武汉大学高等代数内部讲义

武汉大学高等代数〔根底课程内部讲义〕目录武汉大学数学专业根底知识点框架梳理及其解析 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章入-矩阵与约当标准型 第九章欧几里得空间 第十章双线性函数与辛空间 武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度〔了解、理解、掌握、应用〕2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只要是按定义来做都是可以做出来的证明110证明向量的线性相关性，证明与方程组解个数有关的不等式，特殊矩阵有关的证明，特征值的范围，矩阵相似，线性变换证明题中前面几个很简单属于理解定义就可以做的，后面关于线性变换的题目有一定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数和一组基，求满足条件的正交变换，求零化多项式，极小多项式，Jordan标准型，求双线性变换的矩阵。计算的题目都不是很难，只是有些计算起来有些复杂，只要细心就可以了，这根本属于理解定义就可以的题目证明80证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵可逆，证明矩阵正定、合同，证明不变子空间，证明矩阵之间秩的关系前面两个证明存在性的问题看起来是比拟新的题型，但具体分析一下就知道这都是很简单的，只是最后一个证明矩阵之间秩的不等式难度较大，是已有知识的一个应用2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列式的值，求线性方程组的根底解系，求不变因子，约当标准型，极小多项式，线性变换的基计算题的题目都不是很难，一般只要是考生能正确的应用定义就可以做出来。证明80线性方程组是否有公共解，关于代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵的正定，矩阵的相似，线性子空间的直和，线性变换的对角化问题，两个线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难度稍微大一些，但根据最近这些年武汉大学线性代数出题的规律来看，代数的题目都不难，所以根底一定要扎实。综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和证明题型，难度略有增加，侧重于对根底知识点的掌握，在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，一定要搞清楚各个概念以及它们之间的关系，需要了解的只是大多数是定义之类的简单东西，我们必须看到定义之间的练习，才能在做题的时候不混淆，对于熟悉的知识点，这类知识我们应该找一局部习题进行一下简单训练，这类知识点一般不会出很难得题目，但肯定会在考试中涉及，所以进行一定的训练是很有必要的；对于掌握的知识点，这类知识点是考试的重点，一定要多花些时间来做，首先是看一遍课本，然后做完课本上相应的习题，对这类知识点先有个大体的了解，然后再做我们所推荐的那两本习题，将那上面的相关题目完成后对付考研是没问题的。参考书目知识点分析初试专业课《高等代数》总共包括1本书下面我将主讲高等代数的复习概要，同学可以做个标注：《高等代数》章节章节名称重点难点必考点考试题型分值第1章多项式×××无第2章行列式√√计算行列式的值15第3章线性方程组√√求解题目中的参数15第4章矩阵√√√求矩阵的逆或证明矩阵秩之间的关系25第5章二次型√√√与正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵有关的证明15第6章线性空间√证明线性空间同构，或求先行空间的维数15第7章线性变换√√√求线性变换的特征向量特征值特征子空间，不变子空间等20第8章入-矩阵与约当标准型√求约当标准型15第9章欧几里得空间√对称变换，反对称变换，正交变换，正交矩阵有关的证明15第10章双线性函数与辛空间√求双线性变换的矩阵15重点知识点汇总分析〔大纲〕序号知识点细分难易程度〔最大为★★★〕1多项式多项式的概念两种不同的定义不定元的观点★函数观点2多项式的运算加法、减法、乘法★3多项式的次数不为零的项的最高次数为该多形式的次数★4整除及其性质★5最大公因式首项系数为1的最大公因式记为〔，〕★6多项式互素★7不可约多项式及其性质★8因式分解定理★9重因式不可约多项式称为多项式的重因式，如果而不整除★10多项式的根★11本原多项式★★12艾森施坦因判别法★13多元多项式★★14对称多项式★★★15行列式行列式的定义，逆序的定义为排列的逆序数。★16行列式的性质转置以后其值不变，变换行列式的两行〔列〕，行列式改变符号★17按一行〔列〕展开★18行列式的乘法★19拉普拉斯定理(laplace定理)★★20线性方程组克莱姆法那么〔Cramer法那么〕设，且，那么有唯一解，其解为★21向量的线性相关性设，假设方程组，在中有非零解，那么称线性相关，否那么称它们线性无关。★★22线性方程组解得情况分类非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩★★23矩阵矩阵及其运算矩阵的加法★矩阵的数乘★矩阵的乘法★矩阵的转置★24可逆矩阵与逆矩阵伴随矩阵及其性质★★逆矩阵及其性质★★求逆矩阵的两种方法I)用公式II)初等变换法★25初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵★26分块矩阵分块矩阵的运算★★分块矩阵的初等变换★★分块矩阵求逆的方法★★27矩阵的秩秩=秩();★秩=秩，其中为非零常数★秩★秩秩秩★28矩阵的分解矩阵的和分解★★矩阵的积分解★★★29二次型二次型的标准形二次型的矩阵表示★二次型与矩阵的合同★30对称矩阵n阶对称矩阵合同于对角矩阵★n阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T使★★31实二次型与复二次型的标准型复二次型经过适当的满秩线性变换〔复〕可变为★实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为★32符号差p-q=S33对称矩阵的性质两个复对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等★两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的符号差★34正定二次型判定条件A与E合同，A的一切顺序主子式全大于零。或A的特征值全为正。★35二次型是负定二次型的充要条件是是正定二次型。★36二次型是负定的充分必要条件是它的顺序主子式负、正相间。★★37n元实二次型正定二次型：正惯性指数＝秩＝n★半正定二次型：正惯性指数＝秩★负定二次型：负惯性指数＝秩＝n；★半负定二次型：负惯性指数＝秩★不定二次型：其他★38线性空间线性空间的简单性质加法交换律★加法结合律★在中有一个元素0，对于中任一元素都有★对于中每一个元素，都有中的元素，使得★1·=；★★★★39维数果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.★★40基在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基，★★41坐标设，其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标.★42过渡矩阵★★43线性子空间数域上线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间〔或简称子空间〕，如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间.★★44子空间的交与和，称为子空间的交；，称为子空间的和。★★45子空间的直和★★★46同构★★47根本结论线性空间的非空子集是的子空间的充分必要条件是对于的两种运算是封闭的.★向量组与向量组等价，且等于向量组的秩★如果是线性空间的子空间，那么，都是的子空间.★★★★18数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.★49线性变换线性映射的定义设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件；，★50单线性映射是单射★51满线性映射是满射★52同构映射既单又满，★53的核〔kernel〕★54的像〔image〕，也记为★55和是的子空间★56线性映射是单的当且仅当ker，是满的当且仅当coker★57线性映射的运算的定义与性质加法与数域上的数量乘法★58线性映射在一组基下的矩阵★59线性变换线性空间到自身的线性映射称为线性变换★60线性变换的矩阵★★61矩阵的相似二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。★★★62线性变换的特征值与特征向量的定义假设存在非零向量，使得对于某个，有，那么称是的属于特征值的特征向量。★63线性空间中属于确定的特征值的特征向量〔添加上零向量〕构成子空间特征子空间★★64特征值和特征子空间的计算、特征多项式被称为线性变换的特征多项式★★65线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关★66维空间的具有个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.67维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。★★68线性变换的不变子空间★★★69如果维空间上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵，那么A在任一不变子空间上〔的限制〕的矩阵相似于对角矩阵。★★70入-矩阵与约当标准型入-矩阵的可逆★71入-矩阵的初等变换★72入-矩阵等价的定义经一系列初等变换可以得到★73入-矩阵的标准型,★74入-矩阵的行列式因子★75入-矩阵的不变因子入-矩阵的标准型对角线上的元素★76两个入-矩阵等价的充分必要条件是他们有相同的不变因子★77矩阵A的不变因子入E-A的不变因子★78入-矩阵的初等因子所有次数大于等于1的因式★79矩阵的Jordan标准型与A相似的Jordan型矩阵成为A的Jordan标准型★★★80Hamilton–Cayley定理A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,那么f(A)=0.★★81最小多项式.设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项式.★★82欧几里得空间内积就是一个正定、对称的双线性函数★83欧几里得空间具有内积的实线性空间称为欧几里得空间〔简称欧氏空间〕；★84长度或模★85柯西-布尼雅可夫斯基不等式★★86度量矩阵是实对称矩阵,并且是正定的★★87标准正交基★88正交矩阵.★★89施密特(Schmidt)正交化方法★★★90欧式空间中子空间M的正交补★91★★92欧氏空间同构映射(1)是线性空间的的同构映射(2)保持内积关系.★★93正交变换设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意都有(AA=★★94第一类正交变换正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1★95第二类正交变换.如果行列式为-1★96正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1★★97对称变换设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有〔A,〕=(,A)★98维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵.★99实对称矩阵A的特征根都是实数.★★100维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间.★★101设维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形设是阶实对称矩阵，那么存在阶正交矩阵，使得为对角阵.★102双线性函数与辛空间线性函数的定义为映射，满足；★103双线性函数的定义★★104双线性函数在给定基下的矩阵★★★105双线性函数在不同基下的矩阵设线性空间上的双线性函数在一组基下的矩阵为，由基到基的过渡矩阵为，那么在下的矩阵为〔合同〕★★106对称双线性函数★107为对称双线性函数在任意一组基下的矩阵为对称矩阵★108数域上的维线性空间上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵★武汉大学数学专业根底知识点框架梳理及其解析第一章多项式本节课在武汉大学考研试题中不会涉及，所以可以不用复习。第二章行列式本章节包括一下5个知识点1．行列式的定义：其中为排列的逆序数。2．行列式的性质设D为n阶行列式，那么，即行列式转置以后其值不变。n阶行列式D某一行〔列〕有公因子可以提出来。n阶行列式D的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行外全与原来行列式D的对应的行一样。n阶行列式D中某行〔列〕的对应元素都相等，那么D=0。n阶行列式D中某行〔列〕的对应元素成比例，那么D=0。把n阶行列式D的一行〔列〕的倍数加到另一行〔列〕，行列式的值不变。变换行列式的两行〔列〕，行列式改变符号。一行〔列〕展开设为阶行列式，为元素的代数余子式，那么行列式的乘法设和是任意两个阶行列式.且,那么,而.其中5.拉普拉斯定理(laplace定理)设在行列式D中任意取定了个行,由这k个元素所组成的一切k阶子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。因为这一节比拟根底而且这一节的内容对于后面几节的学习有很大帮助所以这5个知识点必须掌握。根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点是会求行列式的值。在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过看课本并完成课本后面的习题来初步熟悉以上所说的知识点，知道行列式表示一种特殊的计算方式，关键要搞清楚行列式的计算，一般地有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行〔列〕相加〔减〕、利用特征值、利用降级公式、转化为行列式〔如范德蒙行列式等〕，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】行列式的定义【例题1】写出五阶行列式中包含的所有正项分析：对于这个题我们只要知道行列式的定义，同时能够正确求一个排列的逆序数即可解题：包含的所有正项为：易错点：一定要写出行列式中所有包含的象，这需要比拟细心，这类的题难度不大。【知识点2】行列式的性质【例题2】设三阶矩阵均为三维向量，且求行列式分析：为了求行列式的值我们首先要分析一下A-B是什么形式然后再利用行列式的性质解题：由得：易错点：行列式中提取常数时要提取某一行或某一列的公因式即可习题：设A为三阶方阵，为伴随矩阵，且答案：64【知识点3】一行〔列〕展开,也就是求行列式的值【例题3】设分析：对于行列式求值的问题我们有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、幂级数变换法、逐行〔列〕相加〔减〕、利用特征值、利用降级公式、转化为行列式〔如范德蒙行列式等〕，观察这个行列式的性质我们可以看出加边法会好一些解题：原行列式D=====(1+)易错点：对于这种n×n矩阵一定要根据特点选取适当的方法，这类题一般都有技巧不会让直接算得习题：求行列式的值解答：这个题计算有些复杂我写出了他的过程知识点4和知识点5在行列式计算的过程中都有表达，这两个知识点只是提供了求解行列式的一种方法第三章线性方程组给定一个一般的线性方程组，它有解、无解、有多少解，完全由其系数矩阵与增广矩阵的秩决定，亦即由行列向量的线性关系所决定。此外，关于线性方程组的求解方法、解的结构的讨论，亦与线性关系有关，因而线性相关性是线性方程组的理论根底，因而我们的讨论就从这里开始。本章内容大的知识点一共一下两个向量的线性相关性1〕维向量及其线性运算2〕设，假设方程组，在中有非零解，那么称线性相关，否那么称它们线性无关。3〕①线性相关=0；线性无关0②线性相关它们的对应分量成比例；线性无关它们的对应分量不成比例4〕设那么线性相关；线性无关5〕局部相关，整体相关；整体无关，局部无关。6〕设〔〕〔〕假设线性无关，那么也线性无关。7〕①设，存在，使，那么称可由线性表出〔或线性表示〕。②设为向量组〔Ⅰ〕，为向量组〔Ⅱ〕，假设组〔Ⅰ〕中任一都可由组〔Ⅱ〕线性表出，那么称组〔Ⅰ〕可由组〔Ⅱ〕线性表出；假设组〔Ⅰ〕与组〔Ⅱ〕可以互相线性表出，那么称组〔Ⅰ〕与组〔Ⅱ〕等价。③假设线性无关，而线性相关，那么可由线性表示，且表示法唯一。8〕极大线性无关组，向量组的秩，两个等价的向量组有相同的秩。线性方程组设给定了数域上的一个线性方程组⑴其中为行列的矩阵，，。为〔〕导出方程组。非齐次线性方程组⑴有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩方程组⑴假设有解，那么ⅰ〕当<时，有无穷多解；ⅱ〕当=时，有唯一解。齐次线性方程组⑵有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，即<。方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于零。任何一个有非零解的齐次线性方程组必有根底解系，且根底解系所含解的个数为-即为自由未知量的个数。一定要会求齐次线性方程组的根底解系。假设方程组⑴有解，那么⑴的一个解与它的导出方程组的一个解的和是⑴的一个解。⑴的任意解都可以写成⑴的一个特解和⑵的一个解的和。假设为的一个根底解系，那么的全部解可表示为其中为方程组⑴的一个解。其中必须掌握的有以下几点1.能够判断一组向量的线性相关性，给出一组向量可以求出他的最大线性无关组2.给出一个线性方程组能够判断它是否有解，有解的话有多少，并且能够求出它的解根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点2个，1.知道向量线性无关怎样判断2.会求一般线性方程组的解。在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过复习教材并完成课后习题组了解本章主要包括线性方程组解的判定和解的结构两局部。解的判定只需判断系数矩阵与增广矩阵秩的关系，另外，线性方程组AX=b有解与b可由A的列向量线性表出。解的结构也完全由系数矩阵与增广矩阵的秩相关，此处引入了极大线性无关组的概念，它有三层含义：首先是解，其次相互无关，另外任一组解可由它们线性表出，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】【例题1】设向量组线性无关，而线性相关，试证：或者与至少有一个可以被线性表示；或者向量组与向量组等价。分析：这道题考察的就是向量线性无关与线性相关的定义，安定已将条件都用数学语言写出来分析一下就可以很容易证明了。解题：因为向量组线性无关，而线性相关，所以存在一组不全为零的数使得①其中不全为零〔否那么线性相关〕故与至少有一个不为零。假设，，那么①式变为这时即可由线性表示；假设同理可证可由线性表示；假设，那么由①式知，可由线性表示，可由线性表示故向量组与向量组可以互相线性表示，也即二者等价。易错点：一定要记清向量线性无关和等价的定义，把题目中的所有信息都用数学是自来表示然后再分析它们之间的关系。习题：设向量组线性无关，试问向量组是否线性相关？并证明你的结论。【知识点2】线性方程组【例题2】设，秩秩<〔厦门大学〕证明：〔1〕方程组有个线性无关的解〔2〕是方程组的解，其中〔3〕方程组的任一解可表为其中。分析：在线性方程组这一章里考察的内容根本就两个第一是判断方程组是否有解第二就是求方程组的根本解系所以一定要记清方程组有解的判定条件和根底解系的性质。解题：〔1〕因为秩秩<，所以方程组有解，由秩<可知有个线性无关的解：显然，线性无关。〔否那么，矛盾〕。所以，，+，+，+亦线性无关。令可得为的个线性无关的解。〔2〕令其中，由于〔3〕设为的个解且线性无关，于是为的个解，并且容易验证它们是线性无关的，所以的任意解可表示为令，那么且易错点：对于齐次方程组和非齐次方程组解之间的关系没弄清。习题：证明：实系数线性方程组⑴有解的充分必要条件是属于的向量与齐次线性方程组⑵的解空间正交。第四章矩阵本章的知识点主要有一下7个1矩阵及其运算矩阵的加法及性质设规定其中其中加法适合以下性质：I)交换律;II)结合律;III)有零矩阵;IV)有负矩阵;矩阵的减法：(2)数乘矩阵及性质设，为任意数数乘矩阵适合以下性质：;;;(3)矩阵的乘法设规定其中矩阵乘法适合的性质：结合律;分配律;有单位矩阵;矩阵乘法不适合交换律。一般;也不适合消去律即不一定有(4)矩阵的转置设规定,其中转置矩阵适合的性质：2．可逆矩阵与逆矩阵伴随矩阵及其性质设那么它的伴随矩阵为中元素的代数余子式。伴随矩阵适合的性质：秩(2)逆矩阵及其性质设假设存在n阶方阵使，那么为可逆矩阵是的逆矩阵设为逆矩阵的性质：当为可逆时(3.)求逆矩阵的两种方法：I)用公式II)初等变换法.3.初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵分为下面三种：初等矩阵均可逆，且逆矩阵是同一类型初等矩阵。矩阵的等价标准形4.分块矩阵分块矩阵的运算常用的几种分块方法：列向量分法，即其中为的列向量；行向量分法，即其中为的行向量；分两块，即或分四块，即(3)分块矩阵的初等变换〔4〕分块矩阵求逆的方法5.矩阵的秩设秩中一切不等于的子式的最高阶数；秩的行秩；秩的列秩;矩阵的秩的有关几个结论：秩=秩();秩=秩，其中为非零常数；秩秩秩秩;设分别是与矩阵，那么初等变换不改变矩阵的秩。6.矩阵的分解〔1〕矩阵的和分解〔2〕矩阵的积分解。7.一些常见的矩阵名称记号定义性质零矩阵负矩阵假设那么单位矩阵数乘矩阵名称记号定义性质对角阵D又记上(下)三角阵为下三角阵为上〔下〕三角阵，那么均为上〔下〕三角阵。对称阵为对称阵，那么仍为对称阵反对称阵为反对称阵，那么仍为反对称阵奇数阶反对称矩阵行列式为0幂等阵假设为奇异阵幂零阵为奇异阵，为非奇异阵幂幺阵〔对合阵〕为非奇异阵且伴随矩阵正交矩阵满足或的矩阵 为正交矩阵，那么也是正交阵，同阶正交矩阵之积仍为正交矩阵酉矩阵满足或的矩阵为酉矩阵，那么也是酉矩阵。同阶酉矩阵之积仍为酉矩阵，酉矩阵的特征根之模为1其中必须掌握的有5个分别是1.矩阵及其运算2.可逆矩阵与逆矩阵3.初等变换与初等矩阵4.分块矩阵5.矩阵的秩根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点4个，1.矩阵及其运算2.可逆矩阵与逆矩阵3.初等变换与初等矩阵4.矩阵的秩【知识点1】矩阵及其运算【例1】当时，，求分析：对于矩阵的运算在考研中不会出题但是它是解决其它问题的根底，所以一定要会算。解答：易错点：很多情况都是要计算一个比拟复杂幂次很高的矩阵这就需要我们根据它自身的特点看看能不能简化一下，如果直接算往往是得不到结果的。习题：矩阵矩阵B与A满足关系式AB=A+B,试求B【知识点2】可逆矩阵与逆矩阵【例2】矩阵A且试证B是可逆矩阵，并求分析：这类让证明矩阵可逆的题目方法有两个1.利用定义来证明2.证明行列式值不等于0这一题用定义不是很好证所以我们考虑用第2种方法。又由知由两边取行列式得由得从而故B可逆。又所以易错点：关键是要选对方法在观察题目用定义不好证明的时候要学会去寻找别的途径。练习：设A为主对角线元素为0的四阶实对称可逆矩阵，E为四阶单位矩阵,(i)试计算,并指出中元素满足什么条件时,为可逆矩阵.(ii)当可逆时,试证明为对称矩阵【知识点3】初等变换和初等矩阵【例3】试将下面两个可逆矩阵化为初等矩阵的乘积：，分析：对于化成初等矩阵的题目我们首先是按初等变换把该矩阵化成单位矩阵解答：用初等矩阵把Ａ化为单位矩阵．即所以．类似的可得．【知识点4】分块矩阵【例3】设Ａ为秩是的矩阵．证明存在m阶非奇异矩阵行满秩矩阵，使其中０是零矩阵．存在阶可逆矩阵，列满秩矩阵，使其中０是零矩分析：实际上分块矩阵和矩阵的分解经常是在一起来考察，对于涉及到矩阵乘积的问题我们往往会采用分块矩阵的方法来简化运算。解答：由于，那么存在阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使．令，其中是行满秩矩阵．那么．同样，由有，令那么.易错点：这个知识点有一定的难度而且是考研会经常涉及的一局部，考生很多情况下对矩阵分块弄不清该怎样来分，这需要多练习。练习：设是一个阶实可逆矩阵，证明：存在一个正定矩阵和正交矩阵，使【知识点5】矩阵的秩例5设为秩是的阶实对称矩阵，那么的满秩分解是其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵，是阶可逆矩阵。分析：此题考察的内容实际上是矩阵的秩，在应用矩阵制的时候往往是把矩阵化成分块矩阵来对待。解答：由的秩为，那么存在可逆矩阵使进而，对按形式分块为其中是阶子方阵，是矩阵，是矩阵，是矩阵，于是由于得为对称矩阵，由此推出并且又因故为阶可逆实对称矩阵，于是再令其中为矩阵，为矩阵，那么即为所求。易错点：矩阵的秩这一知识点根本上是每年必考，因为这个知识点往往是和分块矩阵放在一起来考察，这就更增加了该题的难度，所以考生应该把分块矩阵现弄清楚。练习：设都是阶矩阵,且.证明这个矩阵之和第五章二次型本章大的知识点共以下3个二次型的标准形(1)二次型的矩阵表示其中.,A称与二次型的矩阵.二次型矩阵的秩称为二次型的秩。二次型矩阵表示为〔2〕二次型与矩阵的合同矩阵合同的定义：数域P上矩阵A.B称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵C使合同关系具有反身性，对称性，传递性。可逆线性变换,,正交线性变换,使得二次型都可以经过一个满秩线性替换变成平方和的形式。称为二次型的标准性。标准性不唯一。对称矩阵有以下性质：n阶对称矩阵合同于对角矩阵。n阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T使实二次型与复二次型的标准型复二次型经过适当的满秩线性变换〔复〕可变为这里是二次型的秩。称为此复次型的标准型。标准型是唯一的。实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为(*)其中r是二次型的秩。称(*)式为此实二次型的标准型，标准型是唯一的。正惯性指数p，负惯性指数q，符号差p-q=S。对称矩阵的性质：秩为的复对称矩阵合同与对角矩阵两个复对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相等。秩为的实对称矩阵合同与对角矩阵两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩和相同的符号差。正定二次型与正定矩阵定义：实二次型，如果对任意一组不全为零的实数都有，称二次型为正定二次型。类似的可以给出半正定、负定、半负定二次型的定义。正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵。判定条件：设为实二次型那么以下条件等价：为正定二次型，〔b〕矩阵A是正定矩阵。正惯性指数p=n。〔d〕A与E合同。〔e〕A的一切顺序主子式全大于零。〔f〕A的特征值全为正。对于实二次型，其中是A实对称的，那么以下条件等价：是半正定的；它的正惯性指数与秩相等，即p=r有可逆实矩阵C，使；有实矩阵Q，使。的所有主子式皆大于或等于零。是实二次型。那么二次型是负定二次型的充要条件是是正定二次型。二次型是负定的充分必要条件是它的顺序主子式负、正相间。即【知识点1】二次型的标准形【例1】：用合同变换法化二次型为标准型分析：根据合同变换的定义我们直接来求解这道题就行，这中题目一般都是很简单的。解答：由题意可得故作满秩线性变换把二次型化为标准型易错点：再对矩阵做合同变换的时候一定记着要行与列同时变。练习：用正交线性替换将二次型化为标准型【知识点2】实对称矩阵【例2】：假设实对称矩阵证明分析：首先题目中说了A是对称矩阵我们就可以试这应用对称矩阵的定义来做。解答：设因为为实数，所以=0,i,j=1,2,…,n.即A=0.易错点：对称矩阵的性质很多，一定要记清楚，对于不同的题目我们可以灵活运用。练习：A是n阶实对称矩阵，且证明存在实n维向量使【知识点3】正定二次型与正定矩阵【例3】设n阶方阵A,B都是正定的，证明A+BkA(k>0)及都是正定矩阵。分析：对于正定矩阵我们知道它合同与单位矩阵，利用这一性质我们来时这证明这个题目证明：是正定矩阵。存在可逆矩阵C使两边取可逆,那么即，故正定,,A+B是实对称矩阵且二次型恒有当不全为零时，故是正定二次行，为正定矩阵。易错点：在证明有关正定矩阵的题目是定义是关键，不管怎样的方法最后还是得转化到定义上来。练习：设为阶正定矩阵，那么〔I〕其中T为实可逆矩阵。〔ii〕其中B与n为阶正定矩阵。〔iii〕其中R为主对角元素为正的上三角形n阶实矩阵第六章线性空间本章知识点共有以下8个1、线性空间设是一个非空集合，是一个数域，在集合的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法那么，对于中任意两个元素，在中都有唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为，在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域中任一数与中任一元素，在中都有唯一的一个元素与它们对应，称为的数量乘积，记为.如果加法与数量乘法满足下述规那么，那么称为数域上的线性空间.〔1〕；〔2〕；〔3〕在中有一个元素0，对于中任一元素都有〔具有这个性质的元素0称为的零元素〕〔4〕对于中每一个元素，都有中的元素，使得〔称为的负元素〕；〔5〕1·=；〔6〕；〔7〕；〔8〕.2、维数、基、坐标如果在线性空间中有个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称为维的；如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称为无限维的.在维线性空间中，个线性无关的向量称为的一组基，设是中任一向量，于是，线性相关，因此可以被基线性表出：，其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标.3、过渡矩阵设与维线性空间中两组基.那么矩阵称为由基到的过渡矩阵.4、线性子空间数域上线性空间的一个非空子集合称为的一个线性子空间〔或简称子空间〕，如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间.5、子空间的和设是线性空间的子空间，所谓的和，是指由所有能表示成，而，的向量组成的子集合，记作.6、如果是线性空间v的两个子空间，那么7.子空间的直和设是线性空间的子空间，如果和中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为.8、同构数域上两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，具有以下性质：〔1〕〔2〕其中中任意向量，是任意数，这样的映射称为同构映射.必须掌握的知识点有以下7个：1、如果线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.2、线性空间的非空子集是的子空间的充分必要条件是对于的两种运算是封闭的.3、向量组与向量组等价，且等于向量组的秩.4、设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基，也就是说，在中必定可以找到个向量，使得是的一组基5、如果是线性空间的子空间，那么，都是的子空间.6、如果是线性空间的两个子空间，那么7、和是直和可推出根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点4个，1.线性空间的定义2.线性空间的等价3.维数公式4..线性子空间的直和在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过复习教材并完成课后习题知道本章内容主要是线性空间的定义由公理化体系给出了八条运算规那么，线性空间的结构可以从维数、基、子空间、空间运算等角度去理解，维数刻画了空间的“大小”，基刻画了空间中元素的“形状”，子空间刻画了空间中各个元件的关系，空间运算〔交、和、补〕那么是构造新空间的根本方法。这里需要指出的是，空间运算不像集合运算〔交、并、补〕，这是因为并运算不能保证新集合的完备性，也就是说两空间的并中某些元素进行加法运算后会在并集合之外，而和运算防止了这点，另外和运算也有很多实际原型，并非来的突兀。线性空间的子空间除了保加保数乘以外，还有两个特殊的性质：第一个我把它称作子空间的不完全覆盖性，具体含义是指，任意有限个子空间其并仅仅是原空间的一局部而非整体，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】线性空间这个知识点一般都会和其他知识点一起来考察，故我们通过其他知识点的复习来将这个知识点进一步熟悉。【知识点2】维数、基、坐标【例1】设，证明：〔1〕中任意去掉一个，余下的〔2〕非负的；〔3〕的这种非负坐标表达式是唯一的.分析：证明一组向量是基我们一般都是通过定义来证明解答：〔1〕那么由所以线性无关，因此〔1〕成立.〔2〕那么结论成立，否那么，令是负坐标中绝对值最大的，那么于是，就是要求的一组基.〔3〕是负坐标中绝对值最大的，剩下来的基中，证明无论用哪一组基表示都有负坐标，对任意的其中于是结论成立.练习：证明设)=那么【知识点3】子空间的直和【例2】设,且分别为线性方程组的解空间，证明分析：这个题目中牵扯到多项式互素我们可以用数学语言将这一事实描述出来再求解问题解答：那么显然是的子空间，那么也是的子空间.令那么由那么存在使〔1〕令那么用右乘〔1〕式两边.那么那么，由Frobenius不等式，于是，而易错点：子空间的直和与子空间的和是不同的，不要将两概念混淆。练习：设为数域，为数域上阶矩阵，且求证：【知识点4】同构【例3】设是数域上的的秩).设齐次线性方程组的解空间分别是证明存在上的可逆分析：对于同构问题我们考虑同构的两个条件就行解答：以它们作列分别作成那么存在阶可逆矩阵使得.于是.设于是，容易证明是的同构映射第七章线性变换本章共6个知识点1.设为数域上的线性空间，为映射，且满足以下两个条件：i〕、；ii〕、，那么称为〔由到的〕线性映射2.设于是称为在基和下的矩阵。3.线性空间到自身的线性映射称为线性变换，记Hom为End或End。线性变换〔在一组基下〕的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例4.设线性变换在一组基下的矩阵为，由基到基的过渡矩阵为，那么A在下的矩阵为。5.线性变换的特征值与特征向量，特征子空间的计算、特征多项式6.线性变换的不变子空间本章必须掌握的知识点有以下5个1.线性变换的矩阵2.线性变换的特征值特征向量特征子空间3.线性变换的不变子空间。根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点2个，1.线性变换的定义与线性变换的矩阵2.线性变换的特征值特特征向量征子空间3.不变子空间在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过复习教材并完成课后习题认识到特征子空间实际是一个其次线性方程组的解空间，这里需要注意一个矩阵的代数重数不会超过其几个重数，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】线性变换的矩阵【例1】上的线性变换在标准基下的矩阵是，设，求在基下的矩阵B.分析：先求基到基的过渡矩阵P；然后再求；最后求，即得所求。解答：由条件设从标准基到基的过渡矩阵为P，那么同时也可求得，根据统一线性变换在不同基下的矩阵是相似的原理，我们有易错点：这类题目解答来思路并不困难在遇到此情况时，我们应按照做题步骤一步步来，且勿急躁！练习：设(1)证明：V对与矩阵的加法和数量乘法构成一个线性空间；(2)令，用下式定义：，〔3〕写出V的一组基〔无需证明〕，并求f在该基下的矩阵。【知识点2】线性变换的特征值特征向量【例2】设是上线性空间的线性变换,,求的特征根与特征向量.分析：求一个线性变换的特征值实际上就是求解一个矩阵，求特征向量就是解方程组解答：取的一个基,,那么在此基下的矩阵为,由,它们是的特征根,在内的特征根为.对于,求齐次线性方程组的一个根底解系为,于是的属于的全部特征向量为,而的属于的全部特征向量为.练习：1试求阶方阵的特征根(其中),并证明是的最大特征根.幂等矩阵的特征根只能是或.2幂等矩阵的特征根只能.3幂等矩阵的特征根只能是单位根4对合矩阵的特征根是或.5反对称矩阵的特征根是零或纯虚根.6可逆矩阵的特征根均不为零,且如果是可逆矩阵的全部特征根,那么是的全部特征根.【知识点3】特征子空间与不变子空间【例3】设是树域上的二次多项式，在内有互异的根，是数域上线性空间的线性变换，且，证明是的特征根，而可分解为的属于的特征子空间的直和。分析：此题涉及的知识点较多有特征值特征向量还有空间的直和但都是比拟根底的概念应用定义求解即可解答：设，那么，因，存在，使，令，那么，所以是的特征根。同理可证也是的特征根。其次，存在，使，其中，，而，同理，从而。假设，那么，故，由，，故，从而练习：设是实数域上维线性空间的线性变换，试证的子集是的不变子空间。第八章入-矩阵与约当标准型本章涉及的内容比拟多但对于武汉大学考研的高等代数试题来说有涉及的就是约当标准型对于入-矩阵不会考。但是利用入-矩阵的一些性质来求最小多项式等问题还是很有用的，所以最好还是了解一下。本章主要知识点有以下10个小知识点1.入-矩阵的可逆的定义2.入-矩阵的初等变换3.入-矩阵的等价4.入-矩阵的标准型5.入-矩阵的行列式因子6.入-矩阵的不变因子7.入-矩阵的初等因子8.矩阵的Jordan标准型9.Hamilton–Cayley定理10.最小多项式.本章必须掌握的知识点有3个1.矩阵的Jordan标准型2.Hamilton–Cayley定理3.最小多项式根底阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点2个，1.矩阵的Jordan标准型2.最小多项式在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，本章很多内容在武汉大学研究生入学考试中是不会涉及的所以如果时间不是很多可以进行有选择的复习，主要是复习矩阵的约当标准型，和最小多项式这两个知识点对于入-矩阵只需了解即可，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】求解矩阵的Jordan标准形【例1】Jordan标准形的计算方法分析：题目要求是写出求解Jordan标准型的一般方法，，我们如果有了求解Jordan标准型的一般方法在解答这类问题的时候就可以直接应用了解答：设A是数域上的维线性空间上的线性变换,为求出A的Jordan标准型(假设存在),可按如下步骤进行:先求A在的一组基下的矩阵A;求出A的全部不同特征值(假设都属于数域K);对每个,令,由公式计算出以为特征值,阶为l的Jordan块个数.从A的Jordan形J的特征多项式容易看出:以为特征值的Jordan块的阶数之和等于特征值的重数,由此可知是否已找出全部特征值为的Jordan块;或者从等于J中以为特征值而阶l+1的Jordan块的个数这一点作出判断;4)将所获得的Jordan块按任意次序排列成准对角形J,即为所求【知识点2】Hamilton–Cayley定理和最小多项式【例2】设，计算分析：题目中所求矩阵的密次比教高算起来肯定是很复杂，我们观察到A是3×3阶的矩阵可以考虑应用Hamilton–Cayley定理来化成低次幂的形式解答：的特征多项式，用除得，将代入等式两端，由Hamilton–Cayley定理有，于是练习：设三阶矩阵，求。，求=第九章欧几里得空间本章内容主要包括以下6个大的知识点1、欧氏空间〔1〕.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.〔2〕.柯西—布涅可夫斯基不等式:.〔3〕.向量的长度:.(4).两个非零向量与的夹角:.假设,那么与正交.2、标准正交基(１).标准正交基的概念.(2).标准正交基的求法—施密特正交化方法.(3).由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假设两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.3、正交补内射影(1).