福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测（三模）数学试题

福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测(三模)数学试题

(满分：150分考试时间:120分钟)

注意事项：

1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.

2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若全集。=R,集合/={乂歹=君F，B={x\2x<8卜则Ac(CuB)=

A.(0,3)B.(3,+OO)C.[3,+00)D.[0,3]

2.若复数z满足z=(2+z).，，则复平面内F对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知。〉0,则“a〉3”是“a">/”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量1=(1,1),3=(2,-1),2eR.若B在G上的投影向量为，则A=

A.2B.3C.4D.5

32

5.已知球的体积为一〃，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为

3

A.空心_兀Q8A/L5C.4y/157TD.8A/L5^

33

6.声音的等级/(x)(单位:游)与声音强度武单位:①/m2)满足/⑴=10x1g.喷气式飞机起飞时，声音

的等级约为140洒.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等

级约为

AA20dBBAOOdBC.SOdBD.60dB

7.已知曲线G：+y2—[0y+]6=0与曲线+y2一2Q%+/_g=0(。>0)相交于A,B两点，直线

AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为

&已知函数/(x)=sm(°x+0)。>。,即喘,户得为/⑴的零点,为/(x)图象的对称轴，且

/(x)在上有且仅有1个零点，则0的最大值为

A.llB.9C.7D.5

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=(x-l)lnx,则

人./(用在(0,+8)单调递增13j=1是/(均的零点

C./(x)的极小值为0D./(x)是奇函数

10.在A48C中，内角48C所对的边分别为“c,且/--C?+秘=0,则

A.A=—B.若a=V^,cosB=3,则c=~—

355

C.若a=2,则△NBC面积的最大值为百D.若6sinC=sinC+VicosC,则c=2

11.已知抛物线C:y2=2px(p〉0)与圆O:/+/=20交于4,B两点，且14sl=8.过焦点F的直线I与抛

物线C交于M,N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点。是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则

A.若MF=3FN，则直线I的斜率为土理B.|"F|+4]NF|的最小值为18

C.NM0N为钝角D.点尸与点尸的横坐标相同时——\PF^I最小

1^21

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.在(1-x)(l+x)6的展开式中,d的系数为.

13.互不相等的4个正整数从小到大排序为外,出,%，%，若它们的平均数为4,且这4个数据的极差是中位数的

2倍，则这4个数据的中位数为.

a

14.已知函数/(x)=x-\ogbx(a>l,b>1)有且只有一个零点，则ab的取值范围为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)

若数列｛an｝是公差为1的等差数歹U,且的=2，点(a“也)在函数/(x)=3工的图象上(〃eN*)，记数列也｝的

前〃项和为5“.

(1)求数列｛%｝,｛"｝的通项公式；

⑵设c„="，记数列｛cn｝的前〃项和为&证明:7；<—.

4S.S〃+i12

16.(本题满分15分)

如图，在四棱台ABCD-481GA中，底面四边形ABCD为菱形，44BC=60°,^5=2AA,=I

平面ABCD.

⑴证明:8£>，CG；

⑵若M是棱3c上的点，且满足口=-，求二面角M-AD.-D的余弦值.

BC3

17.(本题满分15分)

某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质

量指标值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正

态分布"(〃,4),并把质量指标值不小于80的产品称为/等品,其它产品称为3等品.现从该品牌芯片的生

产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数元作为〃的近似值,用样本

标准差s作为b的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位

有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量《服从正态分布N(〃,b?),则

P(/j—cr<J<〃+cr)Q0.6827,一2cr<J<〃+2cr)~0.9545,P(以一3cr<J<〃+3cr)~0.9973.)

(2)⑴从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]的芯片件

数为〃，求〃的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件/等品芯片的利

润是加(1<m<24)元，一件8等品芯片的利润是ln(25-加)元,根据⑴的计算结果,试求加的值，使得每箱产

品的利润最大.

18.(本题满分17分)

动圆/与圆G：(x+l)2+y2=49和圆。2：(工一1>+/=1都内切，记动圆圆心/的轨迹为「

(1)求r的方程；

(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一

点(飞,%)处的切线方程为:/项)%+8(工0了+yox)+CyQy+D^XQ+x)+£(为+y)+尸=0.试运用该性质

解决以下问题:点尸为直线x=9上一点(「不在x轴上)，过点尸作「的两条切线PAl,PA2，切点分别为

4,4.

⑴证明：44±PC2;

(ii)点4关于x轴的对称点为4，直线44交x轴于点N，直线尸G交曲线「于G,H两点.记

AGC2N,MIC2N的面积分别为，,星，求E-s2的取值范围.

19.(本题满分17分)

若函数/(%)的定义域为/,有/e/，使/'(%)=0且/(%)=0，则对任意实数发力，曲线y=/(x)+kx+b

与直线y=Ax+6总相切，称函数y=/(x)为恒切函数.

(1)判断函数/(x)=x-sinx是否为恒切函数,并说明理由；

dex一

(2)若函数g(x)=；-—x-2。为恒切函数(。,夕eR).

⑴求实数p的取值范围；

(ii)当夕取最大值时,若函数/z(x)=g(x)-eH+2加为恒切函数，记/=(-阴,0，证明:加eZ.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数.参考数据：e3-20)

龙岩市2024年高中毕业班五月教学质量检测

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

选项BCACBDDB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

题号91011

选项BCACDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

7I

12.513—-14.(ee,+oo)

8.［解析］

/(x)=sin(<z)x+9)(0>0,［同<事)

•.•x=—二77为/(x)的零点

4

TT

X=生为/(x)图象的对称轴

4

也占=也上四,：.①=2k+l,kwZ,

~444co

a>>Q:.co==2k+l,k&Z+

兀27r

又——0<T=——，，刃<12

6CD

当G=n时，f(X)=sin(llx+(P)

1171977"

71(p——+K77T(p———7T+K71€X

II7171

，：«=一4

7T

f(x)=sin(llx--)

jryrjrIQ

当xe(0二)时，llx—2e(—J上万)，故/(x)有2个零点，不符合，舍去.

64412

当3=9时，f(x)=sin(9x+(p)

9n.7,,„

—X+^9——+k/C(p———7T+/C7T,k£Z

II7171

；同<5

.,./(x)=sin(9x+?7T

TTJT7T7

当xe(O,')时，9x+-e(-,-^-),此时/(x)有且仅有1个零点，

6444

符合，，选B.

11.［解析］

因为抛物线C：必=2/5>0)与圆。：/+/=20交于48两点，且|AB|=8,

则第一象限内的交点N的纵坐标为4,代入圆方程得横坐标为2,即/(2,4),

所以42=40,。=4,即抛物线方程为「=8x,焦点为尸(2,0).

设初(再,%)w(％,%)，对选项A,由赤=3两得(2-再，一M)=3(%-2,%)，

2

x_|_3x—8

则「；，又因为了；=8再,只=89,解得<

〔必=一3外,4也

%=±-

±电0

所以直线/的斜率为T——=±百，故A选项错误;

“2

3

1121

对选项B,由抛物线定义得商+衍=7=5,

所以

4|所

\MF\+4|而=2(|A/F|+4|A^F|)>10+8=18,

\MF\

MF\4即|

当且仅当而■=、可，即|MF|=2|N同时等号成立,

因止匕|MF|+4|NF|的最小值为18,3正确;

对选项C,如图，不妨设A/■在第一象限，

设虫匹,必),加2，%)

设直线/：》=即+2,联立抛物线的方程消一

得,2_Smy-16=0,

又△=(-8m)2+4x16>0，

22(-16)2

所以必％==与一%==4,

OO64

/入2+%)2=4—16=—12<0

cos<OM,ON><0,AMON为钝角.

故C选项正确；

对选项D,

2(-2,0),b(2,0),设尸(X。,%),贝1］诉=8%/20,

由抛物线的定义可得|尸尸|=%+2,

|尸°|=+2『+(%-0)=个*+4%+4+8%T1+12尤0+4

又飞〉0,

忸尸x0+2=/焉+4%+4=I8x0-

|尸。一也;+12/+4-廿*+12壬+4［*+12%+4'

当且仅当％=2时取等号，所以玩PF的最小值为、餐5,

故D选项正确.

故选：BCD.

14.［解析］依题意得g(x)=与h(x)=log,x只有一个交点，即两曲线相切,

则g'(x)=h\x)只有一个解，

111

,化简得X=(，尸，将其代入/(X),

xlnbalnb

得一--+—logfe(olnZ>)=0，

a\nba

logbe+log^(alnb)=0,gpea\nb=l,/.a=——.

einb

1i

a>L:.------->L:.l<b<ee,

elnb

则ab=?,,设Q(b)=—-—(l<b<e®),

elnbe\nb

lnb-1

则。3）=

e(lnZ?)2

Q3）在（1,靛）单调递减，QS）>2（e；）=yab>e。

1

ab的取值范围是（"+oo）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.（本题满分13分）

解：（1）由的=2得%=0,:.an=al+（n-l）xd=n-l,............3分

•••点（%,4）在函数/（x）=3工的图象上（"eN*）,

：.bn=3%=3"」........5分

显然数列h｝为等比数列，首项为1,公比为3,则S“=y/，............................7分

-(□________L_)

10分

4S"S“+i(3n-l)(3"+1-l)63"-13n+1-l

7；=C1+c2+c3+

_i_j____i_11

-6(2-8+8_26+26-80+)

3"-13),+1-l

=_1/A_______1____、___1_______1_____<_1_

623"+i—1126(3n+1-l)12

T<—...............13分

〃12

16.(本题满分15分)

解：（1）在四棱台MCD-44GA中，N4，cq延长后必交于一点,

故4C，G，4四点共面，......................................1分

因为_L平面48cD,ADu平面48co，故44]_LAD,.....................2分

连接NC，4G，因为底面四边形/BCD为菱形，故.................3分

AAlC\AC=A,AAl,ACc平面ACC.A,,

故8。，平面/CG4,....................................................5分

因为CQU平面NCG4，所以BD，CC1....................................6分

（2）过点/作8c的垂线，交BC与点、N,以/N,AD,44所在直线分别为无轴，y轴，z轴建立空间直

角坐标系N-孙z（如图），

设44=1,则/2=24月=2,

由于NABC=60。，故BN=\,.......................................................................9分

则/(0,0,0),R(0,1,1),。(0,2,0),“(省,；,0),

则疝=(0,1,1),而=(百,;,0),而=(0,2,0),

记平面4M2的法向量为〃=（〃,b,c）,

6+c=0

ADn=0

则c即，厂1令6=3,

~AMn=0J3a+—b=0

I3

则Q=-

平面ADD1的法向量可取为冽=（1,0,0）,

14分

15分

17.（本题满分15分）

解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为:

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=6<.

即〃hx=69.........................................................................................................2分

bBsell,所以X〜N(69,112),

因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,112),

诉wOF〉父m1-P(69-11<X<69+11)1—尸(〃—b<X<〃+b)

J7T以-r(A>oU)=-----------------------------------=-------------------------------

1—0.6827„care(\1/八

x-------------=0.15865«0.16,...........................................................................4分

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为Z等品的概率约为0.16.

..........................................................5分

(2)(i)(0.01+0.01)x10x100-20,所以所取样本的个数为20件，质量指标值在［85,95］的芯片件数

为10件，故〃可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为：

尸(〃=0)=尸仞=1)=

以38

尸(〃=2)=,=[(门_3)—G。。1。-2

尸p…一丁-石

C2Q30

随机变量〃的分布列为:

0123

215152

P

19383819

所以〃的数学期望E(1)=0x—2+lx1°5+2x1°5+3x—2=巳3...................10分

193838192

(ii)设每箱产品中N等品有y件，则每箱产品中8等品有(100-V)件,

设每箱产品的利润为Z元，

由^^知：Z=mY+(100-K)ln(25-m)=(m-ln(25-m))K+100ln(25-m),

由(1)知：每箱零件中/等品的概率为0.16,

所以y〜5(100,0.16),所以E(Y)=100x0.16=16,

所以£(Z)=E[(m-ln(25-m))r+100ln(25-m)]

=(m-ln(25-m))EY+100ln(25-m)

=16(m-ln(25-w))+100ln(25-m)

=16m+84ln(25-m).......................................................................................12分

令/(x)=16x+84ln(25-x)(l<x<24)

8479

r(x)=16----=0得，x=—,

25-x4

7970

Xxe(l,—),/(x)>0J(x)递增xe(—,24)，r(x)<0,/(x)递减，

44

所以当x=△e(l,24)时，/(x)取得最大值............................14分

4

79

所以当加=一时，每箱产品利润最大..................................15分

4

18.(本题满分17分)

(1)设动圆”的半径为厂，由题意得圆G和圆C2的半径分别为7,1,

因为/与q,c?都内切，所以MG|=7—r,MG|="1，

所以阿G|+|MG|=7-厂+-1=6,...................................2分

又q（—1,0）,C2（l,0）,故|G£|=2<6,

所以圆心弦的轨迹是以£,C?为焦点的椭圆,

22

设厂的方程为：=+3=1（。＞6＞0）,则2a=6,2c=2,

ab

即a=3,c=1所以力2=/—，=8，

22

故厂的方程为：土+匕=1.............................................4分

98

（2）（i）证明：设4（再,乂），4（X2，%），尸（9"）（，。0）,

由题意中的性质可得，切线尸4方程为其+2=1,

98

切线尸应方程为出+望=1，..............5分

98

因为两条切线都经过点P（9/）,所以芭+等=1,%+器=1，

88

故直线44的方程为：x+里=1,......................................7分

8

Q

所以，

又⑥GQ沟=一；《=—1’所以直线...........9分

（ii）由（i）知直线44的方程为：x+里=1,过定点（1,0）,

8

设直线44的方程为：x=mj；+l（m^0）,

联立，整理得（8加2+9）/+16叼—64=0,

16m

%+为=一

8m2+9

由韦达定理得＜...................................11分

64

%必--8m2+9

又4,（网,-弘），所以直线的方程为了+M=:[?（工_.）,..............12分

令y=0得，

必（毛一再），、,_必马%（加为+（优必+1）

I]

2M64

2叩M+必+为_j2阳M_1,研8m2+9_

Q14分

--一16掰一,

8m2+9

16m

所以N(9,0),C,(l,0),设6(七,匕),笈(》4，/)洞理得%+匕=———

8掰-+9

不妨设为<0<8・

所以Sifl=5|。2切冈-同|=4上+匕I

4|16掰|_64<64_8^/2

=彳才=8同+“而二亍，

\m\

所以昌-$2匚=孚，当且仅当8加|=总时，即加=±苧时取等号.

...........................................