润最大？驻点只有一个，最值一定存在，故生产250台时，利润最大.2.最大收益问题解：例10某商品的需求函数为Q=75-P2，问P为多少时，总收益最大？故P=5时，总收益最大.解：例11已知某厂生产x件产品的成本为

TC(x)=25000+200x+0.025x2(1)求平均成本最小时的产量及最小平均成本，(2)求平均成本最小时的边际成本.MC(x)=200+0.05xx=1000时，MC(1000)=250AC(1000)=250？事实上，平均成本最小时得即四、小结

1.

单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.

2.应用：利用函数的单调性可以确