浙江省金华十校2024届高三4月模拟考试数学试卷试题及答案

金华十校2024年4月高三模拟考试

数学试题卷

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合5=2x<。},则4八（）

A.{0}B,{1}

C.{1,2}D.{1,2,3)

【答案】B

【解析】

分析】根据一元二次不等式求解§={x|0<x<2},即可由交集求解.

【详解】B={X|X2-2X<0}={X|0<%<2),故AB={1},

故选：B

2.'=()

2+i

12.12.

A—1B.--------1

5555

12.12.

C.-+-1D.--------1

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

i(2-i)_l+2i

【详解】

2+1(2+i)(2"广丁

故选：A

3.设ae(0,兀)，条件“：sintz=工，条件q：cosa=也，则P是g的()

22

A.充分不要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解.

【详解】由于。武0,兀)，

若sina=_,贝ijcosa=土Jl-sin2a=土也,充分性不成立,

22

若costz=走，则sina=Jl-cos2a=1,必要性成立,

22

故。是q的必要不充分条件.

故选：B.

4.设直线/:x—2y—/=0,圆C：(x——2)2=1,贝Ij/与圆c()

A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线/的距离，与半径比较即可判断求解.

【详解】圆C:(x—l)2+(y—2)2=1的圆心为C(L2),半径厂=1,

U-4-g2!(3+a2)3

>>1=r

则圆心C到直线/的距离〃=&一亚一亚

故直线/与圆C相离.

故选：c.

5.等差数列｛4｝的首项为正数，公差为d,S”为｛4｝的前〃项和，若出=3,且邑，Si+S.,S5成等

比数列，则d=()

c.29

A.1B.2D.2或一

22

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中项的性质得到S2s5=(H+S3『，结合求和公式得到d=-3q或d=2q,再由4=3,

4〉0计算可得.

【详解】因为跖,S,+S3,S5成等比数列,

所以S2s5=（Sj+S3『，即（2q+d）（5q+10d）=（4q+3d）2,

即（3q+d）（2q—d）=0,

所以d=—3q或d=2%,

又。2=3,>0,

3

当d=-3〃i，则％+2=%-3%=3,解得力二一耳（舍去）,

当d=2q,则q+d=q+2ax=3,解得％=1,则d=2.

故选：B

所

6.在AANC中，sinB=旦，C=120°,BC=2,则ZXANC的面积为(

7

A.6A/3B.473

C.3A/3D.2A/3

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出6,代入面积公式即可得解.

【详解】由题意，

sinA=sin（60°—5）=sin60°cosB-cos60°sinB=-^-x11---—x

'12V492714

cV21

,.dd.eab,asmB7.

由正弦定理，-----=-----,即人=-------=—健一=4,

sinAsinBsinA\21

R

所以SAABC=—absinC=—x2x4x^-=2^，

△4BC222

故选：D

7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学

校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】A

【解析】

【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成A；组，然后分给剩余2个不同学校有

A；种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.

［详解］选取一个学校安排2名教学型老师有C；C；种不同的方法,

剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有A；种,

这2组分配到2个不同学校有A；种不同分法,

所以由分步乘法计数原理知，共有C；•C］A；・A；=3X6X2X2=72种不同的分法.

故选：A

8.已知cos(。一二:，sinosin/?=一)，则cc^a-sin2。=(

)

111

A.—2B.-C.一D.-

368

【答案】C

【解析】

【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cosacos/?,然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化

简即可求解.

【详解】由cos(a-/)=g得cosacos尸+sinasin/?=g,

又sinasin/=-g，所以cosacos/7,

1+cos2a1-cos2y0_cos2a+cos2£_cos[(a+/)+(a—+cos[(a+/)一(a—77)]

所以cos2a-sin20=

2222

=cos(a+/3)cos(a-/3)

=(cosacos/一sinasin/?)(cosacos尸+sinasin仍

121212236

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50〜35OKW-h之间，进行

适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左

A.x的值为0.0044

B.这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间［150,350）内的户数为75

6

D.这100户居民该月的平均用电量为X（50"25应

1=1

【答案】AD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A,根据中位数的计算即可求解B,根据频率即可求

解C,根据平均数的计算即可判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0,0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正确；

对于B,因为(0.0024+0.0036)*50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)x50=0.6>0.5,

所以中位数落在区间口50,200)内，设其为加，

则0.3+(加一150)x0.006=0.5,解得相。183,故B错误；

对于C,用电量落在区间口50,350)内的户数为

(0.0060+0.0044+0.0024+0.0012)x50x100=70,故C错误；

对于D,这100户居民该月的平均用电量为

6

(50+25应+(50x2+25*2++(50x6+25)s6=^(50/+25)s;,故D正确.

Z=1

故选：AD.

10.已知OvavOvl,m>n>1,则()

A.ba>abB.”>心

clog/>log/D.log/>log/2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.

【详解】对于A,因为。<。<6<1,所以指数函数y="在R上单调递减，且所以/>〃，

因为幕函数y=/在(0,+Q0)上单调递增，且所以d〈户，

所以故A正确，

对于B,取加=5,n=2,则5?<25,故B错误；

对于C,因为对数函数>在(0,+8)上单调递减，>=1。8",%在(0,+8)上单调递增，

所以log。a〉10gz,6=1,log,„n<log,,,m=l,

所以10gzla>log",",故C正确；

对于D,因为y=Inx在(0,+s)上单调递增，

ri、「八i八riiInmInm,

所以InavlnOvO,lnm>0,贝!Jlog“m=----->—-=iogm,

Inainbh

因为对数函数y=logfl%在(0,+8)上单调递减，

所以logon>logam>log"m,故D正确.

故选：ACD.

11.在矩形ABC。中，AB=2AD,E为线段AB的中点，将△ADE沿直线翻折成△A]OE.若M

为线段A。的中点，则在△ADE从起始到结束的翻折过程中，()

A.存在某位置，使得DE,AC

B.存在某位置，使得CELA。

C.MB的长为定值

D.MB与CD所成角的正切值的最小值为3

【答案】BCD

【解析】

（分析】当AC±DE时,可得出。石上平面4。。，得出OC，。石推出矛盾判断A,当。4t，平面BCDE

时可判断B,根据等角定理及余弦定理判断C,建系利用向量法判断D.

【详解】如图，

设OE的中点。，连接OCOA,则若4CLDE,由A04O,4Cu平面人。。,

可得DE工平面A。。，OCu平面AOC，则可证出OCLOE，显然矛盾（CDwCE）,故A错误；

因为CELDE,所以当。4，平面3CDE,由CEu平面3CDE可得O|A，CE,由DE=O,

O]A,DEu平面ADE,即可得C£,平面4DE,再由平面^DE,则有CEL4。，故B正确;

取CD中点N,MN//A.D,MN=^AlD,BN//ED,且N"Nfi,NADE方向相同，

所以NMN3=NADE为定值，所以BM=飞MN?+BN?-2MN-BMcosZMNB为定值，故C正确；

不妨设AB=2后，以OE,ON分别为乂丁轴，如图建立空间直角坐标系，

设ZAON=9,则4（0,cos。,sin。），5（2,l,0）,C（l,2,0）,MJ+j,D（-l,O,O）,

DC=（2,2,0）,8M=信，^^，等J,叫=萼

,设MB与CD所成角为。,

\DCBM\3-COS6>22小2J5

贝ijcose=^~-—L=J―—d<—=-2L_；即MB与CD所成最小角的余弦值为处，此时

|OC|.|BW|2V5V555

tan0=：,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次

灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可

考虑向量法计算后得解.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知单位向量a,匕满足|a-2切=出，则a与b的夹角为

【答案】IJT（或写成60。）

【解析】

【分析】将等式|。-2切=百两边平方即可.

【详解】因为|a-2。l-a?-4a必+4/=3,

所以。•/?=—,

2

rJ

所以cos〈ar,b〉=5,.a,Z?.w[0,兀],.〃1.=n].

故答案为：

冗2JQ<0

13.已知函数/"(%)=<，-，若“力在点。，/⑴）处的切线与点（天,/®））处的切线互相垂直，则

Inx,JC>0

xo=--------

【答案】-上林-0.5

2

【解析】

【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.

【详解】当x>o时，r（x）=->0,所以尸（1）=1,且点（%,/（1））不在y=lnx上，

否则切线不垂直，故/<0，

当x<0时，r（x）=2x,所以/'（%）=2%0，

由切线垂直可知，2x0xl=-l,解得x（）=-g.

故答案为：—

2

2222

14.设椭圆G：=+2=I（4>b}>o）与双曲线c2：斗—二=1（4>0,伪>°）有相同的焦距，它们的

44b?

离心率分别为4，江,椭圆C1的焦点为耳，F2,C1；。2在第一象限的交点为P，若点p在直线y=x

上，且/片PF2=90°,则二+4■的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,先根据题意得出点P的坐标(c>0),再将点P分别代入椭圆和

双曲线的方程中，求离心率，即可得解.

【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,则。；+伪二c2,a；_b；=c2,

又鸟=90°,所以|。尸|=(月乙|=c,

又点尸在第一象限，且在直线丁=%上，

所以尸—c,一c,又点P在椭圆上，

[22J

(3Y(eY22

所以VCVC，即1+pj=2,

____L-+____L-=1禽a,2-c2

a；b；

「1丫1

整理得2a；—4"+。4=0,即2--4--+1二0,

1e"el

1

HR/日14±716-4X22±V2厂二八,2+近

解传2——，因为所以丁=------，

e；42q2

pYpYaa

同理可得点「在双曲线上，所以〔丁)[口

，即〒方~~3=2,

—\a?C—〃2

a；b；

解得工=2zYl,

鼻2

所以―"U=2.

e；£22

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于

7,则获得5个积分：若点数之和不等于7,则获得2个积分.

（1）记两次点数之和等于7为事件A,第一次点数是奇数为事件8,证明：事件A,2是独立事件;

（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望.

【答案】（1）证明见解析

（2）分布列见解析；—

2

【解析】

【分析】（1）根据古典概型分别计算P（A）,P（B）,P（AB）,由P（AB）,尸（A）P（3）的关系证明；

（2）根据〃次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.

【小问1详解】

因为两次点数之和等于7有以下基本事件：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个，

所以尸(4)=(=：'又p(3)=g

30O

而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是（1,6）,（3,4）,（5,2）共3个,

31

所以P（AB）=—=一,

、73612

故P（AB）=P（A）P（6）,所以事件4B是独立事件.

【小问2详解】

设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X,则X可取6,9,12,15,

P（X=6）=C“"[3=盖,P（X=9）=c[[l.噎,

P（X=12）=Ct[Di）=装,P（X=15）=C；=立，

所以分布列为：

X691215

1257515I

P

216216216216

125〃75八151cI15

所以石'(X)=-----x6H------x9H-------x12H--------x15——

、72162162162162

16.设/(%)=sinxcosx+QCOSX,

(1)若a=l,求/(尤)的值域；

(2)若/(%)存在极值点，求实数。的取值范围.

-3也-

【答案】(1)o,-4-

4

(2)(-l,+oo)

【解析】

【分析】⑴求导，得/'(x)=—(sinx+l)(2sinx—l),即可根据xe［。*］和判断导数的正

负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，

⑵将问题转化为了'(%)=0在x/0,=］上有解，即可分离参数得a=」一-2sinx,利用换元法，结

72)sinx

合函数单调性即可求解.

【小问1详解】

7C

若a=l,/(x)=sinxcosx+cosx,xG0,—,

/'(1)=cos2x-sin2x-sinx=-2sin2x-sinx+l=-(sinx+l)(2sinx-l)

当XE］。,小时，sinx>0,2sinx-l<0,则//(x)单调递增；

(jrjr\

当刀功1万)时，sinx>0,2sinx-l>0,则/'(力<0,〃尤)单调递减

所以/(£)［0,乙一］，即/(%)的值域为［。，工一］

【小问2详解】

f(x)=cos2x-sin2x-asinx=l-2sin2x-asinx.

/(%)存在极值点，则/'(x)=0在上有解，即a=/1—2sinx有解.

令，=sinx,则〃=；一2%在，£（0,1）上有解.

因为函数y=：—2/在区间（0,1）上单调递减，所以ae（—L+”），经检验符合题意.

17.如图，在三棱柱A3C-4与£中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面是矩形,

M=A1B.

（1）求证：三棱锥A-ABC是正三棱锥；

（2）若三棱柱A3C-4瓦G的体积为2®，求直线AG与平面M片§所成角的正弦值・

【答案】（1）证明见解析

⑵显

3

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明4。，平面ABC即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.

【小问1详解】

分别取AB,BC中点。，E,连接CD,AE交于点O,则点。为正三角形ABC的中心.

因为=A}B,CA—CB得CD_LAB,AD}_LAB,

又\D।CD=D,A,D,CDu平面\CD,

所以AB工平面ACD，又AOu平面AC。，

则AB±Afi；

取用G中点连接片耳，E1E,则四边形A41gE是平行四边形,

因为侧面3片£。是矩形，所以BCLEE],又3CJ.AE,

又EE】AE=E,EEpAEu平面A4jE]E,

所以3cl平面A&&E,又AOu平面则BC，A。；

又ABcBC=B,AB,BCu平面ABC,所以4。，平面ABC,

所以三棱锥A-ABC是正三棱锥.

【小问2详解】

因为三棱柱A3C-4用G的体积为2血，底面积为出，所以高4。=半

以E为坐标原点，胡为x轴正方向，EB为y轴正方向，过点E且与。&平行的方向为z轴的正方向建立空

间直角坐标系,

d2#、

^-，U,---

I337

2626、

设平面田的法向量〃j,因为43=卜若,1,0),44=n

3J

AB-n{=-A/3X+y=0

则《2百2n'取z=l,可得"=（点‘卡」）,

AA•%=---------x-\-------z=0

133

5J3

XAC1=A41+AC=--

设直线AG与平面与3所成角为6,

77rAe1276V2

所以sin8=|cos%,ACj|=

%||AG66一3.

18.设抛物线C:y2=2px(p>0),直线％=—1是抛物线C的准线，且与x轴交于点8,过点2的直线/

与抛物线C交于不同的两点M,N,A(l,〃)是不在直线/上的一点，直线AM,AN分别与准线交于尸,

Q两点.

(I)求抛物线C的方程；

⑵证明：忸P|=忸@:

(3)记△AMN,△APQ的面积分别为M，丛，若SI=2S2,求直线/的方程.

【答案】(1)9=4%

(2)证明见解析(3)x±若y+1=0

【解析】

【分析】(1)根据准线方程可得?，即可求解；

(2)设/：x=ty-l,〃(％，K),N(X2，%)，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交

求出产,Q坐标，转化为求yP+yQ=o即可得证；

(3)由⑵可得S2=|PQ|,再由S]=J”N|d,根据5]=2邑可得/,即可得解.

【小问1详解】

因为x=-1为抛物线的准线，

所以K=l,即2。=4,

2

故抛物线C的方程为/=4x

小问2详解】

设/：x=ty-l,河（石,乂）川（x2，%），

联立V=4x,消去x得/―49+4=0,

X+%=由

则△=16,2—1）＞0,且＜

J%=4'

y-n2（X—

又AM：y-n=―x―-（x-1）,令x=—1得P-l,n-

再T>

（2（为,

同理可得。—L〃—一I「

I%-1）

2（y1-n）+n_2（A-n）=2n_2（yt-n）[2（y2-n）

所以为+为=〃一

%]一]

Oi—2ty2-2

2（.一祖仇-2）+2（%一〃）（叫_2）

-2）.（Zy2-2）

4。1%一（2加一4）（/+%）+8/_8n-8nt2

■“一―二--MX+%）+4-n~^T-'

故忸尸|=忸。].

【小问3详解】

I।2（y-n\2（y2-n\2\nt-l\

由⑵可得：邑二同二⑺5）=I,

-11。1-2仅一2

S]=1|M^|J=1X|#+1-4#+12/2—1'〃"2|,

由H=2S2,得：t2—1=2）解得r=±J5，

所以直线l的方程为x±"y+1=0.

【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出RQ点的坐标

（含参数），第二个关键点在于将忸P|=|5Q|转化为P,Q关于x对称，即%+%=0.

19.设p为素数，对任意的非负整数〃，记〃++…+&p。Wp[n）=a0+al+a2+---+ak,

其中4e{O,l,2,---,/?-l}（O<z<Z：）,如果非负整数n满足吗（〃）能被P整除，则称n对p“协调”.

（1）分别判断194,195,196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；

（2）判断并证明在p2〃，p~n+l,p2n+2,P,+小？T）这p?个数中，有多少个数对式协

调”；

（3）计算前p2个对p“协调”的非负整数之和.

【答案】（1）194,196对3“协调”，195对3不“协调”

（2）有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析

【解析】

【分析】⑴根据〃对P“协调”的定义,即可计算叱(194),叱(195),暝(196),即可求解，

(2)根据〃对p“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可

根据引理求证.

(3)将02〃,02”+1,夕2“+2,・,22“+(22一］)这。2个数分成夕组，每组p个数，根据引理证明每一列里

有且仅有一个数对P“协调”，即可求解.

【小问1详解】

因为194=2x3°+1x31+0x32+1x33+2x3、所以叱(194)=2+1+0+1+2=6,

195=0X3°+2X31+0X32+1X33+2X34，所以叱(195)=0+2+0+1+2=5,

196=1X3°+2X31+0X32+1X33+2X34.所以叱(196)=1+2+0