河南省郑州市2023-2024学年高三年级下册第二次模拟考试数学试题

2024学年郑州市宇华实验学校高三（下）第二次模拟考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上

填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.如果复数z=疗+”一2-（加一l）i是纯虚数，加eR,i是虚数单位,则（）

A."zwl且〃/一2B.m=lC.m=-2D.机=1或机=一2

2.集合A=｛尤|x=〃.180°+（—l）"-90°,〃eZ｝与5=3x=m-360°+90°,机eZ｝之间的关系是（）

A.AUBB.BUAC.A=BD.AB=0

3.已知。为第一象限角，若函数〃x）=2cos（尤-0）+co&r的最大值是后，则/11）=（）

A1-3^N1+3A/503-3君n3+3若

4444

4.有一块半径为2,圆心角为45。的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的

半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（）

A-2+72B-2-V2c-2V2-2D.20+2

11121

5.若〃=—”，/?二—=一，则（）

563

A.b>c>ac>a>bC.a>b>ca>c>b

6.已知数列｛qj为等差数列,其前n项和为，〃eN*,且2a2=3qw0,｛g+1｝也是等差数列，则

%=（）

88

A.nB.〃+lC.—TID.—（n+1）

99

7.已知S,A,B,。是球。表面上的不同点，SA_L平面ABC,ABLBC,A3=l,BC=A/2,若球

。的表面积为4兀，则S4=（）

A.---B.1C.A/2D.A/3

2

8.如图，〃为四面体的6c的棱6c的中点,N为嗣的中点，点户在线段上，且AP=2/W,设

04=。，。3=乩OC=c,则。P=()

A.OP——ciH—bH—c

366

211

C.OP——a—bH—cD.OP=-a-\---b——c

3663126

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3

分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.

在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yO2平面内开口向下的抛物线滑

动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为

22

=—]=2z(a〉0]〉0),则下列说法正确的是()

A.用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线

B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线

C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线

D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线

2x

10.iS/(x)=x,g(x)=2,h(x)=log2x,当xe(4,+s)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结

论中，错误的是()

A.〃龙)的增长速度最快，/?(%)的增长速度最慢

B.g(%)的增长速度最快，可可的增长速度最慢

C.g(x)的增长速度最快，/(力的增长速度最慢

D.”力的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢

11.现有4个哥函数的部分图象如图所示,则下列选项可能成5工的是()

m

y=xg

xn

-1012~^X

A.p=3,相=2,q=g，n=-3

B.p=4,m=3,q=；，〃=-2

C.p=2,m=3,q=——，n=-3

2

D.p=-,m=-,q=-2,n=-

234

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

f4-2|x-2|,xe[0,4)

12.己知/⑴满足“"=/"+8),当XG[0,8),〃X)=<1'J"，右函数

2x-8,xe[4,8)

8(%)=/2(%)+4(%)-。一1在％«-8,8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为_

13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a—6卜inA=Asin8-csinC,若△ABC外接圆面

积为兀，则4ABC面积的最大值为_____.

14.如图,在棱长为2的正方体ABCD-中,£为BC的中点，点户在线段RE上，点尸到直线CC]

的距离的最小值为___________.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品；有二等奖券

3张,每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值J(元)的概率分布列和期望E©.

16.(15分)若数列｛%｝满足：存在等比数列｛%｝,使得集合｛毛+c，HGN*｝元素个数不大于%(左eN*),

则称数列｛%｝具有P(Q性质.如数列％=1,存在等比数列cn=(-1)"，使得集合

｛X„+C„|HGN*｝=｛0,2｝,则数列｛九“｝具有P⑵性质.若数列｛4｝满足

q=0,%1M+记数列｛%｝的前〃项和为证明：

(1)数列｛%+(—!)"｝为等比数列；

(2)数列｛S“｝具有P(2)性质.

17.(15分)如图所示，在直四棱柱ABCD-中，AB//CD,且

AB=AD=1,CD=2,AA1=2,〃是DDX的中点.

（1）证明BC，4M；

⑵求点8到平面的距离.

22l（a〉6〉0）的离心率为@，且过点P（2,2）.

18.（17分）已知椭圆。：工+2L=

a2b72

（1）求椭圆。的方程;

（2）过点”（-1,0）作直线，与椭圆C交于46两点,且椭圆C的左,右焦点分别为

FpF2,△K,△耳3.的面积分别为S],邑，求5—S?|的最大值.

19.（17分）已知函数/㈤一加y―a（x—i）2,"R.

（1）当a=1时，求"％）的单调区间;

（2）若尤=1是/（%）的极小值点，求a的取值范围.

2024学年郑州市宇华实验学校高三(下)第二次模拟考试

数学・参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.答案：c

rri_2-0

解析：由复数Z=+m—2—(m—l)i是纯虚数,得｛,解得机=一2.

故选：C.

2.答案：C

解析：当〃=24次EZ)时，％=公360。+90。/£2)；当〃=2k+1伏£Z)时，

%=h360。+90。伏£2),所以A=6.

3.答案：D

解析：由题意可得：/(x)=2cos(x-^7)+cosx=2cosxcos<p+2sinxsin^>+cosx

=2sin港inx+(2cos夕+1)cosx=J(2sin0)？+(2cos0+1，sin(x+0,

贝ljJ(2sin°)2+(2COS0+1)2=76，解得cos0=—,

且。为第一象限角，则sine=Jl-cos?0=@5，

4

故f[mj=2cos一—+cosm=cos。+^^口夕+g=3+：”.

故选：D.

4.答案：C

解析：如图：

。小

0AB

在RtAOCB中,设Z.COB=a，

则OB=2cosa.BC=2sina,

DA

在Rt^aiD中，一=tan45°=L所以Q4=ZM=2sine

OA

AB=OB—OA=2cosa—2sina>

设矩形46切的面积为S,

则S=AB-BC=（2costz-2sin«）-2sin«=4（^sin2tz-sin2a）

=2（sin2a+cos2tz）-2=2^2sin-2,

由于0<tz（二，

4

所以当&=2时，S最大=2夜一2，

8

故选:C

5.答案:B

9112

解析：由题意知2a=*e3，26=±e5

53

令〃x）=f（0<x<l），则尸（x）=e'（l）<o,

XX

所以/（X）在（0,1）上单调递减，又0<；<|<1，

工2

所以H>/[I]，即了>亍，所以如马>g”，即2〃>2/?，所以〃〉。，

35.一

又54=£=泥，5c=]又g=返〉泥，所以5c>5a‘

所以c〉a,所以c〉。〉力

故选：B.

6.答案：D

解析：设｛4｝的公差为d由2a2=3q,

得q=2d,Sn+\=nax+"与"d+'=；/+[q-^H+1,

由题意知，此式为完全平方形式，全平方形式，故A=[q-g]-2d=0,

解得d=g或0（舍去），则％则a〃=|（〃+1）.

故选：D.

7.答案:B

解析：如下图所示：

由SA_L平面ABC可知S4_LAB,SALBC,又A5L5C,

所以四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别为S4,AB,BC三边长的长方体的外接球半径，

设外接球半径为R,

由球。的表面积为4兀，可得4兀尺2=4兀，即R=l；

又AB=1,BC=s/2,4R-AB-+BC2+SA2,

所以£4=1.

故选：B.

8.答案：A

解析：由题意，

221211

OP=OA+AP=OA+-AN=OA+-(ON-OA)=-OA+-ON=-ON+-OM

333333

=joA+1x|((?B+C>C)

1-1,1-

--a+—b+—c

366

故选:A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3

分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.答案：AB

22

解析：因为马鞍面的标准方程为9=2z(a〉0力〉0),

对于A,平行于xQy平面的面中为常数，不妨设为Zo(z0W0),

得2r=2z0,故所得轨迹是双曲线.，故A正确;

对于B,法向量为(1,0,0)的平面中为常数，不妨设为寺,

iZ2

则y2=—2/z+R,为抛物线方程，故B正确；

a

对于C,垂直于y轴的平面中p为常数，不妨设为先,

22

则X2=2/Z+B，为抛物线方程，故C错误；

b

对于D,不妨设平面上的点坐标为A(x,y,z),

因为平面过原点且法向量为〃=(1,1,0),由。4・〃=0,得x+y=0,

故,=—%,代入马鞍面标准方程，得j]x2=2z,

当a=5时，方程为z=0,不是物物线，故D错误.

故选：AB.

10.答案：ACD

解析：国出函数=g(x)=2*,//(%)=log?光的图象，如图所不，

结合图象可得三个函数/(%)=%2,g(x)=2',/z(x)=log2X中，

当xe(4,+8)时，函数g(x)=2、增长速度最快，人(光)=log,x增长速度最慢.

所以选项B正确；选项ACD不正确.

故选：ACD.

H.答案：AB

解析：对于塞函数>=J，若函数在(0,+8)上单调递增,则a〉0,若函数在(0,+8)上单调递减,则

。<0,所以〃<0，D选项错误；

当X>1时，若y=X。的图象在y=X的上方,则[〉1，若y=的图象在y=X的下方，则a<1,

所以”>1,m>l<0<q<l,C选项错误；

因为当1>1时，指数越大，图象越高，所以p>m,

综上，p>m>l>q>0>n,^B选项正确.

故选:AB

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.答案：-9<a<-5

解析：因为/(x)=/(x+8)，所以〃龙)为周期是8的周期函数,则/⑻=/(O)=4—2|0—2|=0,

由g(x)=/2(x)+qf(x)—a—l=[/(x)—l][/(x)+(a+l)]=0,得/(尤)=1或/(%)=—a—1，

作出函数在xe[-8,8]上的大致图象如图，

由图可知,在xe[-8,8]上，函数/(x)的图象与直线y=1有六个交点,即/(%)=1时,有六个实根,从而

/(%)=—a-1时,应该有两个实根,即函数/(尤)的图象与直线y=—a—1有两个交点，故4<—a—1<8，

传—9<a<一5,

故答案为：一9<a<一5.

,,2+yJ3

13.答案：——

4

解析：由已知及正弦定理得。2一耳,=及-C?,所以/+,2—〃=岛0,

所以cos3="+'2-”=走，又8€(0,兀)，所以8=工.由&ABC的外接圆面积为兀，得外接圆的半

径为1.由正弦定理得b=2sin5=l,所以。2+。2—1=6",所以/+c2=J§ac+122ac,解得

。。<2+百，所以7^^。的面积5=,。。5：1115=工收<2±2/1,当且仅当a=c时等号成立.

244

14.答案：毡

5

解析：点尸到直线eq的距离等于点尸在平面/及力上的射影到点。的距离,

设点尸在平面四切上的射影为p',

显然点P到直线cq的距离的最小值为PC的长度的最小值,

当P'C_LDE时，PC的长度最小,

此时P'C=2义1=冬后

@+15

取数列G=—11—aJ,则kJ是等比数列，

并且S“+Q=-，一!(—1)"，因此集合｛s“+”neN*

62

所以数列｛S“｝具有P(2)性质.

17.答案：(1)见解析

⑵空

3

解析：(1)如图、连接30,

AB=AD=1,CD—2,BD=BC=A/2

BD2+BC2=CD2,：.BC±BD,

BB[1平面ABCD,BBl1BC,

又BB[50=3,平面48。。],

B]Mu平面BiBDDl,BC±B}M.

(2)连接BXDX.

由已知可得B】M={BQ；+2/=2,CM=y/CD'+MD2=J4,

2222

BXC=^BB^+BC=J10,:.CM+BXM=B,C,B,M1CM

设点8到平面”3。的距离为h,

由(1)知BC,平面用BOQ,

•••三棱锥C—耳的体积;XBCXS.MBB,=gxSAMB、。，

BP-xV2x-xV2x2V2=-Ax-x2xV6,

3232

解得〃叵，即点6到平面MB。的距离为之叵.

313

22

18.答案：(1)土+匕=1

126

⑵V3

c_42

a2

解析：（1）由椭圆C的离心率为白，且过点2（2,2）得＜44〃2=12,

=1=>V

a1b1=6,

a2=c2+b2

22

椭圆。的方程为土+乙=1

126

（2）当直线/的斜率不存在时，耳=邑，则瓜―S2|=0；

当直线1斜率存在且不等于零时,设直线I：y=左（％+1）,

y=/r(x+l),

联立%2,2可得(1+2左2)d+4左2%+26_]2=0,

A2+~6~，

设A（%,yJ，8（x2，%），则石+々=一4k22左2—12

--------，X.X2=T

1+242----121+2/

5=QX2&|X|,S2=-x2y[6\y2\^

显然46在x轴两侧，%,为异号,

所以5-S21=#氏+%|=布|左(石+1)+左(%2+1)|

4k之、2k

-A/6k—+2k=76=A/6

1+2左2,1+2左2

当且仅当工=2左，左=±受时,取等号.

k2

所以⑸一S2I的最大值为由.

19.答案：（1）/（力在（O,y）上单调递减;

(2)e(^x),l)

G1。

解析：(1)当a=l时，/''(x)=——-2(x-l)=—(in%-%2+A：),

设g(x)=Inx-x2+x,贝！Ig'(x)=--2%+1=⑵"+D"——

xX

所以当xe(O,l)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当xe(l,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x=1时，g(x)取得极大值g(l)=0,所以g(取Vg(l)=0,

所以/'(x)<0,/(x)在(0,+oo)上单调递减；

(2)f\x)=——-2(7(X-1)=—(inx-txx2+ox)

XXv7

2

、FL7/、i?rm,/、1c-2ax+ax+1

攻/z(x)=Inx-ax+依，贝(J用(%)=——2ax+a--------------,