直线的方程（九大题型）（讲义）-2024年高考数学复习（新教材新高考）（解析版）

第

目录

目录

第1页共36页

考点要求考题统计考情分析

(1)理解直线的倾斜角和斜高考对直线方程的考查比较稳定，考查

率的概念，掌握过两点的直线内容、频率、题型难度均变化不大，备考

斜率的计算公式.时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直

2008年江苏卷第9题，5分

(2)根据确定直线位置的几线方程的求法等,特别要重视直线方程

2006年上海卷第11题，4分

何要素，掌握直线方程的几种的求法.

形式(点斜式、两点式及一般

式).

直线的方程

―夯基•必备基础知识梳理

知识点一：直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线,与X轴相交，则以X轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称为直线/的倾

斜角，通常用表示

(1)若直线与不轴平行(或重合)，则倾斜角为0

(2)倾斜角的取值范围。£[0,冗)

第2页共36页

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tana

（1）当&=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相

联系）

（4）川越大，直线越陡峭

（5）倾斜角a与斜率后的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大；

当左＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随左的增大而增大；

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，Aq,%）,8（尤2，%）则％=之一—

x2-xi

U）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若者=々，则直线钻的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线.

两直线AB,AC的斜率相等-A、B、C三点共线；反过来，AB、C三点共线，则直线AB,AC的斜

率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

知识点二：直线的方程

1、直线的截距

若直线/与坐标轴分别交于（a,0）,（0,》），则称a,6分别为直线/的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为

与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-yi=k(x-xl)不含垂直于X轴的直线

第3页共36页

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—y二X一—

两点式不含直线%=%（%w/）和直线y=x（xW%）

%—y々一玉

截距式­=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+B20)

3、求曲多1（或直线）方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两

个点，或者-一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利

用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

4、线段中点坐标公式

X]+x

X=2

若点《，£的坐标分别为（内，%）,（々，%）且线段48的中点”的坐标为（X，V），则・2此

%+丫2

y=

2

公式为线段耳£的中点坐标公式.

5、两直线的夹角公式

若直线y=%x+仿与直线＞=区苫+%的夹角为。，则tana=?,，.

1+kxk2

一提升•必考题型归纳

题型一：倾斜角与斜率的计算

例1.（2023-H川眉山・仁寿一中校考模拟预测）已知。是直线x-2y+3=0的倾斜角,则0sin"j+sina

cos2a

的值为（）

3^5

B,正

3~2Q

【答案】B

【解析】法-：由题意可知12

tana*（。为锐角），，sma=不，cosa=石,

^^2sina+—+sin

G2.23I4Jsina+cosa+sina454石

cos2a=cosa-sma----------------------------_________________x——___

5cos2acosla^533

第4页共36页

法二：由题意可知tana=；,（。为锐角）cosa=2sina,sina=',

&sina+f+sina../r

I4J_sina+cosa+sma_4sma_4_4A/5.

cos2acos2a-sin2a3sin2a3sina3

故选：B.

例2.（2023・重庆・重庆南开中学校考模拟预测）己知直线/的一个方向向量为P=0ing,cos5],则直线/的

倾斜角为（）

712兀-4兀

A.—C.—D.——

6-I33

【答案】A

兀

cos—

【解析】由题意可得：直线/的斜率上=-^=¥=tang,即直线/的倾斜角为

sin5366

3

故选：A

例3.（2023•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过A（-l,3）,3（6,-6）两点的直线的倾斜

角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】经过4-1,3）,8（点-四两点的直线的斜率为亘吟=-&,

-1-V3

因为直线的倾斜角大于等于0°小于180。，

故经过A（-l,3）,B（石，-也）两点的直线的倾斜角是120°，

故选：D

变式1.（2023.全国.高二专题练习）如图，若直线4,附4的斜率分别为《，％，&，则（）

A.kx<k3<k2B.k3<kx<k2

C.kx<k2<k3D.k3<k2<kY

【答案】A

第5页共36页

【解析】解析设直线4,44的倾斜角分别为名，%，%，

则由图知。°<%<。2V90°<%<180°,

所以tan4<0,tana2>tan6Z3>0,

即匕<0,左2〉左3〉0.

故选：A

变式2.（2023・全国•高二专题练习）直线y=-J，x+3的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】C

【解析】直线y=-括x+3的倾斜角为。，因为直线的斜率为左=tana=-6，

（F?a180,所以e=120。.

故选：C.

变式3.（2023・全国•高二课堂例题）过两点A（4,y）,8（2,-3）的直线的倾斜角是135。，则y等于（）

A.1B.5C.—1D.—5

【答案】D

【解析】由斜率公式得发加=匕匕口1=上土2,且直线的倾斜角是135。，

AB4-22

所以勉=tanl35°=-l,即苫1=一1,解得尸一5.

故选：D.

变式4.（2023•高二课时练习）直线/经过4（2,1）,3。,根2）（〃zeR）两点，那么直线/的斜率的取值范围为

（）.

A.（0,1]B.（-oo,l]C.（-2,1]D.[1,+co）

【答案】B

【解析】k,=^-=l-m2<l,故那么直线/的斜率的取值范围为（《』.

故选：B

变式5.（2023•全国•高三专题练习）函数f（x）=gd-x2的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的

取值范围为（）

。声3兀

A.B.丁

4

371、兀3兀

C.D.2'T

【答案】B

第6页共36页

【解析】设切线的倾斜角为a,则ae[O㈤，•••/'（力=三—2x=（x-l）2—G-L,

一兀）「3兀）

二・切线的斜率左=tana2—1,贝！0,~IJ兀卜

故选：B

【解题方法总结】

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式左=&工，根据该公式求出经过两点

占一尤2

的直线斜率，当而=%，丁产%时，直线的斜率不存在，倾斜角为90,求斜率可用左=1211a（1片90）,其中a

为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割.牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率

要谨记，存在与否要讨论”.这可通过画正切函数在上的图像来认识.

题型二：三点共线问题

例4.（2023・全国•高二专题练习）已知三点（2,-3）,（4,3）（5,£|在同一条直线上，则实数上的值为（）

A.2B.4C.8D.12

【答案】D

幺-3

【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得3-（-3）5-5,解得左=12.

4-2-5-4

故答案为：D.

例5.（2023•辽宁营口•高二校考阶段练习）若三点4（0,8）,8（-4,0）,C（〃z,Y）共线，则实数加的值是（）

A.6B.-2C.-6D.2

【答案】C

【解析】因为三点4（0,8）,B（-4,0）,C（私T）共线,

所以=^BC，

8-00-(-4)

可得:

0-(-4)-A-m

4

即'—=2,解得切=_6；

-4-m

故选：C

例6.（2023•重庆渝中•高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点M（2,2）,N（。，0）,Q（0,b）,（加0）

共线，则1+g的值为（）

ab

1

A.1B.-1C.D.

~22

【答案】C

第7页共36页

2-02-b

【解析】因为三点/（2,2）,N（a,0）,Q（0,b）,（HwO）共线，所以—=--,即必=2（a+6）,

2-a2-0

所以H—=y,故选C.

ab-

变式6.（2023・全国•高三专题练习）若平面内三点A（l,~a）,BQ,油，c（3,炉）共线，则°=（）

A.1±立或。B.2丁'或o

C.全@D.竺^或0

22

【答案】A

2,3.

【解析】由题意知AAB=fc4C,即^—-=-~~-,即。（层一2a—1）=0,解得a=。或a=l土@.

2-13-1

故选：A.

【解题方法总结】

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上

任意不同的两点所确定的斜率相等.这正是利用斜率可证三点共线的原因.

题型三：过定点的直线与线段相交问题

例7.（2023・吉林・高三校考期末）已知点4（1,3）,3（-2,-1）.若直线/:尸左（尸2）+1与线段钻相交,则上的取

值范围是（）

A.k>—B.左<—2

2

C.kN—或k<—2D.—2«%«—

22

【答案】D

【解析】由已知直线/恒过定点P（2,l）,

所以一2（女

2

第8页共36页

故选:D.

例8.（2023・高三课时练习）己知点“（2,-3）和N（-3,-2）,直线/：y=6-4+1与线段肱V相交，则实数。的

取值范围是（）

3、3

A.a>—^a<-^B.-4<a<—

44

33

C.-<a<4D.——<a<4

44

【答案】A

【解析】直线/方程可整理为：y=a（x-l）+L则直线/恒过定点P（U）,

3

直线/与线段脑V相交，，直线/的斜率或〃之二.

故选：A.

例9.（2023.全国•高三专题练习）已知4（2,0）,3（0,2）,若直线y=左（》+2）与线段有公共点，则K的

取值范围是（）

A.[-1,1]B.[1,+应

C.[0,1]D.（YO,-1]U[1,+8）

【答案】C

【解析】由于直线'=左"+2）的斜率为尢，且经过定点（-2,0）,设此定点为M.

0-02-0

而直线的斜率为%=二。=0,直线MB的斜率为而=0_（_2）=1，

要使直线丁=左（彳+2）与线段A3有公共点，只需OVkMl.

故选：C.

变式7.（2023•全国•高三专题练习）己知点A（-2,3）,8（3,2）,若直线ox+y+2=0与线段AB没有交点，则。

的取值范围是（）

第9页共36页

【答案】B

【解析】直线依+>+2=0过定点C（0,-2）,且心c=-g&c=g，

54

由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率-a满足一|<一”<g,

变式8.（2023•全国•高三专题练习）已知直线x-砂+2“=0和以V（3,5）,N（4,-2）为端点的线段相交，则实

数。的取值范围是（）

A.a<lB.-l<a<l

C.或aWlD.aW-l或aWl或a=0

【答案】C

【解析】直线尤-冲+2a=0,即x+a（2—y）=0,其恒过定点A（0,2）,

根据题意，作图如下:

第10页共36页

4

数形结合可知，当直线过点N时，其斜率取得最小值三=-1,

当直线过点加时，其斜率取得最大值1,

故解得ae（Yo,T]u[l,+oo）.

故选：C.

变式9.（2023・全国•高三专题练习）已知A（2,-3）,3（-3,-2）,直线/过点尸（1,1）且与线段A3相交，则直

线/的斜率左的取值范围是（）

33

A.左WY或女2—B.-4<k<-

44

143

C.k<——或左2一D.——<k<4

434

【答案】A

k

【解析】如图，pB=^T^=l>由题可知应满足左2：；同理矶=由题可知应满足ZWT

1—1—J]441-2

变式10.（2023•全国•高三对口高考）已知点尸（-1,1）,。（2,2）,若直线/“+〃”+根=0与加的延长线（有方

向）相交，则优的取值范围为.

【答案】"

第11页共36页

直线%+阳+%=0过点

当机=0时，直线化为x=0,一定与PQ相交，所以机w0,

当〃z力。时，k,=~-,考虑直线/的两个极限位置.

m

①/经过Q,即直线乙，则左=2-（T）J；

②/与直线PQ平行，即直线4,则人=即。=1

空3

因为直线/与PQ的延长线相交，

113?（2、

所以:〈一上解得一3。〃＜一彳，所以加e-3,-工.

3m23V）

故答案为：（一3,-

变式11.（2023•全国•高三专题练习）己知A（T,2）,B（2,4）,点P（x,y）是线段AB上的动点，则上的取值范围

X

是.

【答案】（-8,-2]⑵长）

【解析】如图所示：

因为A(-1,2),B(2,4),

4-0

所以％OA=—：-7.=-2，kOB

_1_U2^0

y-o=y

x—0x

因为点P（x,y）是线段AB上的动点,

所以kOP=-G（—00,-2][2,+00）.

故答案为：（-0）,-2]IJ[2,+a））

变式12.（2023・全国•高三专题练习）尸（刘y）在线段上运动，已知A（2,4）,B（5,-2）,则詈的取值范

围是.

第12页共36页

【答案】

【解析】目表示线段43上的点与C（—1,—1）连线的斜率,

,4-（-1）5,_-2-（-1）1

H为公一2_（_1）一§次比一5-（-1）-6

所以由图可知空■的取值范围是

x+163

故答案为：

63

【解题方法总结】

一般地，若已知A（Xi，yJ,8（无2，%），尸（尤o，%），过P点作垂直于x轴的直线厂，过P点的任一直线/的斜

率为左，则当/'与线段4?不相交时，左夹在心与脸之间；当/'与线段A?相交时，左在脸与％的两边.

题型四：直线的方程

例10.（2023・全国•高三专题练习）过点（1,2）且方向向量为（-1,2）的直线的方程为（）

A.2x+y—4=0B.x+y—3=0

C.x-2y+3=0D.x-2y+3=0

【答案】A

2

【解析】由题意可知直线的斜率左=彳=-2,由点斜式方程得，

所求直线的方程为y-2=—2（x-l）,即2元+y-4=0.

故选：A

例11.（2023•全国•高三专题练习）过点4（1,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【解析】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y=4x,即4x7=0；

第13页共36页

当直线不过原点时，设直线方程为2+上=1（。/0）,

a-a

因为直线过点A（l,4）,所以=

aa

解得。=-3,此时直线方程为x-y+3=o.

故选：D.

解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.

设直线方程为

4

贝|J%=O时，y=4-k,y=。时，x=l一一,

k

4

由题意知1—：+4—左=0,

k

角军得女=4或攵=1,即直线方程为y=4x或%—丁+3=0.

故选：D.

例12.（2023・吉林白山・抚松县第一中学校考模拟预测）对方程二=2表示的图形，下列叙述中正确的是

x+3

（）

A.斜率为2的一条直线

B.斜率为一;的一条直线

C.斜率为2的一条直线，且除去点（-3,6）

D.斜率为的一条直线，且除去点（-3,6）

【答案】C

【解析】方程二=2成立的条件知**-3,

当…3时，方程变形为y-6=2（x+3）,由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点（-3,6）,

故选:C

变式13.（2023•全国•高三专题练习）经过点P（-l,0）且倾斜角为60。的直线的方程是（）

A.\f3x-y-l=0B.-y+6=0

C.y/3x-y-y/3=OD.x-底+1=0

【答案】B

【解析】由倾斜角为60。知，直线的斜率k=JL

因此，其直线方程为了一0=血（x+1）,即区-y+退=0

故选：B

第14页共36页

变式14.（2023•全国•高三专题练习）方程y=ax+J（a>0）表示的直线可能是（）

【解析】当a>0时，直线了=依+工的斜率。>0,该直线在》轴上的截距1>0,

aa

故选：A.

变式15.（2023・全国•高三专题练习）已知过定点直线辰-丫+4-左=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距

之和最小，则直线的方程为（）

A.x-ly-H=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【解析】直线质一》+4-后=0可变为％（x—1）—y+4=0,所以过定点尸（1,4）,又因为直线质-y+4-左=0在两

坐标轴上的截距都是正值，可知左<0,

令x=0,y=4d,所以直线与〉轴的交点为4（0,4-左），

令y=0,无=1],所以直线与x轴的交点为

所以4_左+1_：=5+（—左）+[_彳）25+2,（—左）=5+4=9,

4

当且仅当-左=-：即左=—2时取等，所以此时直线为：2x+y-6=0.

k

故选：C.

变式16.（2023•全国•高三专题练习）若直线/的方程丫=-£尤-£中，ab>0,ac<0,则此直线必不经过

bb

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由丁=—■~x~~»ab>0,ac<Q,

bb

第15页共36页

知直线斜率左=-f<0,在y轴上截距为-f>0,

bb

所以此直线必不经过第三象限.

故选：C

变式17.(2023•全国•高三专题练习)已知直线/的倾斜角为60,且/在y轴上的截距为-1,则直线/的方程

为()

A.y=--x-lB.y=-^-x+1

'33

C.y=y/3x-1D.y=^J3x+1

【答案】C

【解析】因为直线/的倾斜角为60,所以直线/的斜率上=tan60=g,

又直线I在>轴上的截距为-1,所以直线/的方程为y=后-1；

故选：C

【解题方法总结】

要重点掌握直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，

尤其是点斜式、斜截式和一般式.

题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题

例13.(2023・全国•高三专题练习)若一条直线经过点4(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形面积为1,则

此直线的方程为.

【答案】x+2y-2=0或2尤+y+2=0

【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，

所以设直线方程为>看=1,因为该直线过点人(-2,2),

所以有—^+2=2a—2b=ab,

ab

因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1,

所以有=lnab=2,或次?=-2,

当QZ?=2时，2a—2Z?=2=>a=b+l=>Z?(/?+l)=2nb=1,或Z?=—2,

当Z?=l时，〃=2,止匕时方程为：—+-^--1x+2y—2=0,

当b=—2时，a=—l9止匕时方程为：--+=l=>2x+y+2=0,

-1-2

当彷=—2时，2a-2b=-2na=b—Tnb(b-l)=-2nb£0,

故答案为：x+2y-2=0或2x+y+2=0

第16页共36页

例14.（2023•全国•高三专题练习）已知直线/过点M（2,l）,且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于4

B两点，。为原点，当△AOB面积最小时，直线/的方程为.

【答案】x+2y-4=0

【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然太存在,

设/:>-1=左（1-2）（其中左<0）求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小

值时的直线方程.法一设直线/：9=1,且a>0,b>0,因为直线I过点M（2,l）,所以2+：=1,则1=2+。

ababab

之2、—，故。人之8,

Vab

故SAAOB的最小值为3X"=1X8=4,

当且仅当2=1=；时取等号，此时〃=4,b=2,

abz

故直线/：^+1=1,即x+2y—4=0.

法二设直线/的方程为y—1=左（工一2）（左VO）,2--,0j,8（0,1—2左）,

SAAOB=y(1—2©=[4+(-4左)+>^-(4+4)=4,

当且仅当一4A=—：,即4=—；时，等号成立，

kz

故直线/的方程为y—1=一；（尤一2）,即无+2y—4=0.

故答案为：x+2y-4=0.

例15.（2023•全国•高三专题练习）已知直线/的方程为：（2+m）x+（l—2m）》+（4—3/篦）=0.

（1）求证：不论用为何值，直线必过定点M；

（2）过点M引直线4,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求4的方程.

【解析】（1）证明：,•直线/的方程为：（2+〃z）x+（l—2〃z）y+（4—3〃2）=0

.•.提参整理可得：（x-2y-3）〃z+2x+y+4=0.

x-2y-3=0x=-l

令c/c，可得

2x+y+4=0y=_2'

二不论加为何值，直线必过定点

（2）设直线4的方程为y=M无+1）—2（左<0）.

令y=0,贝！|x=幺」,

-k

令x=0,.贝ijy=左一2,

第17页共36页

•••直线4与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积

4

当且仅当此=即人=-2时，三角形面积最小.

此时4的方程为2x+y+4=0.

变式18.(2023・全国•高三专题练习)直线/过点加(1,2),且分别与轴正半轴交于A、B两点，。为原点.

(1)当A03面积最小时，求直线/的方程；

(2)求|。4|+2"用的最小值及此时直线I的方程.

【解析】(1)设直线/：±+告=1,且“>0力>。

ab

•••直线过点(1,2)

.•.工+1=1贝|]1=工+222户，

abab\ab

.•.〃b28当且仅当上二:即i=2/=4时取等号

ab

所以sAB。的最小值为gab=4,

直线/："1即2x+y-4=0.

24

17

(2)由(1)—+不=1,

ab

：.\OA\+2\OB\=a+2.b=(a+2b)(-+^]=5+—+—>9,

yab)ab

当且仅当竺=学即〃=匕=3时取等号，

ab

：.此时直线l：x+y-3=O,

故|。4|+2]。目的最小值为9,此时直线/的方程x+y-3=0.

变式19.(2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，直线/过定点尸(3,2),且与x轴的正半轴交

于点M,与丁轴的正半轴交于点N.

(1)当取得最小值时，求直线/的方程；

(2)求△MON面积的最小值.

【解析】(1)设直线/的倾斜角为万(6为锐角)，

第18页共36页

则PM•PN=---------=-----,

cos。sin。sin20

jr

所以当。二时，PM.RV取得最小值，

4

此时直线/的方程为y=f+5；

2Q

(2)矩形。尸产E面积为3x2=6,S~PEM=-----==tan。，

tan92

92

s丛MON=6+—tan6^+--->12,

2tan”

2

当且仅当tan6=§时取等号，

所以△MON面积的最小值为12.

变式20.(2023・北京怀柔•高二北京市怀柔区第一中学校考期中)己知直线,经过点尸(2,2),O为坐标原点.

(1)若直线/过点。(-2,0),求直线/的方程，并求直线,与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)如果直线/在两坐标轴上的截距之和为8,求直线/的方程.

,2-011z、

【解析】(1)由题意得：直线/斜率r=2一(一2)=万,•,•直线/方程为：y=](x+2)，即x2y+2=0；

当x=0时，y=l；当y=。时，x=-2；

.­./与两坐标轴围成的三角形面积S=1x2xl=l.

(2)由题意知：直线/在两坐标轴的截距不为0,可设/：土+；=1,

ab

第19页共36页

〃+Z?=8（.

[a=4xv

则22,,解得：,，，.-./：7+4=l,即无+y-4=0.

b

变式21.（2023・高二单元测试）已知直线/过点尸（4,3）,与x轴正半轴交于点A、与y轴正半轴交于点A

（1）求Q4B面积最小时直线/的方程（其中。为坐标原点）；

（2）求|巳4卜归回的最小值及取得最小值时/的直线方程.

【解析】（1）设/的方程为二+；=1（。＞。,6＞。），由直线过点依4,3）知*+：=1,即3a+仞="，由基本不

abab

等式得3a+4b=＞2,12〃Z?，即而248,当且仅当Q=8,b=6时等号成立，

又知A（a,O）,B（O,b）,所以S.A8=gab224M=8,6=6时等号成立，

此时/直线的方程为?+±=l,

OO

即；。钻面积最小时直线/的方程为3x+4y-24=0.

（2）易知直线/的斜率存在，所以可设直线/的方程为＞-3=左（尸4）（左＜0）,所以得4（4-:0）,8（0,3-必），

所以1PAi=J.+9,|PB\=J16+163,得1PAi•|尸81=+可（16+16/）=n^+^+2＞\2y[l+2=24,

等号成立时有得％=-1,

此时直线的方程为＞-3=-（％-4）,即x+y-7=0.

故1PAi•|尸31的最小值是24,取最小值时直线I的方程是x+y-7=0.

变式22.（2023•江西吉安・高二吉安一中校考阶段练习）过点"（4,3）的动直线/交x轴的正半轴于A点，交》

轴正半轴于B点.

（I）求Aa4B（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线/的方程.

（II）设尸是AQ4B的面积S取得最小值时AOLB的内切圆上的动点，求"=|尸+|上4「+|尸3「的取值范围.

【解析】（I）设/斜率为％,则/:＞一3=%"-4）得4（4—10），8（0,3—48（k＜0）.

k

11319

S=-\OA\-\OB\^-(4--)(3-4k)=l2+-16(-/:)+-->24.

22k2|_(-k)_

93

由16(—女)=—=k=—,••Smin=24,/:3x+4y—24=0.

k4

(II)AQ4B面积S最小时，A(8,0),3(0,6),|AB|=10,

直角AQ4B内切圆半径r=g(a+b-c)=2,圆心为。(2,2),

内切圆方程为（L2）2+（y—2＞=4

第20页共36页

设尸(尤,y),贝！|了2+9一4彳一4'+4=0,其中0<x44.

222222

[/=|P(?|+|PA|+|PB|=X+y2+(X-8)2+y2+x+(_y-6)=

3/+3户16工-12、+100=88-41(0。<4),当》=0时，Uma=88,当x=4时,

U『2

的范围是［72,88］

变式23.（2023•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知直线/：kx-y+l+2k=G.

（1）求/经过的定点坐标尸；

（2）若直线/交x轴负半轴于点A,交V轴正半轴于点B.

①,AO3的面积为S,求S的最小值和此时直线/的方程；

②当%+（尸2取最小值时，求直线/的方程.

2

【角窣析】(1)由正一y+1+2左=。可得：%(x+2)+l—y=。，

fx+2=0[x=—2/、

由11_>=0可得]y=l,所以/经过的定点坐标P(—2,1)；

(2)直线/：辰-y+1+2左=。，

令％=0可得y=l+2左；令y=0,可得％=—

k

所以3(0,1+2上)

r_i_2^<0,

由，k可得：k>0,

l+2k>0

①缗03的面积5=(^^|1+2耳=12+2](1+2左)=；[4+：+4左

>—4+2队•(4+2x2)=4,

2

当且仅当［=4上即4=1时等号成立，S的最小值为4,

k2

此时直线/的方程为：，-y+2=0即x-2y+4=0；

TT12

②设直线/的倾斜角为。，则0<。<大，可得尸A=^—,PB=——

2sinacosa

LLt、f1cc11sina+cosa

所以+=——+-----=----------，

2smacosasmcrcoscr