2024届浙江省嘉兴市高三年级下册二模数学试题及答案

2024年高三教学测试

数学试题卷

（2024.4）

本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答

题纸规定的位置.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题

卷上的作答一律无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A/={x|x<0},N={x|-2<x<4},则（QM）cN=（）

A.{x\x>-2}B.{x|-2<x<0}C.{xlx<4}D.{x|0„x<4}

2.己知函数/（x）=cos（5+*）3>0）是奇函数，则。的值可以是（）

nJt

A.OB.-C.-D.n

42

3.设zwC,则“z+5=0”是“z是纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若正数xj满足/-2k+2=0,则x+V的最小值是（）

A.JC.2应D.2

2

5.如医，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面

圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）

A.巫B走C#D.巫

422

6.已知圆。：(x—5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),5(0,8),若圆C上存在点尸使得尸/_L%，则"的

取值范围为()

A.(0,5]B,[5,15]C.[10,15]D.[15,+e)

7.6位学生在游乐场游玩4三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若N项目必

须有倡数人游玩，则不同的游玩方式有（）

A.180种B.210种C.240种D.360种

8.已知定义在（0,十句上的函数“X）满足矿（x）=（l-x）/（x）,且/⑴>0,则（）

A・吗卜/⑴“（2）

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组数据1,3,5,7,9,其中位数为。，平均数为元，极差为6,方差为/.现从中删去某一个数，得

到一组新数据，其中位数为/,平均数为7,极差为Z/,方差为s'?,则下列说法中正确的是（）

A.若删去3,则。

B.若删去9,则亍<?

C.无论删去哪个数，均有

口.若亍=，，则s2<s'2

10.已知角。的顶点与原点重合，它的始边与X轴的非负半轴重合，终边过点力定

义：77（。）=邛.对于函数/（x）=77（x）,则（）

a-b

A.函数/（不）的图象关于点对称

147

/\

B.函数/（x）在区间日,上单调递增

C将函数/（X）的图象向左平移:个单位长度后得到一个偶函数的图象

D.方程/（x）=-在区间［0,兀］上有两个不同的实数解

II.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反

之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线

Q:/=2px（p>0）的准线为/,O为坐标原点，在％轴上方有两束平行于x轴的入射光线4和4,分别经

£1上的点力（玉,凹）和点5（々,外）反射后，再经。上相应的点C和点Z）反射，最后沿直线4和乙射出，

且4与4之间的距离等于4与乙之间的距离•则下列说法中正确的是（）

A.若直线。与准线/相交于点P，则4。尸三点共线

B.若直线。与准线/相交于点尸，则尸产平分/APC

CJM=p2

7

D.若直线4的方程为y=2p,则cos/N初二不

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量25d=（-1,0）&二（0,一1）忑是非零向量，且/与aE的夹角相等，则己的坐标

可以为.（只需写出一个符合要求的答案）

13.设数列｛凡｝的前〃项和为S”，等比数列也｝的前〃项和为北，若4=-1也=他，

=n（w+l）7；,则氏=.

14.在四面体力5CO中，BC=2,ZABC=ZBCD=90°,且44与CO所成的角为60,.若四面体

力3CD的体积为4百，则它的外接球半径的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在"BC中,内角4CC所对的边分别是。也已知2cos-3cos24=3.

(1)求cos4的值;

(2)若△XBC为锐角三角形，2b=3。，求sinC的值.

16.(15分)

在如图所示的几何体中，四边形48co为平行四边形，PA上平面4BCD,PA〃QD,

BC=2AB=2PA=2,ZABC=60°.

(1)证明：平面尸COJ_平面尸4C；

(2)若PQ=20,求平面「。。与平面。。。夹角的余弦值.

17.(15分)

春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫

部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外

没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感

的人其检测结果有95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染).

(1)估计该市流感感染率是多少？

(2)根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；

(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.(精确到0.001)

2_u(ad-be)?

附，(〃+b)(c+d)(a+c)0+d)

P（K?>k）0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.（17分）

已知双曲线C:£一＜=1(。＞0,6＞0)的虚轴长为4,浙近线方程为y=±2x.

矿b-

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)过右焦点尸的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于点48,点〃是线段的中点，过点尸且

与/垂直的直线/'交直线于点尸，点。满足用=方+而，求四边形口。3面积的最小值.

19.（17分）

已知集合4=q<a2<一<4,4£N｝,定义：当加=E时，把集合4中所有的数从小到大排

、，=i,

列成数列也(，)〃｝,数列也(，)“｝的前〃项和为S。)”.例如：£=2时,

,223

/)(2)1=2°+2=3)(2)2=20+2=5,/>(2)3=2'+2=6,&(2)4=20+2=9,-,

S(2%=6(2%+仅2%+伙2卜+b(2)4=23.

(1)写出b(2)s，b(2)6,并求5(2)小

(2)判断88是否为数列抄(3).｝中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

(3)若2024是数列抄⑺“｝中的某一项6(%)%，求及S%)为的值.

2024年高三教学测试

数学参考答案

（2024.4）

一、单选题（40分）

1-8DCBADBCD

/（X）-矿（x）/（X）-矿（X）X

第8题：由矿（x）=（l-x）/（x）变形得:=X,从而有

/（力西'

所以市6H所以/（x）=言，则/，（3竺*1=学卫

又/（1）＞0,所以/（X）在（0,1）上单调递增，在（1,+。）单调递减，所以/（g）＜/（l），

3

e24

/（2）＜/⑴，又/1-/（2）=一!_____L=_>又e3>2.73a19.7>16,所以e=>4,所以

2km公22ke2

/⑵</出</3,故选D.

二、多选题（18分）

9.ACD10.AB11.ACD

第11题：对于选项A,因为直线4c经过焦点，设直线4C:x=W+],与抛物线/=2px联立得

y2-^pty-p2=0,必+%=2P八必为=-p2,

由题意得尸一，必），%（/，％），％”二一^^，

k=2j2P=2%

A0必—七P,所以晒二"0，

即4。、户三点共线，A正确:

yi

对于选项B，因为NAPF=NCPF/CFP=NCPF,

所以N4PF=/CFP,所以力夕〃CF,与力尸和CF相交于彳点矛盾，B错误；

22

对于选项C4与12距离等于4与。距离，则必一%二%一乂=+2=p2.二及

必y2必为

所以M%=P'C正确;

/（2p,2p）,喉，9,尸你0）球=俘2P｝丽=（一学与

对于选项D,

~FA~FB7

2如同悯"三'。正确.故选ACD

三、填空题（15分）

12l=(x,x),xw0均可13.2〃14.3

第14题：依题意，可将四面体力8C。补形为如图所示的直三棱柱—/CO,因为48与。。所成的

角为60°，所以NOCF=6（T或120°，,^CD=x,CF=yf外接球半径记为R,

外接球的球心如图点O.

VABCD=1*\CDF=1x2xflAysinbO3]=^-xy=4>/3,得xy=24,

3J12)o

DF="。尸,

在用AOCOZ中,R2=OC2=OO^+CO^

2sinZDCF)3

所以当/OCR=60'时，外接球的半径会更小.

在/中，由余弦定理得。尸2=/+/一孙，

所以&2=1+（/+歹2-盯）21+=9,所以=3

四、解答题（77分）

15.（13分）

解析：（1）2cos^-3（2cos2/l-l）=3,即3cos%-cos4=0，解得cos/二1或cos/=0；

（2）解法一：由正弦定理得26=3，,25亩8=35亩。,25亩（4+。）=35出。，

[2

2sirvlcosC+2sinCcos^=3sinC,因为cos/l=一,所以sinJ=----;

33

?.COSC+—sinC=3sinC»解得tanC=生叵，所以sinC=^2.

3379

,222i

解法二：由余弦定理得cos/="+c--6r=■!■,因为2b=3c,所以

2bc3

9c2,•>Lr—

4a1222,又cos/=1,所以siM=22,所以sinC=2sinJ=>2.

-....；-----3Q?g

3c2=—3c=—9a,c=-3aJJ”

16.（15分）

解析：（1）解法一：vBC=2AB,ABC=60\

ABLAC,:.CD!AC,

'：P4_L底面ABCD,PALCD,

:.CD1平面PAC;;CDu平面PCD,

..・平面尸CO_L平面尸ZC.

解法二：•/BC=2AB/ABC=60°,/.AB1AC.

如图建立空间直角坐标系，P(0,0,1),4(0,0,0),

C（0,5/3,0）,£>（-1,73,0）,则苏=（0,0,—1）,

PC=（0,V3,-l）,CD=（-l,0,0）

设％=(x,y,z)是平面的法向量，则

«1-=0

雇正=0==>y=z=0,取4=（1,0,0）,

z=0

设第=(a,6,c)是平面PCQ的法向量，则

小CD=6

0,取%=（0,l,V3）,

________=>

名■PC=0

所以雇以=0,所以平面PCD_L平面尸/C.

(2)解法一：在直角梯形力。。尸中，解得。。=3,

过C,P作分别平行于4P,4C,连结0E,作

PF1QC交QC于F点,连结£F,

-AC1CD,AC1QD,;.4。J_平面CDQE,

•••PE//AC,:.PE1平面COQE,

•;PFLQC,；.EFLQC,

/.NPFE为平面PCQ与平面DCQ的夹角,

PE=0在aPC。中解得P/=一7一.

Vio

sin/PFE=—=胆ss/PFE=~^==—.

PF而VJT31

（2）解法二：在直角梯形力。。尸中，解得。。二3,

如图是立空间直角坐标系，尸（0,0』）,。倒,、瓦0）,

2（-l,V3,3）,Z）（-l,V3,0）,

平面DCQ的法向量为*=就=（0,、石,0）,

C0=（-1,O,3）,CP=（O,-V3,1）,

设平面P。。的法向量为〃2=（“2，》2/2），

，--—

2=°n心（3岛,电

C尸〃,=0'7

/—\_|瓦,"21_0_VJT

cos。=cos（n,,n/=।।।।=~j=—T=-..........>

\2/■同V3-V3131

即平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值为叵.

31

17.（15分）

220+X0

解析：（1）估计流感的感染率P=--------=0.3.

1000

（2）列联表：

流感情况

疫苗情况合计

患有流感不患有流感

打疫苗220580800

不打疫苗80120200

合计3007001000

n（ad-bc）21000（220x120-580x80）2-

根据列联表，计算K?-------------------------------------=------------------------------------a11.9A

（4+b）（c+d）（〃+c）e+d）800x200x300x700

因为11.9>10.828,所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.

（3）设事件力为“一次检测结果呈阳性”，事件8为“被检测者确实患有流感”，

由题意得尸（3）=0.3,/（3）=。7,/例5）=0.95,P（J|5）=0.01,

P（AB）=B）=0.3x0.95=0.285,

由全概率公式得P（力）=尸（8）•尸（N|8）+P（孙P（4|B）=0.3x0.95+0.7x0.01=0.292,

,.、P（AB}0,285

P（6|4）==——x97.6%，所以此人真的患有流感的概率是97.6%.

1IAI

18.（17分）

解析：（1）易知双曲线的标准方程为工2一二=1.

4

;不得

（2）设力（4，%）,8（%2，，2），〃（玉），%），48:工=叼+班，联立方程

（4/n2-l）/+8非my+16=0,A=320〃?-64（4W2-1）=64（/W2+1）,

V?

且为=丁-=一不1，％=叼。+后

4〃?2一1

由。,三点共线得£=£二4加①,

由PFJ,4B得女肝,Ks=T，即2~~=T②，

%75

由①②解得07m’的"

由互=方+而可知，四边形尸4。8是平行四边形，所以

_L_宜飞

dp-i

V1+/W2

\pQ\=胴+〃/•»「％1二ji+9・副+：=；!：+心，

8(/+1)_32(W2+1)2_32(苏+1)3

-^=y/\+m2

所以SpAQB

|4z;i2-1|y/5^4nr-1|V5y

令f=4/_i,加2=?,则，/

令八)二展则/，(,)=3(f29+5j”5)*0),

115

所以丁(，)在(0,10)上单调递减，(10,+8)上单调递增，所以/(f)mm=/(10)=宁,

所以6尸/%)*=亲乂¥5=6石，当且仅当『二10,即加=±*时取等号•

19.(17分)

解析：(1)因为〃？=2,此时/={2"i+2“"0W%<a2，aiM2£N},

332

Z>(2)5=2+2'=10,bQk=2+2=12,

,234

S(2)10=4(2°+2+24-2+2)=124.

fli

(2)当阳=3时，力={2“|+2/+2|0<a]<a2<a3,apa2,a3GN|,

・・・88=26+24+23,88是数列抄(3)“}中的项，

比它小的项分别有2例+2的+2%0Wq＜町＜的工5吗,。2，。3sMe:个,

有2勺+2g+26,0<为<。2«3,4，生£N,C：个，

有2，+24+2:0Vq«2闩EN,C；个，

所以比88小的项共有C；+C；+C；=29个，故88是数列抄⑶〃｝的第30项.

(3)v2024=210+29+28+27+