2024届江苏省连云港市高三年级上册一模数学试题及答案

2023〜2024学年度第一学期高三年级期末调研测试

数学试卷2024.1

总分：150分时间：120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知z(l+i)=i,则复数z的虚部为

1111

A.-B.C.-iD.i

2222

2.已知集合5=",=左一；，左GZ},T={x\x=2k+k左GZ},则Sn「=

A.SB.TC.7D.0

3.随机变量界N(2,a2),若P(XW1.5)=m,P(2WXW2.5)=1—3加，则P(XW2.5)=

A.0.25B.0.5C.0.75D.0.85

4.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构

成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研

究表明峰房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由

十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥

(如图3),且平面48co与平面NZBS的夹角为45。，则cos//S8=

数学试卷第1页(共5页)

5.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报

道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有

A.108种B.90种C.72种D.36种

XV

6.已知双曲线C：---=l(a>0,6>0)的左顶点为左、右焦点分别为尸”F,过尸2

ab2

作x轴的垂线交C于1,8两点，若//儿必为锐角，则C的离心率的取值范围是

A.(1,g)B.(1,2)C.函,+oo)D.(2,+oo)

71

7.已知△ZBC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,若。=4,A=-且为边4c上

3

的高，4。为边5。上的中线，贝的值为

A.2B.-2C.6D.-6

8.已知a=ln3,Z?=log2e,c=~—也？，则q,b,c的大小关系是

c

A.a<b<cB.b<c<aC.c〈a〈bD.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1,2,3,4,正六面体骰子的六个面分别标有

数字1,2,3,4,5,6,抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X,抛掷一枚正六面体

骰子，记向上的数字为匕则

11

A.P(X=2)=-B.P(y<3)=-C.E(X)>E(Y)D.D(X)<D(Y)

,tz71A/311兀,

10.已知函数｛x)=sin(ox+9)(0<①<3,--<^<0),且人0)=一/(—)=~1,则

71

A.(p=----B.於)的最小正周期为兀

6

兀5兀71

c.y(x)在(-，一)上单调递减D.J[x)为奇函数

2612

11.已知数列｛斯｝的前〃项和为，且5“=”2+&+〃，则下列结论正确的有

A.若〃=0,则｛斯｝为等差数列

B.若〃=3,则｛诙｝为递增数列

C.若%=一口，则当且仅当〃=3时必取得最小值

2

D.以>—3”是“数列｛&｝为递增数列”的充要条件

12.已知抛物线C：V=8x的焦点为尸，。尸的半径为1,过尸的直线1与抛物线C和。尸

数学试卷第2页(共5页)

交于四个点，自下而上分别是/,C,D,B,O为坐标原点，则

A.OC-OD=1B.AC>\

C.△CM2面积的最小值是8D.3|4D|+|AD|的最小值是10+4g

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知△4BC的顶点是/(5,1),3(7,-3),C(l,—1),则△4BC的外接圆的方程

是.

71

14.若角a+-的终边经过点尸(-3,4),则cos2a=_______.

4

15.已知函数人2x+l)为奇函数，於+2)为偶函数，且当式(0,1］时，｛x)=log2X,则人上)

16.某兴趣小组准备将一棱长为。的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知等比数列｛斯｝为递增数列，其前〃项和为S”。2=4,5*3=14.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求和：1义。”+3义。”-1+5Xa“_2H---卜(2〃—l)Xai，

18.（12分）

如图，在直四棱柱48CD一小2＜。1中，BCLCD,AB//DC,DC=2BC=2CCi=4AB=

4.

⑴证明：NCj。；

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(2)求二面角D—BiC—Di的平面角的余弦值.

19.(12分)

在△48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=3.

(1)若6=2,cosC——,求sitU；

16

(2)点。在边N8上，AD=2DB,若CD=(^,tanC=2tan5,求a.

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20.(12分)

某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球

和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1

个相同颜色的球

放入罐中，如此反复操作.

(1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；

(2)记3次操作后罐子中红球的个数为X,求随机变量X的概率分布与数学期望.

21.(12分)

xy

已知椭圆氏-+：=l(q>b>0)的离心率为二，且过点4(2,1),点5与点4关于原点

ab2

对称，过点尸(1,—2)作直线/与£交于"，N两点(异于4点)，设直线与2N的斜率分

别为舟，k2.

(1)若直线/的斜率为一；，求△AMN的面积；

(2)求秘2—2后的值.

22.(12分)

已知函数/(Mulay—xl+aN+q—d)x.

(1)当。=1时，求加)的最小值;

(2)若外)在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围.

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2023〜2024学年度第一学期高三年级期末调研测试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.A2.B3.C4.C5.A6.B7.D8.C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9.BD10.BC11.ACD12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x-4)2+(y+2)2=10(或尤2+y2_8x+4y+10=0)14.一*15.116.—na3

2516

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

17.解：(1)设等比数列｛%｝的公比为q.

41

S3=+出+%=—F4+4q—14，q=2Q——，......................................................................2

q2

当q=2时，4=2；当q=J时，q=8.由｛°“｝为递增数列，贝!14=2,q=2,

所以a“=2・2"T=2".............................................................................................................................4分

(2)设北=1-2"+3-2"7+5-2"-2++(2n-l)-2,

?=1-2—+3-2"-2+5.2"<++(2«-1)-1

相减得：g=2"+2(2‘1+2"-2+2"-3++2')-(2«-1)..................................................................7分

='+2.^^一(2〃-1)=2,+(2向-4)-(2-1)=32-(2〃+3)........................................9分

所以7；=3-2向一(4"+6)......................................................................................................................10分

18.(1)连接AG，交片2于点a,

在梯形AB1GA中，4耳=1，瓦G=2,CR=4,所以任1=自5=」，

4GQDt2

又/A4G=NB[C]Di=90,所以4A4cls△NB[C]R,

则/瓦AG=/C|耳R,因为/4A6=90,所以/。田。+/AG4=90,

则NG，B1=90,即42_LAG.........................................................................................................3分

直四棱柱ABCO-AB1G2中，441平面4862,因为BQu平面AB|G2,所以片

因为A4,、AGu平面A41c],叫AG=A，所以耳R_L平面A41G.5分

因为AGu平面A4.G，所以AG，片2.........................6分

法二：以｛CD,C3,CCJ为正交基底，建立如图所示的空间直

角坐标系C-孙z,则C(0,0,0)，£>(4,0,0),B(0,2,0),A(l,2,0),

G(0,0,2),2(4,0,2),瓦(0,2,2),A(1,2,2)................3分

(1)因为AG=(-1,一2,2),4。=«,-2,0),

所以AG由A=(-1,-2,2>(4,-2,0)=-4+4+0=0,

所以ACj1BtDt,即AQ1B\Dr.........................................6分

(2)设平面2]C£)与平面BCR的一个法向量分别为7〃=(占,必,2])与〃=，

因为CB；=(0,2,2),西=(4,0,2),CD=(4,0,0),所以

,[ml.CB,得…=2…=0

由《则玉=0,令％=1得z1=—1,所以m二(0,1,—1)・・・8分

mlCDm-CD=4X[=0

,[n±CB,ZC3[n-CB.=2%+2z9=0

由《..得「一，令犬2=1，则Z1=—2,%=2,所以〃=(12—2).…10分

n_LCD】n-CDX=4%+2z2=0

mmm-n0xl+lx2+(-1)x(-2)2A/2

所以cos<m,n>---------=/—/=------，

Im||n|^/o2+12+(-1)2-712+22+(-2)23

所以二面角。-耳C-。的平面角的余弦值为孚....................................12分

19.解：(1)在△ABC中，b=2,c=3,

_211

由余弦定理得cosC=---------------二—,HP4<72-11«-20=0,所以〃=4..................................2分

lab16

sinC=Vl-cos2C=^l-(j1)2...............................................................................................4分

由正弦定理‘一=^,得—=T=，所以sinA=姮.........................5分

sinAsinCsinA3x/154

16

(2)因为AD=2£>8,AB=c=3,所以AD=2,DB=1.

在△ABC中，由余弦定理得廿=42+32-24.3.cosB,a2-b2+9=6a,

在△BCD中，由余弦定理得(考§=/+12一2。.1<053,BPa2-y=2a,

所以。2-62+9=3/-25,即2/+/=34①8分

因为tanC=2tanB,所以竺£=至出.又c=3,由正弦定理得二一=二，

cosCcosBcosCcosB

272_222_A2

26cosc=3cosB,即2b---------=3--———，则“2+3/=27②........................“分

2ablac

联立①②可得"=15,所以〃=...............................................12分

20.(1)记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件A,“第2次操作时取到白球”为事件2,

1—71+12—11

则尸(A)=_,P(A)=-,P(B\A)=——=-,P(B\A)=——=-..............................................2分

333+143+14

————1221I

所以尸(3)=尸(AB+AB)=尸(A5)+尸(AB)=尸(A)•尸(例A)+P(A)•尸(例A)=—x—+—x—=—，

34343

所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为...................................5分

3

(2)X=2,3,4,5,..................................................................................................................................6分

12312121221221

尸(X=2)=-x—x-=—,P(X=3)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=-,

345103453453455

P(X=4)^31213123尸吠=5)=幺，3=2,

XX+XX+XX=A,10分

345345345103455

则随机变量X的概率分布为

X2345

132

P

W5105

113?

所以，随机变量X的数学期望E(X)=2x而+3X,+4*5+5义］=4.12分

cy/y、rrn。A/2bi、I"一/o11

21.(1)因为e=—=—，所以F=---z—=l—e=1—=一,

a2aa22

结合3+4=1可得/=6,b2=3,所以椭圆E的方程为工+二=1......................................2分

a2b263

直线/：y+2=-—(x-1),BP=--X-—,代入土+匕=1得%之+2%-1=0,

22263

设〃(%],%),N(x2,y2),则%+工2=—2,玉％=—1，

所以|MN|=yjl+k2|%-尤2bJ1+，•"(上+々)2-4%。=J1+(--)2-7(-2)2-4x(-1)=710,

又点A(2,l)到直线/：x+2y+3=0的距离d=/+；+31=工百,

A/55

所以△的面积」|=」

AMNSMN"xV10x-V5=-V2.5分

2252

|,不妨取M（l,乎），N（l,-乎）,

（2）当直线/斜率不存在，即/：x=l时，y2

回1屈.

因为A(2,l),B(-2,-1),则勺——=1--,k,=—2——=J_Q一叵),

11-22-1+232

所以左月一2%=(^-2)^2=(-1--)x-(l--)=lx-=l.....................................................7分

23232

22

当直线/斜率存在时，设/：y+2=k（x-l）,代入E：工+乙=1得

63

(2k2+l)x2-4k(k+2)x+2伏+一6=0,

4k2+Sk2k°+8左+2

设M（芯,％）,N（尤2，%），则占+%=

2k2+1%%一_2^+18分

则桃―(y%=(&二1一2).以1=(何=3-2).牝一7

Xy—2%+2Xy—2%2+2

2222

[(左—2)九1-5+1](AX2-k-1)_(k-lk)xxx2「(k-k-2)xr-(k-k)x2+k-1

(%1—2)(x2+2)x^2+2X]—2/—4

(女22k)X、X2(女2%)(X]+%)+左2—1+2%

xxx2-2(%+/)—4+4玉

2

(左2-2%)(2左2+8%+2)—(左2-左)(4左2+8Q+(V—1)(2尸+1)+2xx_-7k-4左一1+2再_1

2-2+8—+2—2(4%2+8左)一4(2)2+0+4斗--14V-8^-2+4x2~2

综上可知，k、k—；.....................................................................................................................12分

22

法二：设/：x-l=m(y+2),代入石：—+—=1W1(^2+2)y2+(4m2+2m)y+4m2+4m-5=0,

63

设,N(x2,y2),则%+%=Ky,%%='>,............................6分

m+2m+2

设直线4V的斜率为七,则

%-1Azl%一1I%-1

k[+左3=+

玉一2%2-2myx+2m-1my2+2m-1

(%—l)(my2+2m-1)+(y2-1)(加弘+2m-1)2my、y2+(m—1)(%+j2)-4m+2

222

(myx+2m-l)(my2+2m-1)m^y2+(2m-m)(y1+y2)+(2m-I)

2m(4m2+4m-5)+(m-l)(-4m2-2m)-(4m-2)(m2+2)_12m2-16m+4

m2(4m2+4m-5)+(2m2-m)(-4m2-2m)+(4m2-4m+l)(m2+2)6m2-8m+2

%+i%-1_£-1_£-1即%=_'

3^k2k3~11分

%+2%2—2%2—46—2y；—4232k2

所以《+&=《一一—=2,贝1]2勺£-1=4公，所以左於一2%,=L12分

2k22

法三：设直线/：x—l=m(y+2)fBPx—2+1=m(y—1+3),所以x—2—nz(y—1)=3加一1.

22

椭圆E：二+匕=1,即Y+2y2=6,所以(x-2+2)2+2(y-l+l)2=6,

63

即(x-2)2+2(y—+4(x-2)+4(y-1)=0,

则(x_2)2+2(y_l)2+4[(x_2)+(y_])]―[x-2-7<y-l)]=O,

3m-1

整理得(2m-2)(二-(4m-4)-+3/77+3=0,

x-2x-2

设直线4V的斜率为则尢+&=*1+四1=驷心=2..........................10分

玉一2x2—22m-2

又心&=之三丛^=^^=巴1即占=一工11分

W+2%—2%—46—2y2-422k?

所以尤+七=匕-=2,则2%匕-1=4匕，所以匕匕_2匕=L.......................12分

2k22

22.(1)当。=1时，/(x)=|e%-x|+|x2,

设h(x)=ex-x,由h'(x)=e'-1=0得x=0,则h{x}在(-oo,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增,

所以/z(x)》/7(0)=l>0,则e』_x>0,所以/(无)=1-尤+；./..........................2分

因为/(无)=^+3-1在(-00,+00)上单调递增,且((0)=0,则

X(-00,0)0(0,+oo)

f'M—0+

f(x)