广东省东莞市某中学2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试卷

广东省东莞市光明中学2023-2024学年高二下学期期中考试

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列函数求导正确的是()

A.(1)_1B.(cosx)=sinxC.(0)=e~rD.

(2丁+巧'=6/+2%

2.如图,函数y=/(x)的图象在点尸(2,歹)处的切线是/，则/(2)+/'(2)=()

A.一？B.,2C.2D.1

3.卜2_2]的展开式中一的系数为()

A.80B.40C.10D--40

4.曲线f(x)=a+])ex在x=0处的切线方程为()

A.y=x+lB.y=X+2C.y=2x+2D.

5.2024年3月初，某运动队的5名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，则

理论上他们的排法有()

A.120种B.96种C.24种D.12种

试卷第11页，共33页

6.函数/(x)=lnx-x的单调增区间是（）

A.B.K1

00

C.[L+)D.性T

二、多选题

7.一个袋子有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，试验一：从中随机地有放

回摸出2个球，记取到红球的个数为乂，期望和方差分别为E（Xj,D（Xj；试验二：从

中随机地无放回摸出2个球，记取到红球的个数为甚，期望和方差分别为2（占）,0（工）；

则（）

A.E（X｝）=E（X2）B.£（%I）＞£（%2）C.D（Xi）＞D（X2）

D.D（Xl）＜D（X2）

三、单选题

x2-2x,x＜0x（/（x））-q/1（x）+a-l=O

8.己知函数,若关于的方程'”恰有四个不

同的实数根，则实数0的取值范围是（）

试卷第21页，共33页

四、多选题

9.在(2工_91的展开式中，下列命题正确的是()

A.二项式系数之和为64B.所有项系数之和为

一।1

C.常数项为60D.第3项的二项式系数最大

10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没

有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件&和4表示从甲箱中取出

的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件8表示从乙箱中取出的两球都是红

球，则()

311

A.尸(4)=gB.=-

o2

C。(可4)=济D.

P(A2\B)=-

n.若函数=以2+g—4)x的导函数/'(x)是偶函数，则下列说法正确的是

()

A./(%)的图象关于(o,o)中心对称

B./•(%)有3个不同的零点

C./(X)最小值为-2

3

D.对任意””马之0,都有/['演；/)«/'(")；/''(5)

试卷第31页，共33页

五、填空题

12.随机变量丫的分布列为

⑶(l+3x)(l-2x)s的展开式中『的系数为,

14.已知函数/(x)=3/_2hu+(a_l)x+3在区间(1,2)上有最小值，则整数。的一个取值

可以是一.

六、解答题

15.已知(2%-1)5=a$x5+&/+a/++qx+%.

(D求展开式第3项的二项式系数；

Q)求q+电+%+4+6的值;

⑶求q+为+%的值；

16.已知函数/(x)=e"(——6x+9)

(1)求函数/(X)的单调区间与极值；

(2)求函数/(x)在区间［0,4］上的最值.

17.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名

片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利

用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验,

试卷第41页，共33页

已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为々4，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击

12

中目标一次起火点被扑灭的概率为E，击中目标两次起火点被扑灭的概率为击中目标

三次起火点必定被扑灭.

(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；

(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

18.已知函数=-4x(qwR).

⑴若4=4,求函数在点0J0))处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性及极值；

⑶若"I任意再/241，尤］且工尸”2,都有/(七卜利呻-皿司成立，求实数

m的取值范围.

19.袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球,

定义/变换为：若摸出的球是白球，把函数/(“)图象上所有点的横坐标缩短到原来」•倍，

10

(纵坐标不变)；若摸出的是红球，将函数/(力图象上所有的点向下平移I个单位.函数

/(x)经过1次T变换后的函数记为工(外，经过2次T变换后的函数记为£(耳，…，经过

〃次T变换后的函数记为力(切(〃€N*)•现对函数/(x)=Igx进行连续的7变换.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求人(%)；

试卷第51页，共33页

(2)记x=^(l)，求随机变量X的分布列及数学期望.

试卷第61页，共33页

参考答案：

1.D

【分析】按导数公式及法则逐个求导对比即可.

【详解】由求导公式及法则可知：

对于选项A,所以选项A错误；

对于选项B,(cosx)'=-sinx,所以选项B错误；

对于选项C,(er)'=er(—x)'=-e',所以选项C错误；

对于选项D,(2丁+巧'=6/+2一所以选项D正确.

故选：D

2.D

【分析】根据已知求出切线方程，由导数的几何意义得/”(2)，由切线方程得/(2)，从而

可得结论.

【详解】由题可得函数的图象在点尸处的切线与％轴交于点(4,0)，与轴交于点

(0,4)，则切线/:x+y=4，BPy=-x+4-

所以，/⑵=2,八2)=-1，/(2)+/(2)=1-

故选：D.

3.B

【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定〃的值，代入即可求解.

【详解】由二项式卜展开式的通项公式为7；+LG(x2)j(_：)，=(_2)JC；x4%

答案第11页，共22页

令10-3r=4，可得r=2,

所以展开式中父的系数为(.2)2.C；=40-

故选：B.

4.D

【分析】根据导数的几何意义，即可求解.

【汗解】由函数/(x)=(x+l)e"，得/")=(工+2)F，

则/⑼…/(0)=2，

所以曲线在x=0处的切线方程为尸-1=2x，即y=2x+L

故选：D

5.B

【分析】利用特殊元素优先法，结合分步乘法计数原理即可得解.

【详解】因为5名队员站成一横排，甲不站最左端，

所以优先安排甲的位置，有4个位置可选，

再安排剩下的4名队员到剩下的4个位置中，有A：=24种排法，

由分步乘法计数原理可知，他们的排法有4x24=96种.

故选：B.

6.B

【分析】求导解不等式得单调增区间.

【详解】易知/(x)=Mx-4的定义域为(°，+功，且、1,(1-V2.X)(1+V2A-),

Jlx)=——2x=---------------------

XX

当，⑺少得00/L故函数的单调增区间是(0,也j

2

故选：B.

7.AC

答案第21页，共22页

【分析】根据条件得到乂~（2,|'|，由二项分布的均值和方差公式可求出E（X）O（X），

求出X2的可能取值，及其对应的概率，由方差和期望公式可求出E（X2）,O（XJ，分别比

较E（Xj，E（&）和。（X），£＞（乂）可得答案，

【详解】由题意可得乂~2,22、，

＜5）

则£(XJ=2XK24，O(XJ=2X：2XH=青12

55525

由题意乂可取0」,2,

则呐=。）唔玲

P（K）=詈吟

叱=2）啜J

所以£(X)=0x—+1x—+2x—=—

'271010105

1(44+—xf2--49

£>(%,)=—x0——

V2710V5+4510525

所以£（乂）=£（乂），D（X.）＞D（X2y

故选：AC.

8.D

【分析】先将原方程变形为/（力=1或/（x）=〃_l，然后分析/卜）的单调性，再对不同的

答案第31页，共22页

。进行分类讨论即可得到结果.

【详解】由于(/(")2-引力+”1=(/(力-。(/(力-。+1),故原方程等价于/(力=1或

/(x)=a-l

由于当xKO时，〃x)=/_2x=lH，故/(x)在(F,0］上单调递减■

而当”>0时，有/(力=等，故此时/，(%)=2(1：》),

从而当0<xvl时/，(x)>0，当x>l时/'(x)<0，所以/(x)在(0小上单调递增，在［1,+8)

上单调递减.

从而当"。时，有/(x)"(l)=2vl,而/(X)在(7°刈上单调递减，/卜五+1)=1,

e

所以外力=1有唯一的解工=_拉+「

若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数X满足/卜)=1或/(x)=q_l，

而/('=1只有一个解，所以方程/(x)=a—i至少有三个解•

假设4-1工0,则当XV。时/&)=/一2%=工"-2)>0之。-1，当x>0时

/(x)力>0加一1,所以/但="1至多有一个解，矛盾，所以“一1>°.

假设〃一1/，则当"1时有/(力"(1)=2«〃_1,

ee

从而=在(O'y)上至多有一个解,由/(X)在(-00,0］上单调递减知/(X)=4-1在

答案第41页，共22页

（YO,0］上至多有一个解,

所以="-l至多有两个解，矛盾，所以。一1<|.

27

综上，WO<a-l<-,即

ee

另一方面，当l<a<1+2即0<a-l<2时，设〃,

eea_\

由于/（一石—1,〃。）=0<"1,=

且/（〃）寸亭⑴=讳7⑴,岛外卜1

------F1-----

47-167-1

故/（力=。-1在卜6,0）,（0,1）,（1,〃）上各有一个解，从而至少有三个解.

而/（—&+1）=1，1*“一1（因为）,所以/（入）=1或/G）="T有四个解.

e

综上，”的取值范围是+即（1,等），D正确.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围

问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含

充分性和必要性两方面.

9.AC

【分析】对于A：根据二项式系数之和为标分析判断；对于B：令丫7，可得所有项系数

2x-1

之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解.；对于D：根据二项式系数的最值分析求

答案第51页，共22页

解.

【详解】对于选项A：因为〃=6,可知二项式系数之和为26=64,故A正确;

对于选项B：令x=可得所有项系数之和为（2_y=1，故B错误;

对于选项C：因为展开式的通项为心=C；♦（2x广'.（一9）=（一1）'.2J•晨•Zhr=O,l,-,6

令6./。，可得I,所以常数项为小（"2Y,故,正确;

对于选项D：因为〃=6,可知二项式系数最大值为C1为第4项，故D错误；

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.

【详解】依题意可得P（4）="P（4）=&P（B|4）=军3,p（B%）=与=L

55'"C；10V12/10

所以「（8）=P（4）P（8|4）+P（4）尸（司4）=：、器+：X^=益，故A正确、B正确、C

错误；

12

P（A团-网48）_网网4）尸（4）_m*_2

一p⑻一p（B）-n一「故D正确.

50

故选：ABD

11.ABD

【分析】求出函数的导函数，由r（—）=/，（x）求出。的值，即可得到函数解析式，从而判

断函数的奇偶性，即可判断A,令/（灯=（）求出方程的解，即可判断B,利用导数说明函

数的单调性，即可判断C,利用作差法判断D.

答案第61页，共22页

【详解】因为/(x)=#+原2+卜—4)x,则/'(x)=r+2奴+(。-4),

又/'(X)是偶函数，所以/'(T)=/'(X)，BP(-X)2-2ax+(a-4)=X2-2ar+(a-4))

所以4#=0对任意的'恒成立，所以4。=0,解得"=°,则/(刈=；/一4%，定义域为R,

fi/(-x)=l(-x)3+4x==-f(x)，即〃x)=-4x为奇函数，

所以/(x)的图象关于(0,0)中心对称，故A正确；

3

令小)=。,gplx-4x=0,解得』=°、"2反七=-2色

3

所以/(x)有3个不同的零点，故B正确：

因为/(X)=X2_4=(X-2)(X+2)，所以当x>2或x<—2时/颂,当一2<x<2时

/'(力<0，

即/(月的单调递增区间为(-8,-2)，(2,+00)，单调递减区间为(—2,2)，

所以/(x)不存在最值，故C错误；

设任意""22°,则/'(xj=x"4,/'(工2)=考一4,则/'($)+/'(々)=X：+¥-8,

，22

又J,

所以_/，(后工)

答案第71页，共22页

($+/j]4一(4一占卜0,当且仅当再=/时取等号，

所以对任意演户2NO,都有/，(内；々)4/'(.)；△⑥,故D正确：

故选：ABD

12.1/0.5

2

【分析】根据分布列中概率和为1列方程，解方程即可.

【详解】由题可得■!■+竺+1-山=1,解得帆=L

332

故答案为：I.

13.40

【分析】由(l+3x)(l-2寸=(1-2力+3%(1-2上写出(1-2切$展开式的通项，再由通项

计算可得.

【详解】因为([+3x)(1-2x)s=(”2x)s+3x(1-2工广

又(1-2x)s展开式的通项为7；+i=C；(-2x)‘=C；(-2)*(0«"5且reN),

所以(l+3x)(l-2x)s的展开式中含V的项为c；(—2)3X3+3X-C^(-2)2x2=40x3t

故展开式中/的系数为4().

故答案为：40

14.-4(答案不唯一，aw{aeZ|-10<a<-3}中的任意整数均可)

【分析】将问题“/(外在(1,2)上有最小值”转化为「(》)在(1,2)上有变号零点且在零点两

侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.

答案第81页，共22页

【详解】由/(x)=3x2_2lnx+(Q-l)x+3可知，6x24-(a-l)x-2,

/f(x)=6X_2+(J_[=

XX

又/(x)=3X2-2Inx+(a-l)x+3在(L2)上有最小值，

所以f(x)在(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，

令人。)=6./+(〃-1口-2，则力(x)在(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正,

A(=24F6<2x0>-10<a<-3

所以•A(l)=6+a-l-2<0，解得，

A(2)=6x4+2(a-I)-2>0

又因为aeZ,所以aw{aeZ|-10va<-3}.

故答案为：-4(答案不唯一，aw{aeZ|-10<a<-3}中的任意整数均可).

⑸(1)10

⑵2

⑶122

【分析】(1)根据题意，利用二项式的通项公式，即可求解；

(2)分别令4=0和x=l，进而求得。1+出+。3++。5的值；

(3)分别令K=1和尸-1，两式相减，进而求得Q[+对+牝的值.

【详解】(1)因为(21)5=%一+〃4，+"/3+廿2+〃/+〃/

由二项式(2X-1)5展开式的通项公式为4“=C；(2x)*，(-l)，，

所以展开式的第3项的二项式系数为C：=10-

答案第91页，共22页

542

⑵由(2%一1)，=asx+a4x++a2x++a0,

令x=0，可得%=(_])$=—;

令x=1,可得/+%+/+4+q+%=Q-1)5=1，

所以6+/+。3+。4+%=1-/=2

5$432r

(3)S-1)=a5x+a4x+a3x+a2x+alx+a0

令X=1，可得%+4+%+42+。]+。0=(2-1)5=1，

55

令x=-1，可得-a5+/一%+%―%+°o=(—2-I)=-3'

两式相减可得2(q+/+。5)=1+3’=244,所以q+/+%=122・

16.(1)单调递增区间是(-00』),(3,+8),单调递减区间是(1,3)；/(x)极大值是4e，极小值

是。

(2)最大值为e。，最小值为0

【分析】(1)对6上+9)求导，根据导数的正负确定函数的增减，根据函数

的单调性确定极值即可；

(2)根据极值点和端点值确定最值.

【详解】(1)f，@)=e'_八-3)=e，(x-l)(x-3)•

令八x)>0，得x<l或x>3，

令/，(幻<0，得l<x<3，

答案第101页，共22页

所以/(X)的单调递增区间是(Y0j),(3,+00)，单调递减区间是(1,3)•

所以/(x)的极大值是/(1)=4e，f(x)的极小值是/(3)=0.

(2)因为/(0)=9,/(4)=不，

由(1)知，/(x)的极大值是/⑴=4e，/(x)的极小值是/(3)=0,

所以函数/(x)在区间［0,4］上的最大值为e，，最小值为。.

17.(1)分布列见解析，U

5

【分析】(1)由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得;

(2)根据条件概率以及全概率公式求解可得

【详解】(1)起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3

P(x=o)=(外右P-f(步言

P-2)=陪W*"(…吧,喂.

答案第111页，共22页

(2)击中一次被扑灭的概率为[(£|X1=A

1232

击中两次被火扑灭的概率为X—X—=-------

53125

击中三次被火扑灭的概率为py

所求概率尸=且+四+里=102

125125125125

18.(1)^=-1

(2)答案见解析

⑶将她

9

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求切线方程：

(2)求导，分和。＞0讨论求函数单调性和极值：

(3)代入。值，将问题转化为+芭＜/(七)+向加马恒成立，构造函数

g(x)=/(x)+mlnx,xe[l,VT],转化为导函数不小于零恒成立，继续构造函数求最值即可.

【详解】⑴当"=4时，/")=4/-4,

则r⑴=0,又/⑴=_g,

答案第121页，共22页

所以函数）'=/（*）在点（1/⑴）处的切线方程为y=-g；

（2）由题知/［X）="2_4

当°40时，r（x）vO，函数/（x）在R上单调递减,无极值;

°时，令/'（司,。得工＜一多或,函数/（X）单调递增,

当

yjayla

令/'（x）＜0得＜x＜-^，函数/（X）单调递减,

Ja\la

此时函数/（'）的极大值为了卜娶卜ga,子）［4（一六）=呼，

极小值为/向十㈤1心卜萼

综上：当Q40时，/（x）在R上单调递减，无极值;

当时，函数/（"）在卜8,_爰）和（宁,口）上单调递增，在22上单调递减,

极大值为皿，极小值为一区;

（3）当。用时，f（x）=-xi-4x,由（2）得函数/（“）在［1，&］上单调递减,

t

不妨设1