24.1.3弧、弦、圆心角专题

24.1.3弧、弦、圆心角专题24.1.3弧、弦、圆心角NO把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.一、概念过点O作弦AB的垂线,垂足为D,则垂线段OD的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,图中，OD为AB弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④2、下列图中弦心距做对了的是（）┐┐①②③④ABCDo下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？如果：∠AOB=∠CODABCDo

证明:∵OA=OC，OB=OD，

∠AOB=∠COD,∴当点A与点C重合时，点B与点D也重合。∴AB=CD，

圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

⌒∴AB=CD。⌒已知:如图∠AOB=∠COD,求证:AB=CD，AB=CD。⌒⌒思考定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？温馨提示：由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求都是优弧或劣弧如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习

答：OE﹦OF证明：∵OE⊥ABOF⊥CD

∵AB﹦CD∴AE﹦CF∵OA﹦OC∴RT△AOE≌RT△COF∴OE﹦OF在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等。知一推三OαABA1B1α(1)圆心角相等(2)弧相等(3)弦相等知一得二弦心距、知一推三证明：∴AB=AC,ABC是等腰三角形又∠ACB=60°，∴ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例题∵例1如图，在⊙O中，,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC例2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．ＯＣＢＡ⑴∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？ＤＰ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？当a=时求圆的半径?1.如图，AB是⊙O的直径，

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：练习∵2.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．求证：ＡＤ＝ＢＣＯＣＢＡＤ·3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。求证：AC=BD3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE⌒⌒

4.已知：如图，∠AOB=90°，D、C将

AB三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E求证：AE=DC=BF．⌒例3如图，已知点O是∠EPF的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF的两边分别相交于A、B和C、D。求证：AB=CD分析：联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，证明:作,垂足分别为M、N

。OM=ONAB=CD.PABECMNDF要证AB=CD

，只需证OM=ONO.PBEDFOAC.如图，P点在圆上，PB=PD吗？

P点在圆内，AB=CD吗？思考：PBEMNDFOMN例4：如图,AB、CD是⊙O的两条直径。(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？(2)若直径为10cm，∠AOD=1200，求四边形ACBD的周长和面积。ＯＣＢＡＤ例4：如图,AB、CD是⊙O的两条直径。(3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？ＯＣＢＡＤ（4）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等圆心角习题课垂径定理及逆定理如图,在下列五个条件中:●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.知二推三

在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知一推三1.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠B=250,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于D,求弧AD的度数.BCAD⌒AD=50°

⌒做一做2.如图,在△ABC中,∠A=70°,⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等,求∠BOC的度数.NOABCEDF∠BOC=125°想一想3.如图,D、E分别是AB、AC中点,DE交AB于M,交AC于N.

求证:AM=ANABCDEOMNFG证明:连结OD、OE,分别交AB、AC于F、G∠DFM=900=∠EGNOD=OE∠D=∠E∠DMB=∠ENC∠ENC=∠ANM∠DMB=∠AMN∠AMN=∠ANMAM=AN⌒⌒⌒⌒D、E分别为AB、AC的中点4.已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm,圆半径为7cm,求腰长AB.ABCODAB=2√35BC