安徽省皖豫联盟与安徽卓越县中联盟2024届高三联考5月三模数学试题（含答案与解析）

豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024届高三联考

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

考生注意：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置，

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他标号，回答非选择题时，将写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数X近似服从正态分布

N(105,100),据此估计，该市二模考试数学分数X介于75至IJ115之间的人数为()

参考数据：若XN3b2),则

P(jLi-a<X<4+b)e0.6827,尸(〃-2。<X<〃+2b)«0.9545,P(//-3a<X<〃+3b)«0.9973

A.13272B.16372C.16800D.19518

2.若复数z满足z+3=三，则忖=()

363A/5D.竿

A.-B.-C.

555

3.在椭圆。的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆

C的离心率为()

AD.—

-TB、T2

2

4.记数歹U{q,}的前〃项和为S”，若q=1,S“+Sn+1=3n+2n+l,则邑0=()

A.590B.602C.630D.650

5.已知正方体的棱长为1,若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为1的四面体

3

的概率为（）

1236

A.—B.—C.—D.—

35353535

9_Q.3

叫er+4x,x>—,

23

6.己知函数/（》）=<的图象关于直线X=7对称，则叫+7%+机3=（

3—2%2

2e+m2x+m3，%<—

A.8B.10C.12D.14

7.已知圆台日。2的上、下底面面积分别为4兀,36兀，其外接球球心。满足则圆台QU的外

接球体积与圆台a。的体积之比为（）

A20有口IOAM「10A/5n10

13131313

•X热X1

8.已知实数玉,九2，七满足「J=e2-1^——则（）

2-％/+退+120

A.xY<x2<x3B.%vx3V/

C.x2<x3<玉D.x2<xi<x3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知函数/（x）=2sin]3x—；：则（）

A./Q-=

B.“X）的图象关于直线x=-对称

2兀

C./（%）在—上单调递增

371

D.函数y=〃x）+5在-§,0上有2个零点

10.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为3的正方形，平面A5CD,_S4D为等腰三角形，£为棱

SD上靠近。的三等分点，点P在棱部上运动，则（）

A.S3//平面AEC

B.直线CE与平面S3。所成角正弦值为好

5

C.AP+CPN2巫

D.点E到平面5AC的距离为百

11.已知抛物线4：、2=。%（。〉0）和。2：产=2。苫的焦点分别为月,工，动直线/与G交于

M（石,X）,^^（%,%）两点，与02交于。（工3，%），。（*4，%）两点，其中%，为〉°，％，>4<0，且当/过点

8时，为%=-4,则下列说法中正确的是（）

A.G方程为V=2x

已知点A（2，T

B.，则|MA|+M耳I的最小值为3

1111

C.—+—=—+—

%%%%

\MP\

D.若木才=2,则月与第8的面积相等

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={42,-1},3=}|，=/,工6可，若AU5的所有元素之和为⑵则实数4=

13.已知圆C:（x—lA+V=4的圆心为点。，直线/:尤=7盯+2与圆。交于两点，点A在圆。

上，且C4//MV,若AN=2,贝/“V卜.

14.己知cos+2a1+dsin?—a—/?]=（sin/?—cos/?）?+1,其中a+乃WE（左eZ）,且

tana+3tan力=4^/2-2tan（a+力），贝Utan2a=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同

学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示.

（1）以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人,记评分在［50,70）的人数为X,求X的数学期

望和方差.

（2）为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷,统计结果如下表所示，则依据。=0.01的独立

性检验，能否认为评分与性别有关？

男生女生

评分＞703035

评分＜702015

（3）若将（2）中表格人数数据都扩大为原来的10倍，则依据。=0.01的独立性检验，所得结论与

（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.

n{ad—bcf

参考公式/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

16.如图，在三棱锥S—ABC中，JBC，AC,S4=S3=SC,M,N分别为棱SASC的中点.

s

(1)证明：平面SAB，平面ABC；

(2)若点S到底面ABC的距离等于33C,且AC=25C,求二面角S——N的正弦值.

17.己知函数4%)=砒3—桁2,且曲线丁=〃力在点(2,/(2))处切线方程为x-2y-2=0.

(1)求了(%)的极值；

(2)若实数占,吃满足/(芯)=46*，记几=%-々，求实数X最小值.

22

18.已知双曲线。邑-4=1(“>0,6>0)的离心率为2,动直线/：,=米+加与。的左、右两支分别交于

a-b

点M,N,且当左="2=1时，OM-ON=-2(。为坐标原点).

(1)求C的方程；

(2)若点。至I"的距离为l,c的左、右顶点分别为A，4,记直线的斜率分别为底…3N，求

久&1的最小值

\MN\

19.定义1：若数列｛%｝满足①％=1,②1)=0,则称｛%｝为“两点数列”；定义2：对

于给定的数列｛4｝,若数列也｝满足①4=1,②%=|%-则称也｝为｛4｝的“生成数列”.

已知｛4｝为“两点数列”，也｝为｛4｝的“生成数列”.

(1)若?」+(；严,求｛2｝的前〃项和S“；

(2)设〃：｛%｝为常数列，/｛%｝为等比数列，从充分性和必要性上判断。是q的什么条件；

(3)求4025的最大值，并写出使得。2025取到最大值的｛4｝的一个通项公式・

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数X近似服从正态分布

N(105,100),据此估计，该市二模考试数学分数X介于75到115之间的人数为()

参考数据：若“'(〃，")，则

P(〃—cr<X<//+cr)«0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)«0.9545,P(/z-3cr<X<〃+3cr)土0.9973

A.13272B.16372C.16800D.19518

【答案】C

【解析】

【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解.

【详解】依题意P(75<X<115)。———:——=0.84,故所求人数为20000x0.84=16800.

2

故选：C.

2.若复数z满足z+3=3,则|z|=：()

21

363A/5675

A.-B.-Rn

5555

【答案】D

【解析】

【分析】先求得Z,然后求得团

6i6i-12

【详解】依题意，2iz+6i=z,故:z==，

l-2i5

故=哈

故选：D

3.在椭圆C的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆

C的离心率为()

A.立B.1C.—D.在

4222

【答案】C

【解析】

【分析】分析这三个点一定构成等腰直角三角形，所以只可能是两种特殊情形，由于结果都是满足b=c,

所以只可求出一个离心率.

【详解】根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个

焦点”或“两个焦点和短轴的一个端点”，

可设椭圆C的长半轴长为。（。＞0）,短半轴长为03＞0）,半焦距为c（c＞。），

这两种情况都满足力=c，所以e=£=匕〒匕〒=也，

aya21b2+c2\c2+c2V22

即椭圆C离心率为它，

2

故选：C.

4.记数歹U{%}的前〃项和为5“，若。1=1,S„+Sn+1=3/+2〃+1,则邑0=（）

A.590B.602C.630D.650

【答案】A

【解析】

【分析】根据4+i=S,,+1一S”作差得到+4+2=6（〃+1）—1,再计算出q+%，即可得到

a„+an+l=6n-l,再利用并项求和法计算可得.

【详解】因为S“+S,+I=3〃2+2〃+1,

所以邑+1+S“+2=3（〃+1）2+2（〃+1）+1,

两式相减可得a”+i+。”+2=6〃+5=6（〃+1）—1.

由q=1,S]+S2=3X].2+2X1+1=6,解得%=4,

所以％+〃2=5,满足上式，故4+。〃+1=6〃-1,

所以5*20=（6+%）+（%+。4）++（69+。20）

10x(5+113)

=5+17+29++113=——-----=590.

2

故选：A

5.已知正方体的棱长为1,若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为工的四面体

3

的概率为()

1236

A.—B.—C.—D.—

35353535

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查排列组合与古典概型概率计算.

【详解】设正方体为ABCD-\BXCXDX,则满足体积为g的四个顶点只有“AC/A”和

八21

“氏A,G”两种情况满足，故所求概率「=厘=有.

故选：A

7.3

+4x,x>—,

6.已知函数〃x)=,一々的图象关于直线X=3对称，贝1]/4+机2+，%=()

c3-2%32

2e+m2x+m3,x<—

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【解析】

33

【分析】利用/(X)的图象关于直线X=耳对称，可知向左平移5个单位为偶函数，再利用g(—x)=g(x)恒

成立，知对应待定系数相等，即可解决问题.

m^x+4x+6,x>0,

3

【详解】依题意，g(x)=/XH--3为偶函数,

22e+m2x+—m2+/,%<0

2x2x3

当x<0时，g[-x)-m^-4x+6,g(x)=2e~+m2x+—m2+/

3

由g(—x)=g(x)可知班=2,%=-4,—m2=6,

解得叫=2,加2=-4,加3=12,所以班+加2+加3=10.

故选：B

7.已知圆台。仪的上、下底面面积分别为4兀,36兀，其外接球球心。满足300；,则圆台QU的外

接球体积与圆台GQ的体积之比为（）

A20A/5RIOA/10「1075n10

13131313

【答案】B

【解析】

【分析】根据相切结合勾股定理可得R2=4+9〃2=36+〃2,即可求解〃=2,R=2比6,由圆台和球的体

积公式即可求解.

【详解】设圆台的高为4〃，外接球半径为R，作出轴截面如图：

的上、下底面面积分别为4兀,36兀，则圆。一的半径分别为2,6,

则氏2=4+9〃2=36+〃2,解得/?=2,R=2jlO,

故所求体积之比为——3"@阿一=邛。

.（4兀+36兀+.4兀•36兀）•8

故选：B

h

X包X1

8已知实数为'3满足2-1一底+]=、，则（

A.%；<x2<x3B.玉<%〈兀2

C.x2<x3<XjD.x2<Xj<x3

【答案】A

【解析】

【分析】求出石,々，七，构造函数/(x)=f—1—21nx,利用导数研究单调性，比较出退>々，构造函数

=—-比较出工2〉药，即可求解.

2包_____(]、

2

【详解】依题意-----=e=Jl+x3=1.05,则玉=2|1—77rl=21nl.O5,%=1.05?T.

2-玉I1.05J

令/(x)=x2-l-21wc,故f'(x)=2a1)("+1),

X

故当天>1时，r(x)>o,〃x)在(i,内)上单调递增，

故〃1.05)>0,则七>%.令g(x)=lnx_]l_j],

则g'(x)=W，故当尤>1时,g'(x)>0,g(x)在。,+8)上单调递增,

X

则g(1.05)>0,则w〉％.

综上所述：%3>%2>^.

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=2sin]3x—；],则()

A.巾_曰="”

B./(%)的图象关于直线》=-.对称

27r

C.“X)在—,7T上单调递增

D.函数y=〃x)+33在—§71,0上有2个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用正弦函数的图象和性质依次判断选项即可.

27r/|JTI4"兀）

【详解】易知〃力的最小正周期为三，所以-5也是“力的周期，则/卜-5卜/⑴，故A正

确;

7T7T

令3x—上=2+左兀，解得:x=：+,伏ez）,当％=—1时，》=—方，所以/（%）的图象关于直线

42

兀

x=----对称，故B正确；

12

27rjr77r11jr27T

当三-，兀时，3x——€——,—,则函数/（%）在--,71上先增后减，故C错误;

3444v73

令/（力+：=0,故〃x）=—1，在一直角坐标系中分别作出y=/（x），xe-j,0和y=-g的大致

371

图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数丁=/（力+,在-§,0上有2个零点，故D正确.

故选：ABD

10.己知四棱锥S-ABCD的底面是边长为3的正方形，平面A3CD,.S4D为等腰三角形，£为棱

SD上靠近。的三等分点，点尸在棱S3上运动，则（）

A.S3//平面AEC

B.直线CE与平面S5C所成角的正弦值为好

5

C.AP+CPN2显

D.点£到平面S4C的距离为若

【答案】BC

【解析】

【分析】连接EO,若S5//平面AEC,证得S5//EO,得到。E=』SD,与题设矛盾，可判定A错

2

误；过点E作EFLSC,根据线面垂直的判定定理，证得所上平面S3C,得到直线CE与平面SBC

所成的角为NECN,可判定B正确；将平面出出翻折至与平面S5C共面，连接AC,结合

AP+CP>AC,可判定C正确；根据/_SAC=%.ESC，求得高％，可判定D错误.

【详解】对于A中，连接BD，交AC于点。，连接E0,如图所示，

若SB//平面A£C,因为平面SBD、平面AECnOE,且SBu平面5BD,

所以S5//EO,因为。为的中点，所以DE=LSD,

2

又因为E为棱SD上靠近。的三等分点，所以矛盾，所以A错误；

对于B中，过点E作跖，SC,垂足为产，

因为S£)J_平面A3CD,且BCu平面A3CD,所以SDL8C,

又因为四边形A3CD为正方形，所以CDL8C,

因为S£>CD=D,且SD,CDu平面SCO,所以3cl平面SCD,

又因为所u平面SCD,所以防，

因为SCcNCuC,且SC,3Cu平面SBC,所以瓦工平面

则直线CE与平面S5C所成的角为ZECF,

,„„_3A/To./…一回■/M一叵(37W加工君

由田则可矢口cos//DnCE-—~,sin/DCE—,sinNEC尸—sin(45-/DC1EA)-—xI—I—,

所以B正确；

对于C中，将平面出出翻折至与平面S3C共面，且点AC在直线S3的两侧，

连接AC,则AP+CPNAC=2x3x3«=2娓,所以C正确；

3V3

对于D中，设点E到平面S4c的距离为〃，

则/SAC=-S-h=-x—x(3y/2)2xh=V=-x-x2x3x3,

匕-OAC3dS/AicC34\/A-zioAcEsr32

解得丸=友，所以D错误.

3

故选：BC.

11.已知抛物线Cl：y2=px5＞0）和C2：y2=2px的焦点分别为公,工，动直线/与G交于

用（%，X）,N（X2，%）两点，与02交于。（七，%），。（％，%）两点，其中%，%〉°，为，＞4＜。，且当/过点

工时，y3y4=-4,则下列说法中正确的是（）

A.G的方程为＞2=2%

B.已知点则+娟的最小值为3

M%%为

\MP\

D.若去疝=2,则耳心与小《的面积相等

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,设/:x=my+§联立抛物线。2的方程，结合韦达定理求出P即可判断；对于B,结合

抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C,设/:%=阳+乙分别联立抛物线方程，结合韦达定理即

\MP\

可判断；对于D,由C选项分析可得%-X=%-%,结合%-X=T=2以及韦达定理即可得

%”%一%

出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断.

x=my+—0

当/过点歹2时，设/：%=加＞+],联立＜2,可得yo-2pmy-p=0,

y?=2px

A-4p~m2+4p2>0,

故为%=-。2=-4，解得夕=2，则G:＞2=2x，G：y2=4x，故A正确;

过点M,A向G的准线引垂线，垂足分别为B,C,

点A到G的准线的距离d=』，

2

由抛物线定义可知|M4|+|Mf；|=|M4|+\MB\>\AB\>|AC|=tZ=|,

等号成立当且仅当点M为AC与抛物线的交点，故B错误；

,[x=my+t

设/:x=加丁+1，由〈,可得y9-2加>-2/=0,

y=2x

2

△i=4m+8/>0,必+%=2m,y1y2=-2t,

x=my+t0

由〈2，可得y-Amy-At=0,

[y=4x

A2=16〃，+16/〉0,%+%=4m,yYy2=-4/,

11%+%=m11m

故—+一同理可得一+—=—一，故C正确;

%%%%t%%t

X=%-%,故%-X%-%

%%为%%为%”‘%为y2y4

-At

MP%_2y：_

注意到%-x\\,2而和

%一%\NQ\yyy~%

244e%

所以|x|=M，从而△“巴玛与。£鸟的面积相等,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出|k|=|%|，由此即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知集合4={42,-l},3={y|y=X2,xeA},若的所有元素之和为⑵则实数4=

【答案】-3

【解析】

【分析】分类讨论2是否为1,-2,进而可得集合3,结合题意分析求解.

【详解】由题意可知：Xw—1且2/2,

当％=丸，则y=%；当x=2,则y=4；当工=一1,贝Uy=l；

若几=1,则3={1,4},此时的所有元素之和为6,不符合题意，舍去；

若4=—2,则3={1,4},此时的所有元素之和为4,不符合题意，舍去；

若2*1且2,则3=卜,4,/12},故22+2+6=12,解得4=—3或2=2(舍去)；

综上所述：2=-3.

故答案为：-3.

13.已知圆C:(x—1)2+/=4的圆心为点C,直线/：尤=7肛+2与圆。交于两点，点A在圆。

上，且C4//MZV,若AM-AN=2,贝/"N卜.

【答案】2百

【解析】

【分析】设弦的中点为8,得到5CLAC,化简A〃-AN=2R2—T“N］，即可求解.

【详解】由圆C:(x—1>+丁=4,可得圆心C(1,O),半径为R=2,设弦MN的中点为8,

因为C4//肱V,BCYMN,所以3C±AC,

且AM=AB+BM,AN=AB+BN=AB—BM,

所以4河.回=,@2-|四『=|45『_；〔削『=氏2+|匿|2_1|2^|2

=R2+[R2_J“M]_J"N『=2R2_=8_J"N1=2,

解得|MN|=26.

故答案为：2省.

2-a-/?j=（sin/?-cosyff）2+1,其中a+乃wE（左eZ）,且

tana+3tan力=4夜-2tan（a+尸），则tan2a=.

【答案】2A/2

【解析】

【分析】由第一个已知条件得sin21+sin2/=2sin(21+2分),结合二倍角公式进一步得出

tan«tan^=1,结合第二个已知条件可得关于tana的方程，由此即可求解.

【详解】依题意，cos[T+2aJ+4sin2=sin2a+2-2cos]-(20+2,)=sin2a+2—2sin(2a+2/7),

(sin/?-cos/?)2+1=2—sin2',

所以sin2a+sin2/?=2sin(2a+27?),

所以sin2a+sin2/=sin[(a+/)+(a—/?)]+sin[(o+m—(a—/)]=2sin(a+⑶cos(a—⑶,

而2sin(2a+20=4sin(a+£)・cos(a+0,

因为(kEZ),故sin(o+⑶WO,

则COS(df-/?)=2COS(6Z+/?),

则3sinosin尸=cosorcos/?,

即tanatan尸=；,

八/八\cccc2tanor+2tan^

则tana+2tan(a+〃)+3tanp=tana+3tanpH-----------------

1-tanciftan^

2i-

=4tancr+6tan夕=4tancr+------=4。2,

tan。

解得tana=立，故tan2a=1与=20

21-2

故答案为：2夜.

【点睛】关键点点睛：关键是得出tanatan〃=g,由此即可顺利得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同

学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示.

（1）以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在［50,70）的人数为X,求X的数学期

望和方差.

（2）为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据。=0.01的独立

性检验，能否认为评分与性别有关?

男生女生

评分2703035

评分＜702015

（3）若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据a=0.01的独立性检验，所得结论与

（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.

n{ad-bcf

参考公式:/=

(a+b)(c+d)(a+c)(》+d)

参考数据:

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

a63

【答案】⑴£（X）=-,D（X）=—;

（2）

不能认为评分与性别有关；

（3）不一致.

【解析】

【分析】（1）由题意可得x即可得X的数学期望和方差；

（2）求出72的值，即可判断；

（3）将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，求出％2的值，即可得结论.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可知评分在［50,70）的频率为2x0.015x10=0.3，

所以X

所以石(x)=3X2=2,£>(X)=3X』X2=£

v71010V71010100

【小问2详解】

100x(30x15-35x20)2

解：依题意义2=«1.099<6.635,

65x35x50x50

故依据a=0.01的独立性检验，不能认为评分与性别有关.

【小问3详解】

解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，

2_1000x(300x150-350x200)2

650x350x500x500

100x(30x15-35>20)2>100000

65x35x50x50x10000

[0>lOOx(3Oxl5-35x20)2

«10,99>6,635.

65x35x50x50

所以能认为评分与性别有关，

故所得结论与（2）中所得结论不一致.

16.如图，在三棱锥S—ABC中，BCLACSAuSBuSCM.N分别为棱S4,SC的中点.

s

(1)证明：平面SAB_L平面ABC；

(2)若点S到底面ABC的距离等于33C,且AC=25C,求二面角S——N的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵3

5

【解析】

【分析】(1)取棱A5的中点。，连接OS,OC,分别证得和SOLOC和SOLAB,利用线面垂直的判

定定理，证得SO，平面ABC,进而证得平面1sA6,平面ABC；

(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设5c=2,分别求得平面和血勿V的法向量

*=(1,2,0)和机=(0,2,1),结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：取棱AB的中点。，连接OS,OC,

因为S4=SB,所以

又因为C4LCB,由直角三角形的性质，可得AO=CO,

因为S4=SC,SO=S。，所以SOA=SOC,

可得NSOA=/SOC=90，即SOLOC,

因为A5c0C=0,且AB,OCu平面ABC,所以SOJ.平面ABC,

又因为SOu平面&43,故平面S4B，平面ABC.

【小问2详解】

解：以C为坐标原点，C4,C3所在直线分别为％，丁轴，过点C垂直与平面ABC直线为z轴，建立空间

直角坐标系，如图所示，

不妨设5。=2,则AC=4,SO=6,

所以5(2」,6),5(0,2,0),4(4,0,0),”[3,3,3]d[，3,3],

可得A3=(―4,2,0),AS=(―2,1,6),3"=13,—13)NM=(2,0,0),

/、[n-AB--4x+2y=0

设〃=(x,y,2)为平面&LB的法向量，则〈

n-AS=—2x+y+62=0

取尤=1,可得y=2,z=0,所以〃=(1,2,0),

m-NM=2p=0

设加二(p,q,r)为平面BWN的法向量，贝卜3

m-BM=3p--q-\-3r=0

17.己知函数〃£)=加一反2,且曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为％—2丁—2=0.

(1)求了(%)的极值；

(2)若实数%,超满足/(%)=4e*，记4=%—%，求实数4的最小值.

4

【答案】(1)极大值为0,极小值为----.

27

(2)4.

【解析】

【分析】(1)根据切线方程即可求得函数解析式，再由导数求得单调区间，即可求解极值.

t3_2产

(2)由题得到对%2的关系式，再构造函数力(。=^一■一"£(2,+”)，由导数求得单调区间和最值，即可

求得2的最小值.

【小问1详解】

依题意/'(%)=3at2—2bx,

则广(2)=12a—4b=g,①

而“2)=0,故8a—4〃=0,即Z?=2a②，

联立①②，解得。=’力=!.

84

故/⑴右一餐/⑺=脑一*:*。1)，

o4oZo

令r(x)=o，得光=0或%="|

故当XG(—8,0)时，/'(x)>0,/(x)单调递增，

当时，/'(无)<0,/(x)单调递减，

当xe]g,+oo]时，单调递增，

/、、(4、1641164

故了(%)的极大值为"0)=0，极小值为力-=-x—~jx—=~—.

o2/4yZ/

【小问2详解】

由/&)=4e*得x：—2x：=32e*,故izM=32e*小，且王〉2,

令丸(/)=C^M，/e(2,+/),则

故当2(/<4时，单调递增，当/〉4时，”(/)<0,/i(>)单调递减,

3?

因此当/=4时，/X0max=/^(4)=—,

e

故工2一七〈一4,贝I]%一%224,

故实数X的最小值为4.

22

18.已知双曲线C:'-当=l(a>03>0)的离心率为2,动直线/：y=Ax+m与。的左、右两支分别交于

ab

点M,N,且当左=772=1时，OMON=-2(。为坐标原点).

(1)求C的方程;

(2)若点。至心的距离为l,c的左、右顶点分别为A，4,记直线AM,4N的斜率分别为底“，3N，求

的最小值

\MN\

2

【答案】(1)炉—2L=i

3

e36+21百

k/J----------

4

【解析】

1.02

【分析】(1)设。的半焦距为C,由题意得到廿二3/，联立方程组得到玉+%=1,%々=-匕m-，结

合OMON=—2,列出方程求得标,〃的值，即可求解;

(2)由点。至IJ/的距离为1,得到m2=犷+1，联立方程组求得石+々,石々，求得左2<3,再由弦长公

’12(小—左2+3)

卜%乂及%尺1+k_kk然再由

式，求得，求得归-々

A灯

阿MAj-尤2I

(1)得至IJ左4M3N=-21-12』，进而求得其最小值，得到答案.

【小问1详解】

解：设。的半焦距为c(c>0),

由题意知离心率e=£=Jl+与=2，可得人2=3/，

a\a

y=kx+1

联立方程组《x2y2，整理得212—2尤一1—3Q2=0,

ia3a

]+3。2

其中△=12+24〃>0且玉+%2=1,再%2----~—

则OMON-XyX2+%%=2%%+玉+x2+1=1—3a2=-2,

2

解得片=1/2=3,所以双曲线。的方程为21=1.

3

【小问2详解】

1ml

解：因为点。至心的距离为1,可得J/=L则祖2=父+1.

V^+i

联立方程组，整理得（3—公卜2—2物a_（〃+3）=o,

3x—y—3

其中3—公/（）,△=（—2-）+4（3—/）（祖2+3）=48>O,

口2kmm2+3

且M+%=----=一5-----------------------，

1一3—E12k--3

Z?72-I-3

因为直线/与C的左、右两支分别交于点",N,可得勺t2<0,所以左2<3,

左2—3

2

J1+左2J1+421k,..kt^y/l+kk,..k.

又因为与------ri-------------1-故&jI——=产W

2

I--------；-------J12（m-F+3）

且