辽宁省大连市2024届高三年级下册一模考试数学试卷(含答案)

辽宁省大连市2024届高三下学期一模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},5={1,3,5},则3gA=()

A.{2,4}B.{1,6}C.{3,5}D.{1}

2.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田.这〃块地的亩产量(单位：

kg)分别为XI,X2,…，X”，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程

度的是

Ad，%2,x“的平均数Bn1，9，…，居的标准差

C.X],Z，…，x”的最大值D.%1，/，…，Z的中位数

22

3.方程±+2L=i表示椭圆，则实数机的取值范围()

4m

A・加>0B.加>4C，o<m<4D.加>。且加。4

4.已知直线〃，b,。是三条不同直线，平面处优了是三个不同的平面，下列命题

正确的是()

A・若a_Lc6_Lc，则a〃Z?

B.若a//b,alla，则blla

C.若Q〃C6blla,C_LQ，且。_1人则c_L。

D.若yLa且贝

5,将ABCD所六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A,5分配到同

一所学校，则不同的分配方法共有()

A.12种B.18种C.36种D.54种

卜且5cos2a=0sin12—a),贝1Jtana=()

6.若ae,兀

31

A-B.--C.--D.l

343

7.设函数/(x)=sinTLX+T”一3一巳3⑶一元+3则满足/(%)+f(3-2x)v4的X的取值范围是

()

A.(3,+co)B.(-oo,3)C.(1,+oo)D.(-oo,l)

22

8.设耳，鸟是双曲线c：=_1=i(a〉o,万〉0)的左、右焦点，点A是双曲线C右支

ab1

上一点，若鸟的内切圆〃的半径为。(般为圆心)，且m/leR，使得

40+30/0=4月月，则双曲线C的离心率为()

A.73B.后C.20.275

二、多项选择题

9.已知i是虚数单位，下列说法正确的是()

A.已知q,b,c,deR,若a〉c'b—d^则a+历〉c+di

B.复数Z「Z2满足Z[=22，则团=同

C.复数Z满足|2-i|=|z+i|,贝Uz在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

D.复数z满足z(l+i)=|l-百i|，贝Iz=0卜os：—isin：J

10.已知函数/(x)=sin(公v+e)3>0,0<0<7r),若且

都有贝U()

A.y=/⑴在单调递减

8.丁=/(%)的图象关于[雪可对称

C.直线y=-Gx+；是一条切线

D.y=/(x)的图象向右平移m个单位长度后得到函数g(x)是偶函数

11.已知函数八可是定义域为R的可导函数，若

/(x+y)=/(x)+〃y)+3对(x+y)，且/'(0)=—3,则()

A./G)是奇函数B./(x)是减函数C.y(V3)=0D.%=1是“X)的极小值点

三、填空题

12.“函数/(”=利2一5垣％是奇函数”的充要条件是实数。=.

13.已知实数a>0,b>0,且必(。+助)=4,则。+4b的最小值为

四、双空题

14.在边长为4的正方形ABCD中，如左图所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中

点，分别沿AE,AR及ER所在直线把△AEB，△回£)和△£人7折起，使3,C,D

三点重合于点P,得到三棱锥p—3，如右图所示，则三棱锥尸―但外接球的表面

积是;过点M的平面截三棱锥P—AEF外接球所得截面的面积的取值范围是

五、解答题

15.如图多面体A3CDER中，面£钻,面筋。。，△£钻为等边三角形，四边形

A3CD为正方形，EFIIBC，且跖=?3C=3,H,G分别为CE,CD的中点.

(2)求平面3CER与平面RGH所成角的余弦值；

(3)作平面RHG与平面A3CD的交线，记该交线与直线AD交点为P,写出”的

AD

值(不需要说明理由，保留作图痕迹).

16.已知函数/(x)=xlnx+ox+l(aGR).

(1)若/(x)»0恒成立，求。的取值范围；

(2)当x>1时,证明：exIn%>e(x-1)-

17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球,

现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取

球.

(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率;

(2)停止取球时，记总的抽取次数为X,求X的分布列与数学期望：

(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中

2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球.采取不放回的方式

先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中

抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后

停止.记这种方案的总抽取次数为匕求V的数学期望，并从实际意义解释X与V的

数学期望的大小关系.

18.在平面直角坐标系xOy中，点。为坐标原点，已知两点A(-1,2),5(-1,-2),点

M满足心+则=OM(0A+0B^+2,记点M的轨迹为G.

(1)求曲线G的方程：

(2)若P,C,。为曲线G上的三个动点，NCPD的平分线交x轴于点

Q(a,O)(a<—1)，点。到直线PC的距离为L

⑴若点。为△PCD重心，用。表示点尸的坐标；

(ii)若PQLCD,求。的取值范围.

19.对于数列A:q,a2，%(qcN,z.=L2,3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列

3:6］也也,其中〃=|%4-旬。=1,2),且伪=%-⑷.这种"T变换"记作

B=T(A),继续对数列3进行“T变换”，得到数列C:q,C2，G，依此类推，当得到的

数列各项均为0时变换结束.

(1)写出数列A：3,6,5经过5次“T变换”后得到的数列：

(2)若%吗,四不全相等，判断数列不断的"变换”是否会结束，并说明理

由；

(3)设数列A：2020,2,2024经过上次“T变换”得到的数列各项之和最小，求左的

最小值.

参考答案

1.答案：c

解析：集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},5={1,3,5}

则,4={3,5,6}，有5^A={3,5}.

故选：C

2.答案：B

解析：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.

3.答案：D

22

解析：方程土+21=1表示椭圆，

4m

若焦点在X轴上，4>机>0；

若焦点在y轴上，m>4・

综上：实数机的取值范围是m>0且m*4

故选：D

4.答案：D

解析：若b±c^则。，6可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；

若a〃b,alia-则〃〃a或bua，故B错误；

若a//。，blla,0_1_。且0_1_/?，当a〃Z?时，不能证明c_La，C选项错误；

若且,y=a,在。上取一点P,作PQ_Ltz,

由面面垂直的性质定理可得PQu,且PQu7,既。与PQ重合，可得a'a，故D正

确.

故选：D

5.答案：B

解析：将余下四人分成两组，每组两人，有2种分法，

2

故不同的分配方法共有笔IxA；=18种，

故选：B.

6.答案：A

、

解析：由5cosla=—得5(cos26Z-sin2a)二cosa------sina

2

7

即5(cosa-sin(cosa+sinor)=cosa-sina,

因为西工兀所以cosa—sinaw0，

12

所以coso+sina=1，结合cc^a+sin2a=1，且cosav0，sina>0，

得。」.4

cossin«=—

55

g、isin。4

所以tana=------=——•

costz3

故选：A.

7.答案：C

解析：S%/(x)=sin7LX+e3x-3-e3-3v-x+3>

33-3333

所以/(x+1)=sin(7ix+兀)+e^-e-^-%-l+3

=-sin7uc+e3A'-e^3x-x+2>

^g(x)=/(x+l)-2=-sin7Lx+e3v-e-3A-X)显然定义域为R,g(x-l)=/(x)-2>

又g(-%)=-sin(-7cr)+e-3T-e3T+x=-(-sin7U+e3x-e-3A-=-g(x),

所以g(x)为R上的奇函数，

又g'(x)=—兀cosTUC+3e"+3eT3x-l>-7rCOSX+2A/3C3X-3e一1=5—兀cosx>0，

所以g(x)在R上单调递增，

又f(x)+f(3-2x)<4,则[/(x)—2]+[/(3-2x)-2]<0,

所以g(x-l)+g(2-2x)<0,即g(x-l)<-g(2-2x)=g(2x-2)>

所以x-l<2x-2，解得x>l，

则满足/(%)+/(3-2x)<4的x的取值范围是(1,y).

故选：C.

8.答案：A

解析：设M(如，为),{%,%)，由对称性不妨设A在第一象限，此时“也在第一象

限，

因AM+3OM=AF1F2-所以加_%+33^=0，%=4,”=4口，

所以S△叫&=；2-4a=3M+|A闾+2c)s又四卜|和|=2°,

解得|A周=3C+Q,|A阊=3c-。,片(一。,0)，

所以

\2"

+2CXA+aexA+a)=exA+a

所以|AFj|=〃+%，解得％4=3Q,所以A(3Q,4Q)，代入双曲线方程得:

22

-(-3a-)----(-4-a-)=],i

解得b=y[la，c=V«2+b2=6aJ所以e=：=6.

故选：A

9.答案：BCD

解析：对A,虚数不能比较大小，可知A错误；

对B,根据共辗复数的定义知，当，=Z2时，2]=云

则区|=卜2卜故B正确；

对C因为复数z满足|z-i|=|z+i|,

则复数在复平面上对应的点至U(0,1),(0,-1)两点间的距离相等,

则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，

即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；

因为z(l+i)=|l-73i|=2-

2=2(1)2(1)

则

1+i(l+i)(l-i)2

又”回喈TS呜卜=

故D正确,

故选：BCD.

10.答案:BC

解析：对A,因为/（x）=sin（0r+0）（。＞0,0＜夕＜兀），所以/（x）1mx=1，

又（J，闺"且佻［超），都有心）＜1，

所以7=2一（—巴］=兀，所以7="=兀，解得°=2，

6＜6Jco

BP/(x)=sin(2x+0)，

所以一女+夕=囚+2左兀，keZ，角翠得°=2+2E，keZ，

326

又0＜"＜兀，所以夕=1，所以/（x）=sm2x+空,

I6}

当时又y=sinx在上不单调,

所以y=/（尤）在上不单调，故A错误；

7兀.(7TI5兀)..„

对B,因为/=sinN2x---1---=sin2兀=0,

~12I126J

所以y=/（司的图象关于3,0对称，故B正确;

对C,因为尸(x)=2cos〔2x+£］,设切点为］xo，sin(2xo+葛)

则/'(%)=2cos6/+型］=-石，

所以

所以2%+,=1+2E,左eZ或2/+^=—1+2E，左eZ，

_5兀

解得%=%兀，左EZ或%=+E，keZ，

6

所以%=0,

即直线y=-+；是函数/(%)在处的切线，故C正确;

对D,将y=的图象向右平移;个单位长度后得到

显然g(x)是非奇非偶函数，故D错误.

故选：BC

11.答案：ACD

解析：令％=丁=0,得/(0)=0，令y=-x,得0=/(x)+/(—,所以/(九)是奇函

数，A正确；

/(x+y)=/(x)+/(y)+3x2y+3xy2-f\x+y)^f\x)+6yx+3y2

令％=0，.•./'(y)=/'(0)+3y2

又八0)=-3,〃3=39—3,「.小)…3y+c

/⑼=0,♦c=0，.•./(y)=y3_3y,.•./(X)=%3_3%,./(6)=0,

令/'(%)=°，.,.无=±1，/f(x)>0，%<—1或1>1，/f(x)<0，-1<x<l»

.♦./(%)在(-8,-1)和(1,+00)上为增函数，/(%)在(-1,1)上为减函数，

.”=1是的极小值，故CD正确，B错误.

故选：ACD.

12.答案：0

解析：若函数/("=加-sinx是奇函数，

则当且仅当y(x)=ax2—sinx=—Ja(-x)2-sin(-x)~|=-/(-x)>

也就是2就2=0恒成立，从而只能a=0.

故答案为：0.

13.答案：

解析：(a+4b)~=a-+8ab+16b-=a(a+8b)+16b~=^+16b^

设g(Z?)=：+16/，其中/?>。，贝”且十3二—_"+324=4」［~,

当be［。,；］时，g，(/?)<0，当6e［；,+oo］时，g，®>0，

故g(b)在上为增函数,在、,+s］上为减函数,

故g㈤min=g］£|=12,此时。=一2+2百〉0,

故a+4b的最小值为2右.

故答案为：2®

14.答案:①.24兀②.［兀,6兀］

解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示:

三棱锥Q—3外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径

(23?)2=22+22+42=24-R=甚,

所以三棱锥P—AEF外接球的表面积为5=4兀犬2=24兀，

过点〃的平面截三棱锥P—3的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心。的

大圆，此时截面圆的面积为兀4=兀(#)2=6兀，

最小截面为过点M垂直于球心。与〃连线的圆，此时截面圆半径

"3—0/=,_1等］=g=i(其中MN长度为长方体前后面对角线长

度)，

故截面圆的面积为“2=兀，

所以过点M的平面截三棱锥P—AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为［兀,6句.

故答案为：24兀；［兀,6兀］

15.答案：(1)证明见解析

(2)运

22

(3)理=工，作图见解析

AD4

解析：(1)在正方形ABCD中，ADrAB^

:平面平面ABCD，平面E45平面ABCD=AB,ADu平面ABCD，

平面E钻，又Mu平面E4B，

:.BhAD；

(2)..△fAB为等边三角形，设A3中点为LAB，

又平面平面ABCD，面E48面ABCD=AB，OEu面E4B，则。面

ABCD，

以。为坐标原点，分别以03，OG，OF为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,

如图所示:

因为放=口。=3，则BC=4，则3(2,0,0),C(2,4,0),网0,0,2⑹,

E（0,3,26）,也），G（0,4,0），

所以8尸=「2,0,26），BC=（0,4,0）-FHFG=（0,4,-273）,

设平面BCEF的一个法向量为加=(x,y,z)

m•BF=0—2x+2^/3z—0

则=>取z=l得x=6，y=0，所以加=(G,0,l)，

m-BC=Q4y=0

设平面FGH的一个法向量为〃=（a,女C）

7

\ri.FH=0\a+-b-y/3c=Q^取,=/得b=)，所以

〃FG=U4b-26c=042

II

所以平面与6CEF与平面软汨成角的余弦值为叵；

22

（3）如图所示：在AD上取一点P,使得£）p=£F，连接此，PG

因为EF//BC，AD//BC所以EF//AD，即EF//DF，

所以EFPD为平行四边形，故FPHED，

因为H,G分别为CE,CD的中点，所以GH//DE，

故GHHPF，即G，H,P,R共面，

BCM

故理」.

AD4

16.答案：（1）a>-l

（2）证明见解析

解析：(1)由已知得，-aWhw+工在(0,+oo)上恒成立，

设g(x)=ln%+Lg<x)=』—-L=L-1,

XXXX

g〈x)>0，解得x>［，g<x)<0，解得0<x<l，

.♦.g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+oo)上为增函数，

.,.g(x)>g(l)=B即

CL2—1；

(2)法一：由(1)知时，恒成立，

取a=—1，得hu'B成立，％=1时取等号.

X

所以当1>1时，e'lnx〉e'(l)，

X

设W=e"-ex，//(%)=e"-e，故%>1时,

/z(x)=e"—ex在(1,+8)上为增函数，

.,./?(%)>//(!)=0,

/.ex>ex-

所以X>1时，里〉e，即也二D〉e(x—1).

XX

由此可证,当时，e"lnx〉e"——>e(x-l)结论得证.

x

法二：当%>1时，若证《"111¥>©(%-1)成立.即证x>l

e

Y-1c、1e，T-(x-l)e，Tex-1+x2-2x

G

UG(x)=lru--^r>x>l，W=-西—=—/—

设zn(x)=e"T+耳2—2%加(％)=e"T+2%-2=e'T+2(%—1)，

当X>1时,加(％)>0，/.皿X)在(1,+8)上为增函数.

/.m(x)>m(l)=0,/.G'(x)>0,

・•・G(x)在(L+8)上为增函数,G(x)>G⑴=0,

由此可证，当时，e"hu>e（x-l）成立.

17.答案：（1）A；

35

（2）分布列见解析,E（X）=g

（3）E（y）=与，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，

该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期

望更低.

解析：（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A,

C：A；A；3

则尸（A）=

35

（2）X的可能取值为3,4,5,6,

P"=3）=H，小=4）=^±^14

35

C；A；A：+C；A；A；（）C；C；A；4

P（X=5）=gPX=6=

A；A；一,'

所以X的分布列为

X3456

142_£

p

353577

X的数学期望矶X）=3x『4q+5x］喈彳

（3）y的可能取值为3,4,5,6,设甲盒、乙盒抽取次数分别为耳、Y2,

因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种

颜色即可，

1A21

P（Y=3）=P（YI=1）P（Y2=2）=-^=-,

P（Y=4）=P（YI=l）P（Y2=3）+P（Yl=2）P（Y2=2）=ix^l+lx^=l，

p（y=5）=P（Yl=1）P（Y2=4）+P&=2）P（K=3）

=।2C；A；A；=7,

一式A：AJ3A：-18，

P(Y=6)=P&=2)P化=今=|[^^+亳]=|,

y的数学期望石(y)=3—+5xZ+6/=史，

v71891839

在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经

消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低.

2

18.答案：(1)y=-4x

(2)⑴土反)(ii)a<-|

解析：(1)设点”(x,y),4(—1,2),

.-.MA=(-l-x,2-y)>MB=(-l-x,-2-y)>OM=(x,y)>OA=(-1,2)>

OB=(-1,-2)>

即M4+Affi=(-2—2龙,一2y)，OA+OB=(-2,0)>

:.\MA+MB\=7(-2-2x)2+(-2y)2=^4x2+4/+8x+4,

0M.(0A+03)+2=(x,y).(-2,0)+2=-2x+2,

\MA+MB\=OM(OA+OB^+2,^x2+4y2+8x+4=—2x+2，

化简得曲线G的方程：y2=-4x；

(2)(i)解法1：设C(%,yJ,£>(x2,y2),尸(%%),P。为△尸CD的角平分线.

Q为△PCD重心二PQ为△PCD的中线，S三线合一可得PQ±CD

..k_--％__4kpQ=—当一

KCD--,,y„

x2~xiM+%——a

4

Q为重心,%+%+%=0

kpQ-kep=-1尸(a-4,土2j4-a)①

设直线PC方程为：x-x0-m^y-y^>直线尸£)方程为：x-x0=n[y-yQ)>

；尸。是NCPD的平分线，点。到直线PC的距离为L•.点。到直线P。的距离为1，

'Jl+t/T

可得（l-y；）加+25一。）先加—（后一疗=0

同理（1一y；）/+2（%一q）一々J二0，

即如〃是方程（1-乂）入2伉-a）3-（5-a『=0的两根，­=2（一）为

%T

Xm1

“°^y%）联立可得：y+4my+4x0-4my0=0,

y=~4x

,%+%=-4根，yl^-4m-y0,同理为=-4〃一%，二乂+%=-4（加+八）-2%，

点。为△PCD重心，二为+%+%=0，即

-4（m+n）-y0=-4"冬-yQ=Q,

8〃+1

又y；=-4%o,「.<49

%=±{-8a—1

故点/的坐标为［合^,±4-8a-11②

联立①②可得a=_:即士庖］

解法2：

••.PQ是NCPD的平分线，点。到直线PC的距离为1，.一.点。到直线PD的距离为1，

二直线尸C、尸。与圆Q：（x—0）2+/=1相切，

设直线PC、PD与圆的切点分别为E（%，x）,F（x2,y2），

设直线PC上任意一点坐标为P（x,y）,则PE.QE=0，可得

（石X—y）•（%—a,M）=0，整理得（石—a）+%（%—y）=0,

结合4-a）2+y；=1,进一步可得直线PC方程为：（%-〃）（％-〃）+%丁=1，

同理直线p£）方程为（马-a）（x-〃）+y2y=1，

因为点P（x0,y0）在两条直线上，

所以可知直线EF的方程为(%-a)(x-a)+%y=1，

代入圆方程可得：(x—a)2+y2=[(%—a)(x-a)+为y]~

22

即：(]一,；)/_2(X0_a)(x-a)%y+l-(x0-tz)(x-a)=0

设直线QE的斜率匕=虫」，直线QR的斜率为心=2上

xx-ax2-a

2

-2yo—Q)-----F1一(%—Q)—0

x-a

即勺+幺=2%(/；4),

-1-Jo

y2=-4x

联立直线PC与抛物线方程，

(西一。)(九一〃)+yry=1

可得：/一上…，+j=o,

xx-a

二%+为=4匕，同理可得.为+为=4左2,

，%+为=4(4+4)-2为

点。为“皿重心，‘即4(>3—犷智'—％二°，

8。+1

又一y；=—4/，，<

%=±J-8〃-1

故点P