2024年新高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系及诱导公式（学生版）

专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、【知识梳理】

【考纲要求】

sinx

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2^+cos2^=l,---=tanx.

cosx

JI

2.能利用单位圆中的对称性推导出万土a,m土a的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【考点预测】

1.同角三角函数的基本关系

⑴平方关系：sin-a+cos'a=1.

sinciAA

⑵商数关系：——-=tanaa#J亍I+E,k^l\.

cosa12J

2.三角函数的诱导公式

、.

公式—■二三四五八

2k八+JIJI

角JI+。—an一a1a

a(A-EZ)

正弦sina—sinQ—sinasinaCOSQcosa

余弦cosQ-cosaCOSQ—cosasinQ—sinQ

正切tanatana—tana—tana

口诀奇变偶不变，符号看象限

【常用结论】

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sina+cosff)2=l±2sinacosa；sina=tana•cosa.

2.诱导公式的记忆口诀

JI

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指万的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名

称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

【方法技巧】

1.利用sir?a+cos2a=1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角a所在象限确定符号;

利用2^=tana可以实现角a的弦切互化.

COSQ

2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa

这三个式子，利用(sina+cos^)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

3.注意公式逆用及变形应用：l=sina+cosa,sina=1—cosa,cosa=1—sina.

4.诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

5.含21t整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2n的整数倍的三角函数式中可直接将2n的整数

倍去掉后再进行运算.如cos(5m—a)=cos(m—a)=-cosa.

6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵

活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响.

二、【题型归类】

【题型一】“知一求二”问题

【典例1】已知。是第四象限角，且tan。=—I，则sina=()

【典例2】已知。是三角形的内角，且tan则sina+cos。的值为

5

【典例3】已知cos。=一记，则13sina+5tana=.

【题型二】sina,cosa的齐次式问题

【典例1】已知ttan=_匕求下列各式的值：

tan。「一1

/、sina—3cosa

(1)：~T;

sina+cosa

(2)sin2a+sinacos。+2.

7

【典例2】已知sin9+cos,。£(0,几)，则tan.

a

【典例3］已知tana：sina+sinacos。+2

【题型三】sin4土cosa,sinacos。之间的关系

【典例1】已知ae(一…),sina+cosa1

(1)求sina—cosa的值;

,._^sin2a+2sin2a

⑵求匚.’的值•

【典例2】已知tan4=-7贝Usina(sina-cos4)=()

2125

A---

25B.21

45

c--

5D.4

【题型四】诱导公式

【典例1】已知sin（Q—■『）=（，则cos（7+的值为（）

1

c

3-

(।3吟

tan(兀—°)cos(2兀—q)sin[-QI

【典例2】--------,〃“、.，:〃、”的值为(

cos(—a—n)sin(—n—a))

A.-2B.-1C.1D.2

【典例3】已知函数F（x）=aT+2（a〉0且a#l）的图象过定点尸，且角。的始边与x轴的

<11Ji)<9JI,

_一。户叫丁Ql+sin2a

正半轴重合，终边过点R则----------^于()

cos(5+ajsin(—Jl—(7)

22

A.—B.

3

【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用

【典例1］已知a为锐角，且2tan（兀一。）一3cos（5+£）+5=0,tan（兀+。）+6sin（兀

+£）—1=0,则sin。的值是（）

A班3s

A

-57

「也

10

【典例2】已知。是第三象限角且f(S=

sin（—q—兀）cos（5兀一a）tan（2n—（7）

cos^-o）tan（一。一JI）

①化简f（。）;

②若tan（兀一。）=-2,求/*（〃）的值；

③若。=一420°,求F（。）的值.

【典例3]已知tan（—2019兀+。）=—2,贝!]2/sin（。——jsin^。+7）=（）

XAX•-乙2JBD•1—

5

2市+33

C.V广--D.~

55

三、【培优训练】

【训练一】已知a为第二象限角，则cos^Jl+tan2a+sin/1+~^2—=

v弋tanq

【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一r—

个大正方形，若直角三角形中较小的内角为e,大正方形的面积是1,

小正方形的面积是5，则sin?^-COS29的值是.\^A

【训练三】（多选）已知Aa）=2sin；cos工（oWa则下

sin。十cos。十乙）

列说法正确的是（）

A.a）的最小值为一十

B./'（a）的最小值为一1

C./'（a）的最大值为$—1

D.『（a）的最大值为1—4

【训练四】已知关于x的方程2/一（（+l）x+/=0的两根分别是sin9和cos0,

。£（0,2兀），求:

sin23cos9

的值;

⑴启9—cos91—tan。

(2)%的值;

⑶方程的两根及此时0的值.

4“求sin2a+sinf—■一£)+l的取值范围.

【训I练五】已知sina=l—sin

【训练六】在△/回中,

⑴求证：cos,l'+cos?C

­=1.

2'

3Ji

(2)若cos|—+^Jsin|

F卜8tan（。一兀）＜0,

求证：△/能为钝角三角形.

四、【强化测试】

【单选题】

3

1.已知ae（0,兀），cosa=则tana=（）

贝ljcos（a+。］的值是（）

2M

3

1

A.-1B.

2

1

CD.

,22

(JI}3/JI

4.若sin(5+&J=­g,且a£(万，JI则sin(兀—2a)=()

2412

A，-25B.

25

1224

r—D

25-25

__l+cos

5.右:------=2,贝Ucosa—3sina—()

sina

A.-3B.3

99

---

c.5D.5

6.已知sin(a-S二二;，则cos|r,17^：、

L12J格等工十（\）

1B侦

A.~B.3

1D—Hl

C

--33

11(\

7.已知sin2a=-,火!Jtana-\)

O1tanQ

A.小B.V2

C.3D.2

8.已知aeR,sina+2cosa—则tan2a=()

43

A."

jBq

34

CD.——

--4o

【多选题】

9.在△/回中，下列结论正确的是（）

A.sin(J+^)=sinC

B+CA

B.sin2—cos2

C.tan{A~\~3)=—tan

D.cos=cosC

10-已知ae(0,")，且Sina+cosa=",则()

JI

A.—＜。〈五

B.sin<7cosa=——

7

C.cosa—sina=~

5

7

D.cosa—sina=——

5

11.已知角。满足sin•cosaWO,则表达式一一0)+。。$(a)(«.蛆的取

sinacosQ

值可能为()

A.12B.-1或1

C.2D.-2或2或0

4

12.若sina且。为锐角,则下列选项中正确的有()

o

4

A.tana=-

3

B.cosa=-

5

C.sina+cosa--

5

1

D.sina—cosCL=——

5

【填空题】

1

sin(兀一夕)+cos(。-2兀)则t

2-an-

13.sin_1+cos(JI+1)

14.若tana=—2,贝Ucos*。+2sin2a=.

JI11

15.已知一丁VaVO,sina+cosa=-,则-2-----——的值为，

25cosQ—sina—

16.已知《是第四象限角，且sin(夕+(■]=■|，贝iJtanQ-1■卜.

【解答题】

17.(1)已知cos。是方程Zx—x—2=0的根，且a是第三象限角，求

一的值;

(2)已知sinx+cosx=——(0<X,求cosx—2sinx的值.

18.已知角Q的终边经过点尸（3处一6㈤（加W0）.

⑴求且sin（a+高尸+2c