山东省青岛市2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试卷(含答案)

山东省青岛市2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合4={%履+2>0},5={%|尤2—%—2<0卜则AB=()

A.{%|-2<x<l}B.{X|-2<%<2}C.{X|-1<%<1}D.{X|-1<X<2}

22

2.已知双曲线C：2L—±=1的一条渐近线方程为y=2x,则m=()

4m

A.lB.2C.8D.16

3.已知角a的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

P^cos-1-,sin^，^1]cos^cu--^=()

A.OB.lC.正D正

222

4.对数螺线广泛应用于科技领域.某种对数螺线可以用°一〃/表达，其中a为正实

P一(JLC

数,夕是极角，。是极径.若夕每增加|■个单位，则。变为原来的()

A.(倍B.1倍C/倍D©倍

eee

5.己知平面向量a=(-1,1)乃=(2,0),则a在/，上的投影向量为()

A.(-1,0)B.(l,0)C.(-72,0)D.(A/2,0)

6.已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则

该球的表面积为()

A.4TIB.6兀C.8兀D.10兀

7.已知复数21,Z2,Z尸Z2,若2],同时满足|Z1=1和Iz-l|=|Z-iI,则卜-221为()

A.1B，73C.2D.273

8.在△ABC中,ZAC5=120。，5C=2AC,。为△ABC内一点,AD，C。，ZBDC=120。,

则tanZACD=()

A.2V2B.空C.屈D.2

22

二、多项选择题

9.已知两个变量y与x对应关系如下表:

X12345

y5m8910.5

若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为£=1.25X+4.25，则()

A.y与x正相关B.m=7

C.样本数据y的第60百分位数为8D.各组数据的残差和为0

10.若函数y(x)=ln(l+x)-111(1一力+2,则()

A./G)的图象关于(0,0)对称B./G)在o¥上单调递增

I2)

C./(x)的极小值点为4有两个零点

11.已知正方体ABC。-43GzJ1的棱长为2,点MN分别为棱的中点，点尸为

四边形4片。12(含边界)内一动点，且上代>=2,则()

A.4B〃平面AWB.点P的轨迹长度为1兀

2

C.存在点P,使得平面AAWD.点尸到平面4WN距离的最大值为正上Z

3

三、填空题

12.写出函数/(%)=sinxcosx+1图象的一条对称轴方程.

13.某人上楼梯,每步上1阶的概率为3,每步上2阶的概率为L设该人从第1阶台阶出

44

发,到达第3阶台阶的概率为.

四、双空题

14.设《修乂卜网々,%)为平面上两点，定义2(45)=忖-々|+|%-%卜已知点尸为抛

物线C:x2=2py(p>0)上一动点，点。(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p=;若斜

率为3的直线/过点。，点“是直线/上一动点，则d(P,M)的最小值为.

2

五、解答题

15.如图,四棱台ABCD-44G2的底面为菱形,45=4,=3,//M力=60。点E为

BC中点,DE上BC,D]E=y/^i-

（1）证明：DD]_L平面ABCD；

（2）若AR=2,求平面与平面ABCD夹角的余弦值.

221

16.已知椭圆E：工+匕=1（。＞[＞0）的左,右焦点分别为4,F2，椭圆E的离心率为工椭

a2Z?22

圆E上的点到右焦点的最小距离为1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若过右焦点工的直线/与椭圆E交于两点,E的右顶点记为A,A3//CK，求直线

/的方程.

17.在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例

为p.

（1）若有放回摸球，摸到红球时停止.在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没

有摸到红球的概率；

（2）某同学不知道比例2,为估计p的值，设计了如下两种方案：

方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止.

方案二：从袋中进行有放回摸球5次.

分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计P的

值更合理.

18.已知函数/（x）=e.x-ax2-x,（x）为/（x）的导数

（1）讨论了‘（X）的单调性；

（2）若％=0是/（x）的极大值点，求。的取值范围；

（3）若，卜正明：e"110-1+e00^-1+ln（sin0cos0）＜1-

19.若数列｛4｝的各项均为正数,对任意〃eN*，有Nan+2an，则称数列｛%｝为“对数凹

性”数列.

（1）已知数列1,3,2,4和数歹U1,2,4,3,2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；

2

（2）若函数外幻=…尤+b3x+有三个零点淇中乙〉0（i=1,2,3,4）.

证明：数列［也,4,b4为“对数凹性”数列；

（3）若数列匕｝的各项均为正数,0?>q，记｛噌的前〃项和为Sn,Wn=』S〃,对任意三个

n

不相等正整数p,q,r,存在常数/,使得（p-q）叱+（4-厂）%+（厂-0）叫=t.

证明：数列｛S,,｝为“对数凹性”数列.

参考答案

1.答案：D

解析：由炉一%—2<o,即(％+l)(x—2)<0,解得—l<x<2,

所以3={尤|尤2-尤一2<0}={尤|—1<尤<2},

XA=1x|x+2>0}=1x|x>一2}，所以4B=1x|-l<x<2}.

故选：D.

2.答案：A

解析：依题意，得加>0，

22°n

令匕-土=Ony=±二x,即C的渐近线方程为丁=土捻

X,

4my/m

2

所以.=2=>加=1.

yjm

故选：A.

3.答案：D

解析：因为p"g,s呜)即电

即角a的终边经过点p,,等j,所以sin£=孝,cosa=g,

crpl(兀)兀..兀1君君16

rfTcosa—|=cosacos—+sinasm—=—x---1----x—=----

6J6622222

故选：D.

4.答案：B

解析：设9。所对应的极径为0。,则见=g4，

71

兀钝+5+】

则夕=0+工所对应的极径为匕,所以「「ae丁与

=

102A=«e71-一丈

故夕每增加1个单位，则。变为原来的£倍.

故选：B.

5.答案：A

解析：a=(—l,l),b=(2,0)

a必=-2,W=2'

百.卜b_9

在b上的投影向量为工p,鬲=丁(2,0)=(-1,0).

M\b\4

故选：A.

6.答案：C

解析：由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r,

则「=卜+直=72，故该球的表面积为4+=8兀.

故选：C.

7.答案：C

解析：设2=%+何(苍丁£区),则z-l=(x-l)+)i,z-i=x+(y-l)i,

由|z|=l和Iz—l|=|z—i|,

所以％2+=1且—+y2=(y_])2+%2,

[立四

X=---一2

即％2+y2=]且工=>解得<乙或<

也

V2

2

斫以A/2A/2.A/2y/2.(成_近V2._V2A/2.)

//T"Zi-----1------i、z、=-------------ikZ-.--------------i、----1------1'，

1222222222

则Z「Z2=^+^i/-立-巫i]=3+"(或Z「Z2=-0-后)，

所以忆一Z2I=J(女)+(0)=2,

故选：C.

8.答案：B

解析：在Rt^ADC中，设/48=8,<6<5]，令4?=](龙〉0)，

c

贝1JCB=2x,CD=xcos6,

在△5CD中，可得NBCD=120。—9,NCBD二夕—60。,

CD

由正弦定理———

sinZCDBsinZCBD

2x_xcosOxcos3

所以看―sin（6>—60。）

-sin61--cos^

22

41

所以存.、百，

—tan6/------

22

可得tan，=^，即tan/ACD=空・

22

故选：B.

9.答案：AD

解析：由回归直线方程知：1.25＞0,所以y与X正相关，即A正确；

由表格数据及回归方程易知于=3,9=1.25x3+4.25=必5+”?n%=7.5,即B错误;

5

易知5x60%=3,所以样本数据V的第60百分位数为邑2=8.5,即C错误；

2

由回归直线方程知尤=1,2,3,4,5时对应的预测值分别为$=5.5,6.75,8,9.25,10.5,

对应残差分别为-0.5,,075,0,-025,0,显然残差之和为0,即D正确.

故选：AD.

10.答案：AC

解析:对于函数/(x)=ln(l+x)-ln(l-x)+2,

X

1+x＞0

令＜1-》〉0,解得-1＜兀＜0或0＜兀＜1,

xw0

所以函数的定义域为(-1,0)(0,1),

、、2、2

X/(-zx)=ln(l-x)-ln(l+x)——=一In(1+x)-In(1-x)+—=—/(%),

所以/（力为奇函数,函数图象关于（0,0）对称，故A正确;

1-121-12-22

又广（%）=---------1----------------2

1+x1-xX21+xx-1XX2-1X2

-2--2(f—1)_2-4/

(x2-l)x2--(x2-l)x2

当xe时，/'（%）＜0，即/CO在jo,。上单调递减，故B错误;

当XG时,r（%）＞0,即/（%）在上单调递增,

根据奇函数的对称性可知/（X）在［-1,-正］上单调递增，在、变,o］上单调递减,

、2JI2,

所以“力的极小值点为4,极大值点为故C正确;

又/⑴极小值=/V=ln（3+20）+2庭〉0,

且当X趋近于1时,/（x）趋近于无穷大，当X趋近于0时,/。）趋近于无穷大,

所以/（%）在（0,1）上无零点，根据对称性可知/（同在（-1,0）上无零点，

故f（x）无零点，故D错误.

故选：AC.

11.答案：ABD

解析：对于A,在正方体中易知MNHCD、,CDJAB=＞NM//A^B

又43a平面AW,肱Vu平面AAW,所以A3〃平面AAW,即A正确；

对于B,因为点P为四边形4与。12（含边界）内一动点，且必＞=2，"。=1,

则=QMP?-R”=G,所以P点轨迹为以0为圆心，石为半径的圆与正方形相交

的部分，

所以点P的轨迹长度为工乂2”6=正兀，故B正确；

42

对于C,建立如图所示空间直角坐标系,

则A(2,0,0),M(0,0,1),N(0,1,0),尸(Heosa石sin0,2

所以AM=(一2,0,1),AiV=(-2,1,0)，〃P=(Gcos括sin1)

AMMP=l-2y/3cos3=0

若存在点P,使得MP,面4的，则＜

AN-MP=Gsin，—26cos，=0'

解之得sin6=」,cos"」^,显然不满足同角三角函数的平方关系,

V32V3

即不存在点P,使得"P,面40V，故C错误;

对于D,设平面AMN的一个法向量为〃=(x,%z),则=一2》+z=0

AN•n=—2x+y=0

取x=1=>y=z=2,即〃=(1,2,2),

则点P到平面AMN的距离

MPy/3cos0+2—sin6+2A/1L5sin(^+^)+2(1

.r\tan(p=_,(pe

33、2

显然《+夕=2时取得最大值d=姮+2，故D正确.

'2max3

故选：ABD.

12.答案：=-（答案不唯一）

x4

解析：易知/(x)=gsin2x+l,所以2x=]+bi(keZ)=>x=?+^■(左eZ),

不妨取左=0,贝H

4

故答案为：x=-（答案不唯一）.

4

13.答案：—

16

解析：到达第3台阶方法有两种:

第一种：每步上一个台阶,上两步，则概率为3x^=2；第二种:

4416

只上一步且上两个台阶，则概率为L

4

所以到达第3阶台阶的概率为2+工=巨,

16416

故答案：—

16

14.答案：①.2②.3

2

2,2

m、-0>———m-h3=^—(m-p]32+3--,

解析：设尸m,——,K'Jj(P,e)=|m-3|+—

2p)2P2P2p2D2P2

=3-3=2,即P=2,P="2时取得最小值;

2

39、、

易知/:丁=5%—5，。：%2=4丁，联立有%2一6工+18=0,

显然无解，即直线与抛物线无交点,如下图所示,

过P作PN//X交I于N,过M作ME,PN，

则d（P,M）=|PE|+|EM闫尸国+|EN|=|PN|（MN重合时取得等号），

,2、/2,，2、

2

设尸n=，则N—+3,—，所以|PN|=£—〃+3=!(〃一3)+ia,

I464

47\766'22

V

故答案为：2,1.

2

15.答案：(1)证明见解析

⑵亚

13

解析：(1)连接DE、DB，

因为四边形ABCD为菱形,NB4D=60。

所以△3DC是边长为4的正三角形，

因为E为中点，所以。E，,DE=2劣，

又因为RE1BC,D,EDE=E,D*,£)Eu平面»DE，所以BC,平面QDE,

又。Ru平面"DE,

所以

又DiE=E，DD[=3，DE=26,

所以DD；+DE2=,所以DD[±DE,

又因为DE5C=E，DE，BCu平面ABC。，

所以DR，平面ABCD-

(2)因为直线94，。石,。2两两垂直,以。为原点,£、4，£)£；,。。1所在直线为％轴,＞轴,2

轴建立空间直角坐标系，

则£>(0,0,0)M(4,0,0),E(0,2^,0),C(-2,2^,0),4(2,0,3)

所以4G=口。=卜3,6,0),马=(2,—26,3)

设平面AGE的一个法向量为〃=(x,y,z),

则9・AG=-3%+百y=0即<y=6x

n-E\=2x-2y/3y+3z=04x=3z

令x=3,得y=36，z=4,所以〃=(3,36,4),

由题意知，加=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，

设平面4GE与平面ABCD的夹角为。，

八\m-n\42而

IJIIIcos0—■：；~~；~~(■-—]-

H•同收3河+4213，

所以平面ACE与平面ABCD夹角的余弦值为马叵.

22

16.答案：(1)土+2L=i

43

(2)2小门或2非„

mx-\-------y-1=0改Xy-1=0

解析：(1)设焦距为2c，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点

易知月(c,0),则|尸用=QU=J(x。-c『+"「片

22

所以椭圆C方程为工+匕=1；

43

（2）设

因为A5〃C%所以闭:\AB\=寓闾:优A=2:1

所以H=-2%①

[22

设直线/的方程为％=加,+1,联立得v43，整理得（3病+4）9+6玖y-9=0,

x=my

6m

y+%=一欠2>

।一、i、Eg3m+4

由韦达定理倚v9,

♦%二一—2八

（3根+4）

6m

36m29

把①式代入上式得3加2+4，得必=

2(2)9

-24=-^^3m+423m+4

2-3m2+4

解得於土竽,

所以直线/的方程为：升型y-1=0或尤-区5y-1=0-

55

17.答案：(1)1—p

（2）答案见解析

解析：（1）设事件A="第2次没有摸到红球"，事件5="第3次也没有摸到红球”,

则P（A）=（l-p）2,P（5）=（l—p）3,

P(AB)P(B)(1-p)3

所以P（B|A）P(A)P(A)(1-p)2，

（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X表示,

则x的可能取值为：

5432

543

5.P(x=o)=(i-jp),pfx=|L(i-jp)jp,pG=11=(i-jp)jP,

P(x=+(i_#2p,p[x=；]=(i_0p,p(x=i)=p,

所以X的分布列为：

£1j_

X01

5432

p(1-p)5(l-p)4p(l-p)3p(1-P)2P(1-p)pp

则E(X)=0x(l-p)5+gx(l-p)4p+；x(l-p)3"+gx(1_p)2p+；><(l_p)p+l><p

_(1-P)4P,(1-，)3P,(I-PYP,(1-P)P,

=-------------1---------------1---------------1--------------rD，

5432

“方案二”中红球出现的频率用随机变量y表示，因为5y〜5(5,p),

所以5y的分布列为：P(5y=yt)=C*/(l-p)5-k，左=0,1,2,3,4,5,

即y的分布列为：

234

Y01

5557

P(1-p)55(1-p)4/?10(1-P)3P210(1-夕)2/5(1—p)p4p5

所以E(5N)=5p,则矶V)=p,

因为E(X)>p,E(Y)=p，所以“方案二”估计p的值更合理.

18.答案：(1)答案见解析

⑵a>-

2

(3)证明见解析

解析：(1)由题知r(x)=e“—2依—1,

々gabrabe'-Zor-lW」=ev-2a,

当aW0时,g'(x)>0,/'(%)在区间(TO,+co)单调递增，

当a>0时，令g'(x)=。解得％=ln2a，

当xe(-co,ln2a)时,g'(x)<0,当xe(ln2a,+so)时,g'(x)>0,

所以r(x)在区间(fo,ln2a)上单调递减,在区间(ln2a,+oo)上单调递增，

综上所述，当a<0时,/'(x)在区间(《,+oo)上单调递增；

当a>0时,/'(x)在区间(-co,ln2a)上单调递减,在区间(ln2a,+co)上单调递增.

(2)当aWO时,/'(0)=0,

由(1)知，当XG(-OO,0)时,r(x)<0J(x)在(-8,0)上单调递减；

当XG(0,-H»)时,/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上单调递增；

所以％=0是函数/(力的极小值点,不符合题意；

当0<a<g时,In2a<0,且/'(0)=0,

由(1)知，当％£(ln2a,0)时,/在(ln2〃,0)上单调递减；

当xe(0,+oo)时,尸⑴在(0,+“)上单调递增；

所以1=0是函数外力的极小值点,不符合题意；

当a=；时,ln2a=0,则当X£(YO,+OO)时,/'(x)N0J(x)在(fo,+oo)上单调递增,

所以/(%)无极值点，不合题意；

当〃〉g时,ln2a>0,且/r(0)=0；

当X£(7D,0)时在(-8,0)上单调递增；

当％w(0,ln2a)时,/'(%)<0J(x)在(0,ln2a)上单调递减；

所以1=0是函数/(力的极大值点，符合题意；

综上所述，。的取值范围是a〉L

2

(3)要证esmi+铲田+In(sin6»cos6>)<1,

只要证e&e+e00^-1+In(sin6>)+In(cos6>)<sin26»+cos26»,

sin022

只要证e-'+Insin6<sin仇e^T+Ineos0<cos6»，

因为6则sin6£(0,l),cose£(0,l),

所以只要证对任意有e，T+lnx<%2,

只要证对任意一1cx<0,有e"+ln(l+x)<(l+x)2(派),

因为由(2)知：当々=1时，若％<0,则“力<”0)=1,

所以。“一%2一]<1，即e'vV+x+i①，

令函数/?(%)=In(1+—1<XV0),贝1J/z'(x)=----1=——,

1+X1+X

所以当—l<x<0时”