2024年高二数学专项练习：倍角、半角公式

2024年高二数学专项练习倍角、半角公式

考纲导读

1.会用两角和与差的正弦、余弦公式推导倍角、半角公式，了解它们的

内在联系。

2.解决比较简单的应用问题，体会换元思想、方程思想的运用。

知识要点

复习和黄角的三角函数公式

sin(a+/?)=sinacos0+cosasinf3

sin(a-/?)=sinacos(3-cosasin0

cos(or+4)=cosacosj3-sinasin(3

cos(a-P)=cosacos/?+sinasin(3

典型例题分析

例1、求证下列等式成立：

(1)sin2cr=2sinq•cosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2。-1=1-2sin2a.

八2tana

(3)tan2a=------------

1-tana

/,、.a1-coscr

(4)sin2—=-----------

22

1+COS6Z

(5)cos2—

22

a1-coscr

(6)tan2—=-----------

21+coscr

/_、asinal-cosa

(7)tan—=----------=—；-------

21+cosasina

(8)々sinA+bcosA=J/+〃sin(A+。),

ab

其中cos^=sin夕=

1a1+/yla2+b2

例2、求值：

(1)已知sin(C-')=3,求cos(6一生).

12256

(2)已知sin(a+a)=相，求sin2a.

例3、已知/(x)=sin2%+2sinxcosx+3cos2x,求:

(1)/(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

(2)f(x)的单调区间.

平面向量基本定理及坐标运算

一、知识要点：

1.平面向量基本定理

2.平面向量的坐标表示

3.平面向量的坐标运算

4.向量共线(平行)

二、典型例题

例1.如图，在AABC中，OA=a,OB=b,BE：EA=1：2,E是Q4中点,

线段0E与6歹交于点G,试用基底@力表示:

B

(1)OE；⑵BF-,(3)OG.

解析：

例2.已知平面上三点坐标为A(—2,1),3(—1,3),。(3,4),求。点坐标,

使得这四个点成为平行四边形的四个顶点。

解析：

例3.已知四个点为4(1,0),3(4,3),。(2,4),。(0,2),试判断四边

形A3CD的形状。

解析：

例4.如图，已知点A(4,0),3(4,4),C(2,6),

求AC与08的交点尸的坐标。

解析：

三角函数的性质及应用

、知识要点

1、分析近几年的高考试题，有关三角函数的内容一般不低于一大一

小，占15-20分，试题内容主要有两方面：其一是考查三角函数的性

质和图像变换，尤其是三角函数的最大值、最小值和周期；其二是考查

三角函数式的恒等变形及应用。

2、三角形是三角函数的主要应用场所，特别是三角形的内角和定理、

正弦定理、余弦定理几乎每年都有考察。

二.典型例题

例1.若AABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b>—c?=4,

且C=60°,则ab的值为（）

A.-B.8—C.1D.—

33

例2.定义在R上的偶函数满足<x+2）=/（x）且八尤）在［-3,—2］上是减

函数，又a、P为锐角三角形的两内角，则（）.

A、y（sina）/cosP）B、y（sina）〈y（cosp）

C、y（sina）/sinB）D、y（cosa）V/（cosP）

例3.设AABC的内角的对边分别为a,b,c,

且cosA=—,cos3=,A=3,则c=

例4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,6,

C成等差数列.

(I)若6=V13,a=3,求c的值；

(II)设f=sinAsinC,求才的最大值.

例5.函数/(x)=6cos2g^+Gsin(yx—3(。＞0)在一个周期内的

图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且

AA5C为正三角形.

(I)求。的值及函数/(无)的值域；

(II)若/(%)=竽，且x°e(―?$,求f(x0+1)的值.

同角三角函数基本关系式

一、知识要点

1.平方关系：sin2cir+cos2a=1

sina

2.商数关系：tana=----

cosa

3.倒数关系：tana-cota=1,sincrcsca=l,cosa・seca=l

二、典型例题

3

例题1.已知：sinq=-1，。为第三象限角，求a的其它三角函数值

解析：

发展变化：去掉"a为第三象限角”的条件；

注意：已知某角的三角函数值，求它的其余三角函数值时要注意角所在

的象限，这主要是在使用sina=±A/1-COS2a.cosa=±A/l-sin2a时,

要根据角a所在的象限恰当选定根号前的正负号。

例题2.已知：tan8+cot8=2,求：

(1)sinPcosg的值；(2)sin8+cos8的值；

(3)sincos9的值；(4)sin。及cos。的值

解析：

发展变化：已知sine+cos®=',求sinacos。等

2

例题3.已知：tan=--,求：

2

/、sin0+cos0

(1)-----------；

sin6-3cos。

/、l+2sin8cose

(2)----------—；

sin2^-cos20

22

(3)2sin^-3sin6^cos^-5cos0o

解析:

例题4.化简:

，l-2sin6cos6

(1),0-^2k7i\kGZ；

sin0-cos0

1-cos46^-sin40

(2)(3)Vl-sin22-A/1-COS22

1-cos66^-sin60

cos6*A/1-COS201+sin。1一sin。

(4)(5)

^/1-sin20sin®1一sin。，1+sin。

解析:

注意：化简的基本要求：尽量减少角的种数、尽量减少三角函数的种数、

尽量化为同角同名等，其它思想还有异次化同次、高次化低次、化弦或

化切、化和差为乘积、化乘积为差、特殊角三角函数与特殊值互化等。

例题5.证明恒等式

⑴W-sm到⑵寒冷福

解析：

正、余弦定理及解三角形

一、知识要点

1、正、余弦定理的证明及应用

2、三角形是三角函数的主要应用场所，解三角形是高考的重要题型。

二、例题分析

例1.在△ABC中，AB=2,AC=3,ABBC=1,贝U8C=()

A.^3B.巾C.2吸D.^23

例2.在△ABC中，已知通•启=3函•病.

(1)求证：tanB=3tanA；

(2)若cosC=5，求A的值.

例3.△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长，a=43,

b=桓,l+2cos(5+C)=0,求边BC上的高.

例4.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-工