高考数学专题 平面向量讲学案理数(原卷)

【2016考纲解读】高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测2016年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．【重点知识梳理】1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量．(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.(3)长度等于1的向量叫单位向量．(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．5．向量的坐标表示及运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)．6．平面向量共线的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．7．平面向量的数量积设θ为a与b的夹角．(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)投影：eq\f(a·b,|b|)＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．8．数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；(3)|a·b|≤|a|·|b|；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|).9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)，而不是eq\f(a·b,|a|).4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.【高频考点突破】考点一正、余弦定理在解三角形中的应用例1、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．①求eq\f(sinB,sinC)；②若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．【规律方法】1．解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△＝eq\f(1,2)acsinB，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角．S△＝eq\f(1,2)absinc，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C.S△＝eq\f(1,2)absinC，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理求出c边．S△＝eq\f(1,2)absinC，可有两解、一解或无解2.确定三角形的形状主要的途径及方法途径一：化边为角途径二：化角为边主要方法(1)通过正弦定理实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界性判断三角形形状【变式训练】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)考点二正、余弦定理的实际应用例2、(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【规律方法】应用正、余弦定理解决实际问题的步骤及流程(1)解题步骤①读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；②图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；③建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；④验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．(2)思维流程【变式训练】如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求∠BAC的正弦值．考点三正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇问题例3、(1)设λ∈R，f(x)＝cosx(λsinx－cosx)＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝f(0)．①求函数f(x)的对称轴和单调递减区间；②设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且eq\f(cosA,cosB)＝－eq\f(a,b＋2c)，求f(x)在(0，A]上的值域．【规律方法】求解正、余弦定理与三角函数、平面向量交汇问题的思路(1)向量性质与运算的应用：以向量为载体，通过向量的概念、性质与运算，建立向量与三角形三角函数的联系．(2)边角转化：在三角形中考查三角函数，它是在新的载体上进行的三角函数图象与性质的考查，求解时：①作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；②常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”即“统一角、统一函数、统一结构”；③求解三角函数图象与性质的规律方法都适用，但要注意角的范围限制．【变式训练】设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(sinA－sinB)·(sinA＋sinB)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋B))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B)).(1)求角A的值；(2)若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝12，a＝2eq\r(7)，求b，c.(其中b<c)【经典考题精析】【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【2015高考湖北，理11】已知向量，，则.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为，,则（）（A）（B）（C）QUOTE34a2（D）QUOTE32a2【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（）（A）20（B）15（C）9（D）6【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.，，1.【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）B.C.D.2.【2014高考广东卷理第5题】已知向量，则下列向量中与成的是（）A.B.C.D.3.【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,为原点,动点满足=1，则的最大值是_________.4.【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形中，已知，，则的值是.5.【2014陕西高考理第13题】设，向量，若，则_______.6.【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则()A.B.C.D.7.【2014高考北京卷理第10题】已知向量、满足，，且（），则.8.【2014高考湖北卷理第11题】设向量，，若，则实数.10.【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=.11.【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．12.【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．13.【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=()A.1B.2C.3D.514.【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①有5个不同的值.②若则与无关.③若则与无关.④若，则.⑤若，则与的夹角为15.【2014四川高考理第7题】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．16.【2014浙江高考理第8题】记，，设为平面向量，则（）A.B.C.D.17.【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（）D.19.【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则（）A．2