上海市长宁区2024年中考二模数学试卷(含答案)

上海市长宁区2024年中考二模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一,单选题

1.下列二次根式中，最简二次根式的是（）

B，7O5C.75D.750

2.关于一元二次方程必+x—3=0根的情况，正确的是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有且只有一个实数根D.没有实数根

3.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）

2

A.y=2x~9B.y=——C.y=-2xD.y-2x+l

x

4.为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位:

元）分别是3000,4000,5000,6000,50000,那么能够较好的反映他们收入平均水

平的是（）

A.中位数B.标准差C.平均数D.众数

5.如图，已知点A、B、C、。都在i。上，OB±AC,BC=CD,下列说法错误的

是（）

A.AB=BCB.ZAOD=3ZBOCC.AC=2CE>D.OC1BD

6.下列命题是假命题的是（）

A.对边之和相等的平行四边形是菱形

B.一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形

C.一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形

D.被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形

二、填空题

7.计算：2-2=.

8.截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法

表示为.

9.函数/Xx）=上的定义域为.

x-2

10.方程G万=3的解是.

11.已知方程F+匕二=2,如果设y那么原方程转化为关于y的整式方

x-13xx-1

程为..

12.如果二次函数丁=/+根的图象向右平移3个单位后经过原点，那么机的值为

13.在1,2,3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的

概率是.

14.为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一

天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一

天步行来学校的共有名.

15.如图，在△ABC中，点。在边A3上，且6£>=2AD,点E是AC的中点，连接

DE,设向量84=a,BC=b,如果用。、b表示DE,那么。E=.

16.如图，正方形ABCD中，点E在对角线5。上，点P在边CD上（点口不与点C

重合），且NE4F=45。，那么空的值为.

BE

17.在RtZVlBC中，ZACB=90°,AC>BC,将△回(?绕着点C旋转，点A、点3的

对应点分别是点。、点E,如果点A在OE的延长线上，且CE7/AB,那么归的余

弦值为.

18.我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆.如图，在△ABC中，

AB=AC=10,BC=16,如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4

个，那么它的半径厂的取值范围是_____.

A

BC

三、解答题

工L1L

19.计算：8?+|—31-------尸+(兀一J^)°.

2+V3

20.解方程组：卜2一①2c.

[x2-5xy+6y2=0®

21.如图，⑦。经过平行四边形ABCD的顶点3,C,D,点。在边AD上，49=3,

OD=5.

Q：

(1)求平行四边形ABCD的面积；

(2)求N£>的正弦值.

22.春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动

商店优惠方式

甲所购商品按原价打八折

乙所购商品按原价每满300元减80元

设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为X元，请根据条件回答下列问题：

(1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于X的函数解

析式(不必写出函数定义域)；

(2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优

惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；

(3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店

的优惠活动更合算，求x的取值范围.

23.已知：在梯形ABCD中，AD//BC,点E在边AD上(点E不与点

A、。重合)，点R在边上，且ZABD=NEBF=NC.

(2)连接EF,与30交于点G,如果BG=EG,求证：四边形3EDF为等腰梯形.

24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=af+2x+c与x轴分另U交于点A、B(点

A在点3左侧)，与y轴交于点C(0,6),其对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点R是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段

交于点。、E.

①当CF=£方时，求的长；

②联结AC,如果△ACE的面积是△CDE面积的3倍，求点R的坐标.

3

25.已知在△ABC中，CA=CB,AB=6,cosNC4B=1,点。为边A5上一点，以

(1)当4)=4时，判断点3与。的位置关系，并说明理由；

(2)过点C作CELOD,交。。延长线于点E.以点E为圆心，EC为半径作E,延

长CE,交E于点C.

①如图1,如果O与-E的公共弦恰好经过线段E0的中点，求CD的长；

②连接AC'、0C,如果47与△BOC的一条边平行，求退的半径长.

参考答案

1.答案：C

解析：A、H，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意；

B、而工,被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意；

2

C、书,是最简二次根式；故C选项符合题意；

D.屈=5母,被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意；

故选C.

2.答案：B

解析：A=12-4X(-3)=13>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

3.答案：D

解析：A.y=2x2,二次项系数为2,故函数开口向上，且对称轴为％=0,当了<0时,

函数值y随自变量x的值增大而减小；当%>0时，函数值y随自变量x的值增大而增

大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意；

=比例系数为-2<0,当x<0时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当

%>0时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大

而增大，故不符合题意；

C.y=-2x,一次项系数为-2<0,函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合

题意；

D.y=2x+1,一次项系数为2>0,函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题

思；

故选：D.

4.答案：A

解析：标准差是反映数据的波动程度，因此不能很好的反映，而五人的月工资有的工

资很高，有的很低，故平均数不具有代表性，众数是数据出现次数最多的数，也不能

很好的反映，

而中位数将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间位置的数，具有代

表性，

所以能够较好的反映他们收入平均水平.

故选：A.

5.答案：C

解析：OBLAC,BC=CD,

:.AB=BC,故A正确；CD=BC,

AD=3BC,AC=BD,

:.ZAOD=3ZBOC,故B正确；AC=BD,

:.AC=BD<BC+CD=2CD,故C错误；

CD=BC,

：.OC±BD,故D正确；

故选：C.

6.答案：D

解析：A、平行四边形的对边相等，且对边之和相等，

二平行四边形邻边相等，

二平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；

B、如图，EF是一ABCD的A5边上的高，GH是边上的高，且EF=GH,

由面积公式得，ABEF^ADGH,

AB=AD,

.•「ABC。是菱形，

即：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；

C、如图，AC,3。分别是四边形ABCD的两条对角线，交于点。，其中AC平分

ABAD,/BCD,5。平分ZADC,

ABACADAC,ZBCA^ZDCA,AC=AC,

.-.△ABC^AADC,

:.AB=AD,BC=DC,

:.AC±BD,

:.ZAOD=NCOD=90°,

又ZADO=/CDO,DO=DO,

:.Z\ADO^Z\CDO,

AD=CD>

；.AD=AB=CD=CB,

二四边形ABC。是菱形，

即：一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命

题，不符合题意；

D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条

对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；

故选：D.

7.答案：-

4

解析：2-2=[g]=；

故答案为：

4

8.答案：4.5xlO4

解析：45000=4.5x1()4.

故答案为：4.5xlO4.

9.答案：xw2

解析：由题意得，x-2w0,

:,X^29

故答案为：xw2.

10.答案：x=10

解析：由题意得：x—l=32,解得：x=10,

故答案为10.

11.答案：丁―2y+g=0

解析：方程4+匕£=2,如果设y=F，，

x2-l3xx2-l

1c

yH---=2,

3y

即V_2y+；=0,

故答案为：/-2y+1=0.

12.答案:-9

解析：二次函数y=f+根的图象向右平移3个单位后的解析式为y=(x-3『+根,

二次函数y=必+根的图象向右平移3个单位后经过原点，

(0—3)2+根=0,

解得m=-9.

故答案为：-9.

13.答案：-

2

解析：画树状图如下：

开始

十位数123

ZX/X

个位数231312

121321233132

由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中这个两位数是素数的结果数有3

个，

,这个两位数是素数的概率为a=

故答案为：

2

14.答案：90

解析：由表可知，六年级学生步行的人数占比为1-26%-12%-32%=30%,

则300x30%=90（人），

即六年级300名学生中步行的人数是90,

故答案为：90.

15.答案：-b--a

26

解析：在△ABC中，BA=a,BC=b,则AC=8C—=

8D=2AD,点E是AC的中点，

:.DA=-BA=-a,AE=-AC=-b--a,

33222

-一一-1.11.11.

DE—DA+AE——a—b—a二一b—a,

32226

故答案为：-b--a.

26

16.答案：V2

解析：四边形ABCD是正方形，

ZABE=ABAC=ZACF=45°,AB=BC,ZABC=90°,

AC=VAB2+BC2=血AB,

NEAF=45。,

ZBAE+ZEACZCAE+ZEAC=45°,

:.ZBAE=ZCAE,

：.Z\ABE^Z\ACF,

CF_AC_插AB£

"BE~AB~AB-'

故答案为：

17.答案：—

2

解析：由旋转得=AC=CD,ZECD=ZACB=90°,

B

D

:.ZD=ACAD,

CEUAB,

:.ZACE^ZBAC,

:.NCAE=ZACE=ZD,

.•.在△ACD中，由内角和定理得：ZCAE+ZACE+90°+ZD=180°,

:.3ZCAE=90°,

:.ZCAE=3Q°,

cosNCAE———•,

2

故答案为：立.

2

18.答案：r=3.2或4＜厂＜2旧

解析：设点。为△ABC的重心，

AB=AC=10,BC=16,AZ)为中线，

:.AD±BC,ABAD=ACAD,

:.BD=CD=^BC=8,AZ)=7AC2-CD2=V102-82=6,

连接80,CO则0D=2,AD=4,

BO=y/Blf+ODr=A/82+22=2而,

过点。作OELAC,。F，钙于点石，F,

:.OE=OF

SA/\/.\fB>(r-=-2BC-AD=-2xl6x6=48,/\n()i,=-2xBCxOD=-x2l6x2=16,

S^AOB=S”=-(48-16)=16=-ACXOE,

ZXACZDZAACZC2、，2

OE=3.2,

.•.△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径厂的取值范围是

r=3.2^4<r<2V17,

故答案为：厂=3.2或4<r<2比7.

19.答案：4

工L1L

解析：8*3+1>J3—31--------尸+(兀-J^)°

2+6

=2+3-6-2+百+1

=4.

9

x=—

20.答案：尸6或<2

[y=33

J=-

x-y=3®

解析：＜

12—5盯+6)/=0②:

由方程②得(x-2y)(x-3y)=0,

.•.x—2y=0或x—3y=0,即x—2y=0③或x—3y=0④,

x-y=3「x—y=3

二原方程组为或《

x-2y=0x-3y=0

9

x=一

%—6_「2

解得或〈

b=33

y=—

2

9

x=—

x二6一2

答：方程组的解为或

[y=33

21.答案：(1)24

.3710

(2)sm£n)=------

10

解析：(1)过点。作OE，5c于点E,连结OC,

则

2

四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD=AO+OD^8,

:.CE=-BC=4,

2

在Rt2XOEC中，OC=OD=5,

OE=7OC2-CE2=旧-A2=3,

平行四边形ABCD的面积=5CxOE=8x3=24；

(2)过点C作CELAD于点R

四边形ABC。是平行四边形，

:AD//BC,

ECLCF,

二四边形QECE是矩形，

.-.OF=CE=4,CF=OE=3,

:.DF=OD-OF=1,

：.CD=y]CF2+DF2=V32+l2=A/10，

CF3A/10

sinD=----=

CD10

22.答案：（1）y=0.8x

（2）x的值是400元

（3）当600Wx<800或600Wx<800时，选择乙商店更合算

解析：（1）所购商品在甲商店按原价打八折销售，

y—0.8%；

（2）设这种商品的原价是x元，

则Q8x=x—80,

解得％=400,

答：x的值是400元；

（3）这种商品的原价为x元，

则选择甲商店所需付款为：0.8%元，

选择乙商店的付款，当0<%<300时，所需付款为：x元，

当300Wx<600时，所需付款为：（%-80）元，

当600Wx<900时，所需付款为：（x-160）元，

①当0<x<300时，x>0.8x,此时无论x为何值，都是选择甲商店更合算，不符合题

局、，

②当300Wx<600时，x-80<0.8x,解得300Wx<400,

即：当300Wx<400时，选择乙商店更合算，

③当600Wx<900时，x-160<0.8x,解得600Wx<800,

即：当600«x<800时，选择乙商店更合算，

综上：当600Wx<800或600Wx<800时，选择乙商店更合算.

23.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）证明：ZABD=/EBF=NC,

ZABD-ZEBD=ZEBF-ZEBD,

:.ZABE=ZDBF,

AD/IBC,BDA.AD,

：.ZCBD=ZBDA,

:.ZA=ZBDF,

.,.△ABEs公BDF,

AB_BE

,茄一加；

(2)根据题意如下图：

BG=EG,

:.ZGEB=ZGBE,

ZABD=ZEBF=ZC,ZBED=ZA+ZABE,

ZA=NBDF,ZABE=ZDBF,

:.ZFDB=ZDBE,

：.DF//BE,

：.四边形班D尸为梯形，

:.ZBED=NEBF,

:.DE=BF,

二四边形BED尸为等腰梯形.

24.答案：(1)y=-1x2+2x+6

(2)①5

②—4,6)

=_A

解析：⑴由题意得：=?—2a，

c=6

解得："二一5,

c-6

则抛物线的表达式为：y=-ix2+2x+6；

(2)对于y=-g%2+2%+6,当y=0时，0=-g%2+2%+6,

解得，石=—2,冗2=6，

.•.点A(—2,0),5(6,0),

设点尸［加，一;加之+2m+6^,

设直线AF的解析式为y=Ax+Z?,

由点4-2,0)、尸的坐标得，

-2左+8=0

<12'

km+b=——m+2m+6

I2

解得，卜.m一叱

b=6—m

二.直线AF的表达式为：y=--^(m-6)%+6-m=--^(m-6)(x+2),

当x=0时，y=6-m,

.,.点。(0,6-加),

①当CF=D/时，则点尸在CQ的中垂线上，

贝ij%；%—yF,即g(6—机+6)=一；加2+2m+6,

解得：加=0(舍去)或5,

贝CD=6—(6—m)=m=5；

②过点。作。“〃工轴，作励/，。加，过点尸作轴，则MD〃N4,EMHFN,

设直线的解析式为y=px+q,

把3(6,0),C(0,6)代入得，厂P+"=°,

q=6

解得，I，"I

q=6

厂.直线BC的表达式为：y=-x+6,

联立上式和AF的表达式得：-x+6=-g（巾-6）（x+2）,

解得：x=2m=DM，

S-m

由尸［加，一g/n?+2根+6］得，AN—m+2,

△ACF的面积是面积的3倍，

则DE:AF=1:3

贝I]MD//NA,EM//FN,

：.ZEDM=ZFAN,ZDEM=ZAFN,

：.Z\EMD^/\FNA,

DEDM1

"AF~AN

10m1

:.DM=-AN,即=机+2）,

38-m3、7

解得：加=-4（舍去）或4,

当机=4时，一工根2+2根+6=6

2

；.点尸（4,6）.

25.答案：（1）点3在。内，见详解

（2）①2

49

②CE=^d

397

解析：（1）过点。作OHLAC,垂足为点H,

c

OH过圆心，OHLAD,

:.AH=DH=-AD=2,

2

OHLAC,

:.ZAHO=90°,

AH3

.•.在RtZVLOT/中，cosA-——=-,

AO5

-7

AB=6,

Q

:.OB=~,

3

.-.OB<AO,

.•.点3在。。内.

(2)过点C作。/LAB,垂足为M,

AC^BC,CMLAB,

:.AM=-AB=3,

2

在RtZVLCM中，cosZCAM=-=-

AC5

AC=5,

OA=OD,

:.ZCAB=ZODA,

又ZODA=ZCDE,

:.ZCAB=ZCDE,

3

cosNCAB=—，

5

DF3

.•.在RtzXCDE中，ZCED=90°,cosNCDE=——=-,

DC5

设DE=3k