2024年山西省运城市高三年级下册二模数学试题及答案

运城市2024年高三第二次模拟调研测试

数学

试卷类型：A

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（4-3i）z=l+2i,则卜卜（)

2石

D.—

5

2.已知圆锥的侧面积为12乃，它的侧面展开图是圆心角为行的扇形，则此圆锥的体积为（）

46岳B.里立C.6岳D.喳

33

3.己知向量）和否满足问=3,限2邛+*近，则向量否在向量［上的投影向量为（）

1--1--

A.—aB.—aC.-LZD.Q

33

/v2

4.已知双曲线♦一彳=1（。>0乃>0）的两条渐近线均和圆C：f+/+8工+7=0相切，且双曲线的左

ab

焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为（）

X24x24y2.

A.---y"B.------^-=1

9797

4£4必

C.-------=1D=1

79T-f

5.将函数/（x）=2sin3x+］的图象向右平移8（9>0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数

<4，

g（x）在区间（Oy）上恰有两个零点，则夕的取值范围是（)

5笈3万、3113

A.

(5%3万U(E13;r

c\nyl~

6“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠"五台山x云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路

可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这

四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总

共有：）

A.360种B.316种C.28B种D.216种

7.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S〃，若品＞0,与＜0,则”的取值范围是（）

（613）

B.、于五

D.[-o,-|U—13,+oo

I7八15

8.已知正方形48co的边长为2,点P在以力为圆心，1为半径的圆上，则归城+|尸。『+归。『最小值为

（）

A.18-8V2B.18-8V3

C.19-85/3D.19-8V2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地

有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试

验5次，水稻的产量如下：

甲（单位：kg）250240240200270

乙（单位：kg）250210280240220

则下列说法正确的是（）

A.甲种水稻产量的极差为70

B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.已知函数/（x）的定义域为R,且对任意的都有/（k）=叶（力+W（X），若/（2）=2,则

下列说法正确的是（）

A./（1）=OB./(x)的图象关于y轴对称

20242024

C,^/（2,）=2023x22025+2D,^/（2,）=2024x22026+2

1=11=1

11.如图，在棱长为2的正方体458—中，点尸是侧面4。。圈内的一点，点E是线段CC上

的一点，则下列说法正确的是()

A.当点尸是线段4。的中点时，存在点E,使得平面尸&A

9

B.当点E为线段CG的中点时，过点/,E,0的平面截该正方体所得的截面的面积为彳

C.点E到直线的距离的最小值为加

D.当点E为棱CG的中点且尸E=2&时，则点P的轨迹长度为吃

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合4=«X£Ng<3川<27>，5={x|x2-3x+/n=0},若4n8,则4U8的子集的个数

为.

13.已知tana=2tan〃，sin（a+/?）=—,则sin（/一a）=.

14.已知椭圆C：=l(o>b>0)的左、右焦点分别为百,F2,过&的直线与C交于4,8两点,

且M用二|力3|,若片的面积为*从，其中O为坐标原点，则号|的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△NBC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,csin-^^-=—bsin2C+—csinCcosB.

242

(1)求sin/的值；

(2)如图，a=6百，点O为边力。上一点，且2。。=5。8,ZABD=-,求△力8c的面积.

7

B

16.（本小题满分15分）

长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧

气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻诚还改善了心肌供氧状态，加

快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生

是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

（1）试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9

人,再从这9人中抽取？人进行面对面交流，记随机变量Y表示抽到的？人中女生的人数.求Y的分布列:

（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为匕

求y的数学期望.

附”=(“+b)(L)(".+")'W=a+"c+"

a0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

%

17.（本小题满分15分）

如图1,在△/8C中，AC=BC=4,48=4蚯，点。是线段ZC的中点，点E是线段力8上的一点,

且DEJ.4B,将△4OE沿OE翻折到的位置，使得尸E_L3。，连接P8,PC,如图2所示,

点尸是线段收上的•点.

⑴若BF=2PF,求证：C户〃平面P0E；

(2)若直线C厂与平面尸所成角的正弦值为々;，求线段职的长.

18.（本小题满分17分）

已知抛物线C：、2=2/(〃>0)的准线与圆。：V+y2=l相切

(1)求。的方程；

(2)设点尸是C上的一点，点48是C的准线上两个不同的点，且圆。是△尸45的内切圆.

①若|,4邳=2后，求点P的横坐标；

②求△"B面积的最小值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=(x-Q)eX+x+a(4£R).

(1)若。=4,求/(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)若/(x)NO对于任意的XE[0,+8)恒成立，求〃的取值范围；

(3)若数列｛〃“｝满足4=1且。用=不\(〃€1<),记数列｛叫的前几项和为S”，求证：

S〃+：<ln[(〃+D(〃+2)].

运城市2024年高三第二次模拟调研测试•数学

参考答案、提示及评分细则

1.A因为兔数z满足（4-3i）z=l+2i,所以2=匕^=4+3—i,所以

'）4-3i（卜4-3”i）（4+3i、）

2525

|z|=

yH)+偿]邛・故选A-

2.B设圆锥的底面半径为，母线长为/，则%”=12%，^=-y,解得广=2,1=6,所以此圆锥的

高〃二〃一,=4形,所以此圆锥的体积「二」4、22*4>/5="叵.故选8.

33

3人因为,+*近，所以@+2£/+用=7,又问=3邛卜2,所以9+2屋5+4=7,解得£*二一3,

一■*a,b31——

设〃与b的夹角为夕，贝|Jcose=2忐==-=一±,所以向量力在向量〃上的投影向量为

血力3x22

Cl1—,,

|^|cos<9-尸|=一二。.故选A.

忖3

4.D双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以瓜一即=0.圆C：Y+y2+8x+7=0的标准方程为

a

（X+4）2+/=9,所以圆心为。（-4,0）,r=3,所以J-4」=3,又/+/=16,解得。=近,

yja1+b2

b=3,所以双曲线的方程为三一乙=1.故选D

79

5.C将函数/（x）=2sin^3x+^j的图象向右平移0（°>0）个单位长度,

/一、

c.6c7T

得到y=2sin3（x-e）+?=2sin3x-3^+—,

所以g（x）=2sin[3x-30+?）,

当xw（0,8）时，3x-3e+（w-3。+?，?），

又函数g(x)在区间(0,9)上恰有两个零点,

JTJ7TSTT

所以—2万<—3（pH—<—4f解得—<©V—,

4124

即。的取值范围是（鲁，,•故选C.

6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C：xA：=144种.

若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择，乔家大院”线路，则报名情况有C；（C；xA；）=144种.

所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.

7.B由题意知Sr="（4+=15%>0,所以％>0,

又£6=16（〃；46）=8（4+的）<0,

所以4+。9<°，所以为<-。8Vo.

设等差数列｛凡｝的公差为d,则d=%一/<°，

ae,=a.+7d>0,1d2

所以4>0.所以481,所以一一<一<一一

4+4=6+7d+4+8d=2%+15d<0,7q15

所以，管e找然｝喘的取值范围是件田故选口

8.D以力为坐标原点，AB,40所在的直线分别为x,丁轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设产（3）,所以/+/=1,又8（2,0）,C（2,2）,D（0,2）,

所以pB|2+|Pq2+|pq2=（x_2）2+/+（x_2）2+（y_2）2+x2+（y_2）2

=19-8（x+y）,

令x+y=Z,即x+y-f=0,所以直线x+y-f=0与圆/+/1有公共点，所以<1,

解得-

所以仍比+|PC|2+|PD|2)=19-8&.故选D.

9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确；

由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为

240,故B正确；

对于C,甲种水稻产量的平均数为:x(250+240+240+200+270)=240,乙种水稻产量的平均数为

1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C

错误；

甲种水稻产量的方差为

-x[(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-240)2]=520,

乙种水稻产量的方差为

1x[(250-240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,

所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.

故选ABD.

10.AC令x=l,y=\,得/(1)=/(1)+/(1)，解得/(1)=0,故A正确；

令％=-1,y=-\t所以/(1)=一/(一1)一/(一1)=0,解得=令y=­l,所以

/(-j)=xf(-1)-/(x)=-/W»所以/(x)是奇函数，所以/(力的图象关于原点对称，故B错误；

因为/(2")=/(2”TX2)=2”T/⑵+2/(2〃->令%=/(2")(〃wN*),

-(/,_,)

则an=+2"(〃22,〃£N"),所以=2aw_I+1,

令则2=如+1,

又4=2・、2=1,所以也｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以"=4+(〃-〃，所以%=小2",

令5〃='/(2')=£4=4+。2+3+%=1'2+2'22+3乂23+3+〃，2”，

*=i*=i

则2S,=1x2：+2x2,+3x24+•••+(〃-+

所以—S“=2+22+23+…+2”—〃-2"”

2x(l—2")

=—12=(l-w)2w+,-2,

所以S〃=5—1).2e+2,

2024

所以Z/(2')=2O23x22°25+2,故C正确，D错误.

r=l

故选AC.

1I.ACD以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示.

则0(0,0,0),4(0,0,2),4(2,0,2),4(222),

当点尸是线段4。的中点时，尸(1,0,1)，

设司0,2,4)(0£心2),

所以西二(一1,0,1),西二(1,2,1),港二(-2,2,白一2),

假设存在点使得4片，平面产42，

则①•乖=2+。-2=0,研乖=-2+4+。-2=0,

解得。=0,

所以存在点E,使得4七，平面P4A，此时点E与点C重合，故A正确;

取8c的中点尸，连接8G，EF,FA,g,RE,如图所示.

则)〃3G，ADJIBC、,所以4。"/EF,

又易得AD】=2&,EF=42,AF=D、EM,

所以梯形NQER的面积为

Aq+EFlc2（AD.-EF^2&+夜I（20-⑶9

J-

9

所以过/,E,A点的平面截该正方体所得的截面的面积为2,故B错误.

又8（2,2,0）,设E（0,2,w7）（0《m«2）,

所以西=（一2,-2,2）,砺=（一2,0,加），

所以点E到直线的距离

d二|郦in（西,砺”网卜cos?画面就

、2

BD.BE瓦一^777

阿J犷

所以人=日

此时拉=1,所以点E到直线82的距离的最小值为0,故C正确;

取。。的中点G,连接EG,EP,GP，

易得GE_L平面44"。，又GPu平面44AO,

所以GE_LG尸，所以GP=JPE?-GE?=J（2五了一Z?二2,

则点P在侧面44"。内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧,

分别交/。，42于2，4，

则N6G。=NgGZ）=3,则NRGg=j,

所以点尸的轨迹长度为工乂2=白，故D正确.

33

故选ACD.

12.8由题意知Z=<xwN；<3"i<27-={0,1},又leNnB，

所以IwB,所以产一3+加=0,解得加=2,

所以5={#2-3%+2=0}={1,2},所以4U8={0』,2},所以4U8的子集的个数为2,=8.

13.--因为tana=2tan/，即理q=22空，

12cosacos/7

所以sinacos/=2sincosa，

因为sin(a+/)=sinacosP+cosasin/?=z,

所以3cosasin/7=；,解得cosasin/7=sinacosP=~^,

所以sin(夕一a)=sin/?cosa-cos/sina='一,=一'.

V3,2V32

20x——b=——bA,

63

由余弦定理可得怩闻2=\AF^\AF^-2\AF^AF^QSO,

即4c2=（|四|+|力用）2-2|4用|力周一2M与IM用cos。

=4/+(-2-2cos6)M|阳,

则(2+2cos。)|月6||月月|=4/-4d=4/,

所以△月力用的面积S=；|/用卜in0=•焉心沙,

所以石sin6-cos9=1,

BPsinf3-7-1\=—,由于。一巴£冗54,所以。二2.

626~69~63

又|力用=|力/，所以△4大8是等边三角形，即|力用=忸个=|力却,

由椭圆的定义可得»用+忸制+MM=4a,所以M耳1=5〃，

则|/月=|〃，忸周二等，所以46_1耳冷

则幽二瞥二2Mm二殛.

恒周闺用3

旦

.解：（因为sinCeosB,

151）csin"C—Z)sin2C+

42

由正弦定理得

„.B+Cy[5..__y/S.2z-rn

sinCsin-------=——sin5sin2C+——sin-Ceos5

242

=—sin5sinCeosC+—sin2Ceos6

22

=亭sinC(sin8cosC+sinCeosB)=sinCsin(8+C),

又sinCwO,所以sin=弓5抽（3+。）,所以sin"="^sin（〃一七）,

所以cosd=@sinJ=V5sin—cos—»

2222

4八.Av5AL.

又一w0,—，cos一工0,所以sm—=——，cos—=JI-sin

2^2)2252V

所以sin4=2sin—cos—=—.

225

(2)设。6=2x(x>0),又2DC=5DB,

(方、4

所以Z)C=5x,cosZ.BDC=cosA+—=-sinA=——.

I2J5

4/+25/-仅扃

由余弦定理得8S4OC二”盖萨4

在△8OC中,

2-2J-5x5

解得了二2,

所以30=4,DC=\0,

DB44

又sin4=—=—=-,所以。力=5,AC=DA+DC=\5,

DADA5

XAB2+BD2=AD2,所以48=3,

114

所以△ABC的面积S=-48•4Csin4=-x3xl5x-=18.

225

16.解：（1）零假设为“0：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

二幽世2也**"3.84f,

200x200x220x180

根据小概率值a=0.050的独立性检验，我们推断从不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联,

此推断犯错误的概率不大于0.050.

（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为:

9x的=4人,

80+100

女生人数为：9x10°=5人.

80+100

X的所有可能取值为0,1,2,3,

C31r2r'5

所以尸（x=0）宝』尸"】）=营F

尸（X=2）窄吟，P（X=3）咯*

（3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率p二段

11a?

所以〉'〜，所以E（y）=12x布=彳

【20J

17.（1）证明：过点。作C//J.EO,垂足为，,

在PE上取一点使得1PM=%E.连接，FM,

3

如图所示.

333

因为。是/C的中点，且所以CH〃EB且CH=LEB,

3

所以CH〃FM且CH=FM,所以四边形CFM”是平行四边形，所以C/〃，A/,

又CFC平面尸HWu平面POE,所以Cr〃平面「。E.

（2）解：因为PELED,PELBD,ED（｝BD=D,ED,BDu平面BCDE,所以尸£_1_平面

BCDE,

又BEu平面BCDE,所以PE_L8£,PB=y/PE2^BE2=2y［5.

又EBLED,所以£3,ED,E尸两两垂直，

故以£为坐标原点，EB,ED,E尸所在的直线分别为x轴，歹轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示.

所以B（30,O,O）,£＞（0,V2,0）,P（0,0,V2）,C（V2,2V2,0）.

设平面PBD的一个法向量G=（x,y,z）,

又丽=卜30,0,&),5D=(-372,72,0),

n.BP=-3\f2x+V2z=0,

所以

n-DD——3y[2.x+y/2,y—0,

令x=l,解得y=3,z=3,

所以平面PBD的一个法向量3=(1,3,3).

设旃=XBP=(-3722,0,&)(0</1<1),

^l^CF=CB+BF=(2V2,-25/2,0)+(-3V2A,0,必)

=(2亚一304,—20,&),

设直线CF与平面PBD所成角的大小为6,

4>/24>/38

-----------------,=_

J1+9+9xJ(20-3厩+卜2码2+(旧了57

解得2=,或;1=工，所以BF==BP=后或BF=LBP=^~.

2102105

18.解：（1）由题意知C的准线为4=一“，又。的准线与圆。：/+2=］相切，所以一"二［,

22

解得p=2,所以。的方程为/=4x.

（2）设点产（加,%），点4（一1,“），点B（-1,〃），直线尸Z方程为y-阳二^^9——（x+1）,

X。+1

化简得（为+l）y+（为一加）一加（%+1）=0.

又圆。是△尸48的内切圆，

.、1%-m+m（x+1）1

所以圆心0（0,0）到直线尸4的距离为1,即广0「a042二葭

4（%-加＞+（/+1）2

故（%一加）2+（/+1）2=（凡一加）2+2机（盟一机）（见+1）+〃/优+1）2,

易知%＞1,上式化简得，（/-1）/+2%〃?一（工0+1）=0,

同理有（见-1）/+2yon-（xo+l）=O,

所以阳，〃是关于f的方程—+2）^—（/+1）=0的两个不同的根,

所以m+〃=2y。_,mn=（*。+“

/T“0T

4j；[4（/+1）

所以|.48「=（加―〃）2=（7W+H）*2-4mn

（与-1）%。一1

又点尸是。上的一点，所以诉=4/，

16x2

所以|,4回=I.o+9=2k+4x（）-l

11M（"）"M（"）

①若MM=2右，则2J；：：F=2不，

解得%=3或x0=g（舍），所以点〃的横坐标为3.

②因为点尸（为,线）到直线％=T的距离"=玉）+1，

所以△44的面积

片+4%-1j（x°+i）2（r+4x0-i）

S=g网.d=；x2

（"）23）Y—1）2

1

t+4+町（r+4+6，）Ls4016”

令%—1=[，＞0）,则5二2t+10rH---1——+32,

因为』十卷1622J”产=8,10/+

42=40,

t

当且仅当f=2时等号成立，所以S2,8+40+32=46,

即APAB面积的最小值为475.

19.(1)解：若〃=4,则/(x)=(x-4)e'+x+4,所以/'(x)=(x-4)e'+e*+1=(工一3)廿+1,

所以r(O)=(O