青海省西宁市大通县2024届高三年级下册4月第二次模拟 数学（文） 含解析

青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试

数学（文科）就卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2,答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3,考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4=<x—2<x<g、8=卜,(3%+8)〈3卜则AB=()

2.在复平面内，复数z=（2—5i）（—1—2i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

x-y-3<0,

3.若实数满足约束条件［%+2y—220,则z=x+4y的最大值为（）

4

A.-B.6C.13D.15

3

4.已知直线如c+2y+m+2=0与直线4x+（m+2）y+2加+4=0平行，则m的值为（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

5.且数列｛4｝是等比数列，则“"是'"+〃="+q”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.执行如图所示的程序，输出S的值为（）

A.0B.-24C.-72D.-158

7.将函数y=3sin(3x+O)的图象向右平移三个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称，则冏的最小

值为()

717711715〃

A.一B.--C.---D.

618186

IQQ10<x<2

8.已知函数＜-'一一，若/(a+1)—/(2a—1)20,则实数a的取值范围是()

2x3,x>2,

D

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[2,6]-生

9.已知tana+tan尸=5,cosacos/=\,则sin(a+尸)

=()

1154

A.—B.—C.D.一

6565

10.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想

方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞”对数的发明在实效上等于把

天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg2土0.3010,lg320.4771,设N=48xl5i°,则N所在的区间

为()

A.(1013,1014)B.(1014,1015)C.(1015,1016)D.(1016,1017)

11.已知函数八1)=12+依—26,若凡。都是区间［0,4］内的数，则使得"1)20成立的概率是()

7531

A.—B.—C.—D.—

8888

22

12.已知椭圆。：工+3=1(。〉6〉0)的左顶点、上顶点分别为A、B,右焦点、为F,过尸且与x轴垂

ab

直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于巫,。为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE

的斜率之比值的取值范围是（）

A.|一,+oo|B.|一,+oo|C.I—,—|D.

UJUJ（65）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量a力不共线，且（xa+可〃（a+乃），则孙的值为.

22

14.已知双曲线二—1=1（。〉0］〉0）的一条渐近线平行于直线/:x—2y—5=0,且双曲线的一个焦

ab~

点在直线/上，则该双曲线的方程为.

15.已知各项都是正数的等比数列｛4｝的前3项和为21,且%=12,数列也｝中，4=1也=0,若

｛«„+bn｝是等差数列，贝U4+为+&+仇+仇=.

16.己知A6,C是表面积为36〃的球。的球面上的三个点，且AC=A5=l,/BAC=120。，则三棱锥

O—A3C的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

只要骑车，都应该戴头盔.骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障.骑行过程中的摔倒会对头部造成很大

的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不可忽视安全问题.佩戴头盔

的原因很简单也很重要一一保护头部，减少伤害.相关数据表明，在每年超过500例的骑车死亡事故中，

有75%的死亡原因是头部受到致命伤害造成的，医学研究发现，骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤，并

且大大减小了损伤程度和事故死亡率.

某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口的骑电动车不戴

头盔的人数的统计数据：

年份20192020202120222023

年份序号X12345

不戴头盔人数y1450130012001100950

（1）求不戴头盔人数y与年份序号%之间的线性回归方程；

（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数.

参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

b;上―--------;—，&=y-bx.

£（七-元）

Z=1

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A,3,C的对边分别为a,b,c,且2百<〃疝18=优+0+4)仅+(:-0).

(1)求角A的大小；

(2)若sinC=4sinB,a=JT§",求/XABC的面积.

19.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱A3C—4月£中，ZBAC=9Q°,AB=AC=2y/2,AlA=AlB=4,ZAlAB=ZAiAC.

(1)求证：平面ABCJ■平面ABC；

(2)求四棱锥a—G用3c的体积.

20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,l)是抛物线。：12=2加(°>0)上的一点，直线/交。于两

点.

(1)若直线/过C的焦点，求的值；

(2)若直线分别与y轴相交于M,N两点，且ON=1,试判断直线/是否过定点？若是，

求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(X)=f+(2-2a)x-2alnx(aeR).

(1)若a=2,求的极值；

⑵若g(x)=/(x)+2a2-2x+ln2_x,求证：g(x)»g.

(二)选考题：共10分。请考生在第22,23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

x=2+3cos6z,

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为1(a为参数)，以。为极点，x轴的正半轴

y=l+3sina

为极轴建立极坐标，直线I的极坐标方程为夕sin[6+?)=2应.

(1)求。的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)若点P的直角坐标为(2,2),直线/与C交于两点，求上4-PB的值.

22.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数〃x)=[2九一4„—1|.

(1)求不等式的解集；

22

/AC

(2)若函数的最小值为a,且正数a,b,c满足a+Z?+c=m,求证：—H----1--->1.

青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试。数学（文科）

参考答案、提示及评分细则

1.A由题意知3={xk（3x+8）W3}={x|（x+3）（3x—1）WO}=-3,1,所以4B=-3,^.故选

A.

2.B因为复数z=（2—5i）（—1—2i）=—12+i,所以z对应的点为（—12,1）,位于第二象限.故选B.

x-y-3<0,

3.C实数羽y满足约束条件x+2y-220,,表示的可行域如图阴影部分所示.当直线z=%+4y经过

”2

X—y—3=0,

点A时，z取得最大值.由1,解得％=5,y=2,所以Zm^=5+4x2=13.故选C.

”2

4.B因为直线和x+2y+根+2=。与直线4%+（根+2）y+2根+4=0平行，所以（根+2）加一2x4=0,

解得〃z=2或加=T.当加=2时，直线2x+2y+4=0与直线4x+4y+8=0重合，不符合题意；当

=T■时，直线-4x+2y-2=0与直线4x-2y-4=0平行，符合题意.综上，m=-4.故选B.

5.B设等比数列{a“}的公比为名.若勿=1,当nt=l,"=2,"=3,q=4时，aman-apaq,但是

m+n^p+q,所以“=4%"不是“加+〃=p+q”的充分条件；

若m+n=p+q,则aman=曲丁】=曲产?=扁/”=曲产,所以见“册=apaq,所以

“44=%%”是“m+n=p+q”的必要条件.综上，“a,"a"=<2口%”是“m+n=p+q”的必要不

充分条件.故选B.

6.C执行程序框图：5=18,%=3,5=18-2x3=12,不满足x>20；x=6,S=12—2x6=0,不满

足%>20;x=12,S=0—2x12=—24,不满足x>20;x=24,S=—24—2x24=—72,满足x>20,循环

结束，输出S,故输出S的值为-72.故选C.

TT

7.A将函数y=3sin（3x+0）的图象向右平移9个单位长度得

y=3sin3（x—£）+夕=3sin（3x—g+0）,又y=3sin°x—的图象关于y轴对称，所以

—?+夕=3+左左（左eZ）,解得夕=g+bz■（keZ）,当左=—1时，时取得最小值故选A.

8.D画出"％）的图象如图所示，由图可知了（尤）在（0,卡》）上单调递增，又〃a+l”/（2a—1）,所

以。+122。一1＞0,解得工＜a«2.故选D.

2

l.、，csinacos£+cosasin4广”01〜

9.C因为tana+tan夕=------------------—=5,又cosacosjS=—,所以

cosacosj36

sinacos/?+coscrsin/?=sin(or+/?)=5costzcos/?=，.故选C.

10.D因为N=48X1510,所以lgN=lg48+lgl5i°=lg2i6+10(lg3+lg5)

=161g2+101g3+10(l-lg2)=61g2+101g3+10-6x0.3010+10x0.4771+10=16.577,所以

N=1016.577e(1016,]017).故选D.

0<tz<4

11.C设。为“。为在区间［0,4］内”，则O要满足的条件为＜设事件A为"/（I）20成立”，

0<Z?<4

0<tz<4,

即a—25+120,所以A要满足的条件为q0W6V4,作出各自可行域即可得到P（A）=S^j=|•故

a—2b+1^0,

选C.

h

12.D由已知得，直线AB的方程为y=+设椭圆的焦距为2。(。＞0),由题意设点石(c,%),则

be郁

C

yQ=—+b,即史+/?],所以k0E=------=b（"+）,又kAB=—＜,所以

aa）caca4

设直线A5的斜率与直线05的斜率之比值为加则

又4＜e＜l,所以!＜加＜工.故选D.

452

13.1因为。/不共线，所以可设。力为一组基向量，因为(xa+A)〃(a+,所以mXeR,使得

x—2,

xa+b=^｛d+yb^,所以x〃+Z?=+,所以＜,消去;l,得孙=1.

gy,

22iii

14.--^=1由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y=—x与直线/:x—2y—5=0平行，所以2=—,

205aa2

又双曲线的一个焦点在直线/上，所以c=5,又。2=片+/,解得a=2下力=乖，所以该双曲线的方

22

程为三一彳=1

-1['

15.-33设数列｛4｝的公比为幽＞0）,则鸟+幺+%=21,即120+―+1=21,化简得

q-q1矿q）

2

3q2_4q—4=0,解得q=2（—§舍去），所以=。30T=12x2"-3=3X2“T.于是

囚=3,q+4=4,%+仇=12,所以等差数列｛4+》,｝的公差为（-+,[一（/+：）=4,所以

3—1

4+2=4+4（〃-1）=4上2=4〃一q=4〃一3X2"T,所以

4+伪+4+&+々=4(l+2+3+4+5)-3(l+2+22+23+24)=60-3(25-l)=-33.

16.—设球。的半径为凡ZkABC外接圆的半径为r,在ZXABC中，AC=AB=1,ZBAC=12Q°,

则由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosZBAC=l+l-2xlxlx3,即5。=仆，所

以2r=———=2,所以r=l.因为球。的表面积为36〃，则4〃笈=36〃，解得火=3,所以球心。

sinZBAC

到平面ABC的距离d=《R2—户=2后,即三棱锥O-ABC的高为2及，又

Swc=-ABACsinZBAC=且，所以三棱锥O-ABC的体积VO_ABC=』x"x2jl=在

-1+2+3+4+5c—1450+1300+1200+1100+950

所以

222222

^(x.-x)=(1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)+(5-3)=10

三(七-x)(x->)=(l-3)x(1450-1200)+(2-3)x(1300-1200)+(3-3)x(1200-1200)+(4-3)

x(1100-1200)+(5-3)x(950-1200)=-1200,

za，一元）

i=l

所以6=9—靛=1200+120x3=1560,

所以不戴头盔人数y与年份序号x之间的线性回归方程为y=-120%+1560.

(2)当x=6时，y=—120x6+1560=840,即预测该路口2024年不戴头盔的人数为840.

18.解：(1)因为2点腔后^=(>+/+々)0+/-々)，所以2代6心［113=3+/)2-〃2=匕2+。2一〃2+2Jc,

由余弦定理得2j§a?sinB=2Z?ccosA+2Z?c,所以百asinB=bcosA+b,

由正弦定理得yfisinAsinB=sinBcosA+sinB,又3£(0,»),

所以sinB>0,所以J^sinA=cosA+l,

所以石sinA-cosA=2sin(A-WJ=1,所以sin(A-WJ=].

因为OvAv/r,所以一工<A一生<一",所以A—工=工，所以A二工.

666663

(2)因为sinC=4sinB,由正弦定理得c=4b,

由余弦定理得。2=〃+o2—2"COSA,所以13=/+(4b)2—2b-4bcos。，解得6=1,所以c=4b=4,

所以AABC的面积S=-bcsinA=-xlx4sin-=百.

223

19.(1)证明：如图，取的中点“，连接

因为AB=AC=2VJ,NBAC=90°,所以3C=4,AM=2,

因为N4A3=NAAC,A5=AC,所以AA研也△AG41，所以4§=4。=4，

所以AM，5cAM=26.

在△&AM中，AA=4，AM=2G,AM=2,所以=入“2+,

所以4〃，川0，

又AM，3cBeAM=M,BC,AMu平面ABC,

所以AM，平面ABC,

又4〃u平面\BC,所以平面AXBC±平面ABC.

(2)解：由⑴可知4"，平面ABC,〃一匕BC-AMJ

所以四棱锥A一道。的体积VVGBK=%BCT,B,G一JTBC=2Q_ABC

=2X-X-X272X2V2X2A/3

AB

20.解：(1)因为点P(2,l)是抛物线。：必=2处(p〉0)上的一点，

所以22=2°,解得p=2,所以。的方程为/=4y,

所以C的焦点为（0,1）.显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=fcv+LA（x，x）,B（X2，%），

y区+L得_4丘—4=0,所以％+%2=4左,%]犬2=—4,

由＜

%=4y

22

所以1,

所以OA,OB=/为2+X%=+]=—3-

近一1

-I-1.。

（2）设显然直线Q4的斜率存在，且斜率为三二=工一='一

x1-2xx-24

所以直线出的方程为y-l=g^（x-2）,

所以丁〃=1+审•(-2)=1

2

同理可得，ON；

14

所以OM・ON=x=1,所以玉%2=4，即X2=—，①

2)石

22

x2再

显然直线/的斜率存在，且斜率为"*=工一生=生士迤

所以直线/的方程为%)，②

4、

将①式代入②式，整理得玉+―x—4y—4=0,

所以直线/恒过定点

21.(1)解：若4=2,贝!J/(%)=%2—2、一41nx,

4_2^2-2X-4_2(X+1)(X-2)

所以ra）=乙x-乙=------------=---------------

XXX

令/，（％）=0,解得x=2,当0vxv2时，/（x）＜0,当x＞2时，/（x）＞0,所以/（元）在（0,2）上

单调递减，在（2,长。）上单调递增,

又*2)=22—2x2—41n2=Tln2,所以〃力的极小值为一^2,无极大值.

(2)证明：由题意知g(x)=/(%)+2〃2一21+1!121=%2一^^一为1nx+1n2%+为2

x2+In2%

=26z2-(x+lnx)6z+

2

x2+ln2x

令/(4)=/一(％+111¥)〃+

2

2,o

e々、(%+lnx、(x+lnxAx2+ln2xx+lnx+(x-lnx)>(x-lnx)

+4—4

2

1Y—1

令Q(x)=x—lnx,则。'(x)=l——=----,令Q'(x)v。，解得。vxvl,令。'(％)>。，解得%>1,

所以。(%)在(0,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增，

所以。(%)皿=。⑴=1，

所以P(a)2；,所以g(x)22x；=g

x=2+3coscif,

22.解：(1)因为曲线C的参数方程为〈