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专题22圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)【例题】已知椭圆,设直线不经过点且与相交于,两点.若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点. 【手电筒模型·1定+2动】直线与椭圆交于A,B两点,为椭圆上异于AB的任意一点,若定值或定值(不为0),则直线AB会过定点.(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型). 补充:若过定点,则定值,定值.【坐标平移+齐次化处理】(左加右减,上减下加为曲线平移)Step1:平移点P到原点,写出平移后的椭圆方程,设出直线方程,并齐次化处理Step2:根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式,求得m,n之间的关系,Step3:得出定点,此时别忘了,还要平移回去!【补充】椭圆是椭圆上一点,A,B为随圆E上两个动点,与PB的斜率分别为k1,k2.(1),证明AB斜率为定值≠0);(2),证明AB过定点:;(3),证明AB的斜率为定值;(4),证明AB过定点:.以上称为手电筒模型,注意点P不在椭圆上时,上式并不适用,常数也需要齐次化乘“1²”2020·新高考1卷·22已知椭圆C:的离心率为,且过点.(1)求的方程:(2)点,在上,且,,为垂足.证明:存在定点,使得为定值.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一已知定点求定值已知抛物线,过点的直线与抛物线交于P,Q两点,为坐标原点.证明:.如图,椭圆,经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P,Q(均异于点,证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.已知点,为坐标原点,E,F是椭圆上的两个动点,满足直线AE与直线AF关于直线x=1对称.证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值; 如图,点为椭圆的右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方),设点、是椭圆上位于直线两侧的动点,且满足,试问直线的斜率是否为定值,请说明理由.椭圆,,经过点,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ斜率之和为2.已知椭圆:,过作斜率为的动直线,交椭圆于,两点,若为椭圆的左顶点,直线,的斜率分别为,,求证:为定值,并求出定值.题型二已知定值求定点(2017·全国卷理)已知椭圆,设直线l不经过点且与C相交于A,B两点.若直线与直线的斜率的和为1,证明:l过定点.已知椭圆,设直线不经过点且与相交于A,B两点.若直线与直线的斜率的和为,证明:直线过定点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点P(1,y0)(y0>0)到其焦点的距离为2.(1)求点P的坐标及抛物线C的方程;(2)若点M、N在抛物线C上,且kPM•kPN=,证明:直线MN过定点. 已知椭圆,,若直线l交椭圆C于A,B(A,B异于点P)两点,且直线PA与PB的斜率之积为,求点P到直线l距离的最大值.已知椭圆:的离心率为,椭圆的短轴长等于4.(1)求椭圆的标准方程;(2)设,,过且斜率为的动直线与椭圆交
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