2023届广东省高考数学二模试卷含解析

2023高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角。的终边经过点（3,-4）,则sina+」一=

cosa

137

A.一B.—

515

13

C.卫D.——

2015

2,已知函数/")的图象如图所示，则/（力可以为（）

rx|A,

x3e_e-?e

A./«=--B./(%)=------C.f（x）=一一xD.f（x}=—

3xxxx

3.设复数二满足|z|=签+1,;在复平面内对应的点的坐标为（X,y）则（）

A.x2=2y+1B.y2=2x4-1

C.x2=2v-lD.y2=2x-\

2-3//、

4.---=()

1+Z

15.15.-15.n15.

A.---1B.----1

22222222

口公兀,1111

5c.已知片1《+.亍+“一，如图是求开的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入

A.i=--------B.i=-------

2n-li+2

c.D.3

2n+\i+2

6.已知过点尸(1/)且与曲线y=V相切的直线的条数有().

A.0B.1C.2D.3

7.已知函数/（x）=J5sin5+3cosS（G〉°），对任意的/，々，当/（x）"/）=一12时，|不一天/=卷，

则下列判断正确的是（）

A.7（£|=1B.函数小）在你段上递增

7万

C.函数/口）的一条对称轴是x=——D.函数/（力的一个对称中心是0

6

1-i

8.设2=+2i,则|z|=

T7T

A.0B.C.1D.y/2

2

9.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

甲乙

69

6278

620878

0926

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

以上说法正确的是（）

A.®@B.®®C.②④D.①®@

10.已知直线/：Gx+y+2=0与圆。：d-丁=4交于A,6两点，与/平行的直线（与圆。交于A1,N两点,

且与©QMN的面积相等，给出下列直线①JIr+y-2j5=O,②后+），-2=0,③%-0），+2=0,

④^^+^+2百=0.其中满足条件的所有直线人的编号有（）

A.®®B.®®C.②③D.①®@

11.已知命题〃：任意xN4,都有咋2北2；命题染a>h,则有">从.则下列命题为真命题的是（）

A.PMB.〃A（->q）C.（f）八（~iq）D.（-.p）vq

12.已知集合“={（工》）|工+'<4/、ywN*},则集合M的非空子集个数是（）

A.2B.3C.7D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为.

14.已知向量〃，人满足I。1=2,|〃1=3,且已知向量b的夹角为60°,3-c）«b-c）=0,则|c|的最小值是一.

15.（5分）已知椭圆方程为Y+±=i,过其下焦点尸作斜率存在的直线/与椭圆交于A3两点，。为坐标原点,

2

则^AOB面积的取值范围是.

16.设集合A={L3},B={X|X2-2X-3＜0},则ACB=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Gcfx=cos^

17.(12分)在直角坐标系/中，己知直线/的直角坐标方程为)，=组工，曲线G的参数方程为J=.(。为

3，一+sin

71

参数)，以直角坐标系原点为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕=4sin(0+§).

(I)求曲线G和直线/的极坐标方程；

(2)已知直线/与曲线a、G相交于异于极点的点A3,若A3的极径分别为8,22,求M-同的值・

18.(12分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路44,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山

隧道为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路44和山区边界的直线型公路/,以44所在

的直线分别为工轴，)'轴，建立平面直角坐标系尤Oy，如图所示，山区边界曲线为。：＞=吧(工＞0),设公路/与

x

曲线C相切于点尸，尸的横坐标为L

(1)当f为何值时，公路/的长度最短?求出最短长度；

(2)当公路/的长度最短时，设公路/交X轴，y轴分别为A,B两点,并测得四边形A8WN中，4BAN.,

2

ZMBA=-;rt4N=10底千米，8M=15"千米，求应开凿的隧道MN的长度.

19.(12分)已知函数f(x)=a¥-lnx-l(a£R).

(1)讨论Ax)的单调性并指出相应单调区间；

(2)若8(工)=弓/一工一1一7a),设内,々(为〈9)是函数g(x)的两个极值点，若。之5,且且(内)一8(占)之女恒

成立，求实数A的取值范围.

20.（12分）已知首项为2的数列｛«,｝满足〃用=幽土丝.

n+\

（1）证明：数列］蒙｝是等差数列.

（2）令么=〃〃+〃，求数列｛"｝的前〃项和5.

21.（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7

大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的

篇数，得到下表：

爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计

篇数100645599917318500

含“山，，字的

5148216948304271

篇数

含“帘”字的

2120073538

篇数

含“花”字的

606141732283160

篇数

（D根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类

别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

（2）已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，贝某字”为“某类别”的关键字；

②若“某字，被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的K?的观测值越大，排名就越靠前；

设“山,，”帘，冰花,，和“爱情婚姻”对应的六观测值分别为*k2r3已知％产0-516,e*31.962,请完成下面列联

表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.

属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计

含“花”字的篇数

不含“花”的篇数

总计

2

2n(ad-bc)

附：K=---------------------------------------,其中”=a+b+c+d•

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P[K>k)0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

22.（10分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶

降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关.如

果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的

所有可能值，并估计y大于零的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

因为角a的终边经过点（3,-4），所以厂=^32+（-4）2=5，则sina=_*cosa=|,

113

即sina+--------=—.故选O.

cosa15

2.A

【解析】

根据图象可知，函数/(幻为奇函数，以及函数在(0,+8)上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出.

【详解】

首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，/0)=为偶函数，不符合题意，排除B：

x

其次，在剩下的3个选项对其在(0,也)上的零点个数进行判断，f(x)=J在(0,+8)上无零点，不符合题意，排除

X

2

D；然后，对剩下的2个选项，进行单调性判断,/(%)=--工在(0,y)上单调递减，不符合题意，排除C.

X

故选：A.

【点睛】

本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题.

3.B

【解析】

根据共朝复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.

【详解】

z在复平面为对应的点的坐标为则2=工+.,

z=X—yi*

,伸哈1，

112

代入可得Jd+9=x+l，

解得d=2x+l.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共枕复数的概念，属于基础题.

4.B

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

_2-3/_(2-3z)(l-Z)_-1-5/_15.

1+/=(1+/)(1-/)=2

故选B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

5.C

【解析】

由于l-g+g-T+g一中正项与负项交替出现，根据S=s+i可排除选项A、B；执行第一次循环：S=O+1=1,

①若图中空白框中填入鼻/二则，=-2,②若图中空白框中填入，=空，则，=-2,此时〃>20不成立，〃=2；

执行第二次循环：由①②均可得S=l-2，③若图中空白框中填入仁"，则'=!，④若图中空白框中填入

32«+15i+2

31I13

则i=',此时〃>20不成立，〃=3；执行第三次循环：由③可得S=l-：+g,符合题意，由④可得S=l-2+1,

不符合题意，所以图中空白框中应填入，•=£叱，故选C.

2/1+1

6.C

【解析】

设切点为（xo，y0）,则yo=x°3,由于直线1经过点（1,1）,可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点X。处

的切线斜率，建立关于X。的方程，从而可求方程.

【详解】

若直线与曲线切于点（x0,y0）（x0工0）,则k=比二|*|=x；+X。+1,

xo-1xo-1

・

又♦,y=3x2,・・・y[x=Xo=3Xo2,，2XO2—XO-1=0,解得X0=1,x0=-\

・・・过点P（U）与曲线C:y=x'相切的直线方程为3x-y—2=。或3x—4y+l=0,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何

意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

7.D

【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期丁，从而得到公，即可求出解析式，然后利

用函数的性质即可判断.

【详解】

/(x)=73sin69X+3cos69%=25/3sinIcox+—I,

3

„‘.7t7t

V-<sin(ox+—<1,即-2百424sinCDX+—<273,

I3J3

有且仅有-26x26=-12满足条件;

_II7t71_

又N-WL=5,则5=»=>T=*

「.69=半=2,...函数/(力=26sin|2x+：,

用

对于A,f2^sin^=3,故A错误;

对于B,由一个+2%乃工21+24个+2%乃(女£2),

解得一苗+Z；”xwC+版■(ZwZ),故B错误；

1212''

对于C,当x=g时,

故C错误;

6

对于D,由/yj=2>/3sinf-^-4-yj=0,故D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.

8.C

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共匏复数，化简复数?，然后求解复数的模.

详解：z=T1T-iT+2i=哥高+2i

—i+2i=i，

则目=1,故选C.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共

趣复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式

相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

9.A

【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数，即可判断①②③，再根据数据集中程度判断④.

【详解】

由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为四卢=81,乙同学成绩的中位数为咨透=87.5，故①错误；

^p=-x(72+76+80+82+86+90)=81,-x(69+78+87+88+92+96)=85，贝！1弓<耳，故②错误,③正确；

66

显然甲同学的成绩更集中，即波动性更小,所以方差更小，故④正确，

故选:A

【点睛】

本题考查由茎叶图分析数据特征，考查由茎叶图求中位数、平均数.

10.D

【解析】

求出圆心O到直线/的距离为：d=\=^rt得出NAQ8=120°,根据条件得出。到直线4的距离1或⑺时满足

条件，即可得出答案.

【详解】

解：由已知可得：圆。：Y+9=4的圆心为(0,0),半径为2,

则圆心O到直线/的距离为：d=l=L,

2

:.ZAO^=120°,

而〃％,二。48与&QMN的面积相等，

:.乙WON=120。或60°,

即。到直线乙的距离#=1或G时满足条件，

根据点到直线距离可知，①②④满足条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.

11.B

【解析】

先分别判断命题〃M真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】

〃为真命题；命题夕是假命题，比如当仇

或4=1,b=—2时，则">从不成立.

则〃八夕，(一>〃)△(―,(「〃)vq均为假.

故选:B

【点睛】

本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

12.C

【解析】

先确定集合M中元素，可得非空子集个数.

【详解】

由题意"={。」),(1,2),(2,1)},共3个元素，其子集个数为23=8,非空子集有7个.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有〃个元素的集合其子集个数为2”,非空子集有2〃-1个.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

利用流程图，逐次进行运算，直到退出循环，得到输出值.

【详解】

第一次：x=4,J=1L

第二次：x=5,y=32,

第三次：x=l,j=14,此时14>10xl+3,输出x,故输出x的值为1・

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，“还原现场”是求解这类问题的良方，侧重考查逻辑推理的核心素养.

idV19-V7

14.

2

【解析】

求|c|的最小值可以转化为求以A8为直径的圆到点0的最小距离，由此即可得到本题答案.

【详解】

如图所示，设。A===

由题，得NAO8=殳,|a4|=2,|O8|=3,CA=a—d,C8=Z?—36g=2x3xcos60'=3,

3

又（d-e）•仍—e）=o,所以出_1.而，则点c在以AS为直径的圆上，

取48的中点为M,则OM='（04+08）,

2

设以4〃为直径的圆与线段OM的交点为E,则I。I的最小值是|0E\,

因为|OM|=（OA+OB）?」J+204.OB+面=-x74+2x34-9=—,

V4222

7.AB=yj0A2+0B2-20A-OB-cos60°=J+9—2x2x3xg=8,

所以|c|的最小值是|OE|=OM—ME=OM—LA8=@9I^.

22

故答案为：叵比

2

【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现

了数形结合的数学思想.

15.（0当

【解析】

由题意，0=也由=1,则,="？-从=1，得/（0,-1）.由题意可设/的方程为丫=丘一1,4（内，凹）,8（私必），

联立方程组［：：丘］1。八，消去），得（公+2）/一2丘-1=0,4>0恒成立，^=-^-9x,+^=-^-,贝IJ

2x"+y-2=0k+2k+2

191=皿+%2)[(M+七)2--回=2£，J),点J。,。)到直线/的距离为"=[*，则

S/T曲人与宇二台工，又即吉2尸高=2,则

，公+1

x/2y/2____]

当且仅当巧【=国场'即左=0时取等号・故AAO8面积的取值范围是

VP+1

(0,与.

16.{1}

【解析】

先解不等式/一2x-3v0,再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题,因为丁一21一3<(),解得-1<%<3,即8={划-1<工<3},

则AflS则,

故答案为:{1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)p=2sing,^=—(pe/?).(2),[一岗=3

6

【解析】

(D先将曲线G的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角,

即可得极坐标方程.

(2)将直线/的极坐标方程代入曲线G、G可得自,0，进而代入可得|以一自|的值.

【详解】

x=cose

(i)曲线c的参数方程为一।.八(。为参数)，

y=l+sin6/

消去。得f+产一2尸0,

把V+y2=22,丁二。5皿。代入得「2一2$而。=0,

从而得G的极坐标方程为夕=2sin夕，

・・•直线/的直角坐标方程为)，二立九，其倾斜角为

36

・•・直线1的极坐标方程为B=「pwR).

(2)将。=£代入曲线G，。2的极坐标方程分别得到

6

c.九'1人/兀乃\J

月=2sin—=1,p?=4si•n(—+y)=4,

则|4-同=3.

【点睛】

本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.

18.(1)当，=10时，公路/的长度最短为20、5千米；(2)5回(千米).

【解析】

(1)设切点2的坐标为，，产)a>o),利用导数的几何意义求出切线/的方程为5-半二-竿a-。，根据两

点间距离得出/+写竺/>0,构造函数gQ)=4/+写”/>0,利用导数求出单调性，从而得出极值

和最值，即可得出结果；

(2)在A/$N中，由余弦定理得出8N=10痣，利用正弦定理———二—~^~—,求出NA8N二§,最后

sin乙BANsinZABN6

根据勾股定理即可求出MN的长度.

【详解】

(1)由题可知，设点P的坐标为，，半卜>。)，

一ICO,八、

又)'=一一^">°)，

x

则直线/的方程为》一竿=一竿(x-f),

(?ooA

由此得直线/与坐标轴交点为：A(2r,0),B0,—,

i40000八%人、40000八

则miI\AlxBD\=J4r+—^—,t>0,故f(t)=J4r+——,r>0,

40000八、o2x40000

设g(f)=4/+7>0,E则g(,f/)=8,-----——

令g")=0,解得，=10.

当f£(0,10)时，g'Q)<0,g(/)是减函数；

当fe(10,转)时，g'a)>0,g(。是增函数.

所以当，二10时，函数g(f)有极小值,也是最小值,

所以g")min=800，此时/(f)n，n=20V2.

故当1=10时，公路/的长度最短，最短长度为20夜千米.

(2)在AABN中,AN=\G叵,4BAN=%,

所以BN?=AB?+AN?-2AB•ANcos/BAN,

所以8N=10C，

根据正弦定理

BNAN

sinNBAN—sinZABN'

10V610>/2

sin军411/ABN»

3

sin/ABN=1，

2

/.ZABN=-

6t

又/MBA=ZTT,

3

7T

所以4MBN=/MBA—4ABN=-.

2

在△M5N中，BM=155BN=1距,

由勾股定理可得MN?=BM?+BN?,

即MN，=(15-)2+(0面

解得，MN=5y[5\(千米).

【点睛】

本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的

实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.

(15-

19.(1)答案见解析(2)-co,--2In2

I8.

【解析】

ax—1

(1)先对函数进行求导得/(幻=-----,对。分成和。>0两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；

x

(2)对函数g(x)求导得g'(x)=f一("+D"+1,从而有「+/+1，内工2=1，9■，三个方程中利用

xX2

得到将不等式g(%)-g(毛)NZ的左边转化成关于玉的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值,

从而得到攵的取值范围.

【详解】

解：(1)由/(x)=ov—lnx-1,xe(0,+oo),

r,,，,、1ax-\

则f(%)=口—=----,

XX

当a40时，Jl!l/(x)<o,故/(为在(0,内)上单调递减；

当4>0时，令/'(x)=0=>x='，

a

所以/*)在(0,})上单调递减，在(J,+8)上单调递增.

综上所述：当时，/(幻在(0,+8)上单调递减;

当〃>0时，/(幻在I。,'］上单调递减，在+8］上单调递增.

\

(2)Vg(x)=lnx+—x~9~(a+\)x,

,1x2-(£Z+1)X+1

g'(x)=—+x—(a+l)=------------,

XX

由g'(x)=o得f一(。+1)%+1=0,

：.x2=a+\tx］x7=1,；・w=一

1、5

x+——>—

x21

解得

・・・若・・・0<Xj<—2

X]

L2

A^(x1)-^(x2)=ln-+-(x1-X2)-(«+l)(^-x>)=21nx1

1。<丹

则“(%)=2_%_二=一卜J)<o,

XXX

(r

・•・〃(])在0,-上单调递减；

当王=:时，〃(幻min=〃(；)=?-21n2.

2\^)«

：.k<-^-2\n2f即所求A的取值范围为—8,胃—21n2.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过

换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.

20.(1)JM?析；(2)S=2M+,+-w2+-n-2

zi22

【解析】

(1)由原式可得+=2〃%+2"+:等式两端同时除以2向，可得到铝净=*+1,即可证明结论；

(2)由(D可求得螯的表达式,进而可求得凡，a的表达式，然后求出｛2｝的前〃项和S”即可.

【详解】

(1)证明:因为q*=幽土竺:所以(〃+1以讨=2〃%+2e,

〃+1

所以号©=磬+1，从而唳1-要=】，因为4=2,所以3=1,

故数列置是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可知黄一1+(〃一1)一〃，则%-2”,因为&=4+%所以4-2"+〃,

则=4+A+么+...+=(2+1)+(2~+2)+(23+3)+…+(2"+〃)

232x12n+1

=(2+2+2+-+2")+(1+2+3+-+AZ)=(-J+=2+1/?+1n-2.

1-2222

【点睛】

本题考查了等差数列的证明，考查了等差数列及等比数列的前〃项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档

题.

21.(1)该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为

694

盥;属于“其他”类别的概率约为白(2)填表见解析；选择“花％”帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”,

271271

“帘”

【解析】

(1)根据统计图表算出频率，