第三章-习题课-函数单调性与奇偶性的综合应用省公开课一等奖新名师比赛一等奖课件

习题课——函数单调性与奇偶性综合应用函数第1页第2页知识点、函数单调性与奇偶性

1.填空.(1)函数奇偶性是函数定义域上概念,而函数单调性是区间上概念,所以在判定函数单调性时候,一定要指出函数单调区间.(2)在定义域关于原点对称前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.(3)设f(x),g(x)定义域分别是D1,D2,则它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.第3页(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称两个区间上单调性相同;而偶函数在关于原点对称两个区间上单调性相反.(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).第4页2.做一做(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)(

)A.在[1,7]上是增函数B.在[-7,2]上是增函数C.在[-5,-3]上是增函数D.在[-3,3]上是增函数(2)若奇函数f(x)满足f(3)<f(1),则以下各式中一定成立是(

)A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5)(3)定义在R上偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有

<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大次序排列为

.

第5页解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1.所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1).(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)内单调递减,∴f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数性质得f(3)<f(-2)<f(1).答案:(1)C

(2)A

(3)f(3)<f(-2)<f(1)第6页探究一探究二思想方法利用函数奇偶性求解析式例1

已知函数f(x)是定义在R上奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x<0时,f(x)解析式;(3)f(x)在R上解析式.分析:(1)利用奇函数定义求f(0);第7页探究一探究二思想方法解:(1)因为函数f(x)是定义在R上奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.因为f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.(3)函数f(x)在R上解析式为反思感悟利用函数奇偶性求解析式注意事项1.在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;2.利用已知区间解析式进行代入;3.利用f(x)奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);4.定义域为R奇函数满足f(0)=0.第8页探究一探究二思想方法变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)解析式.解:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.第9页探究一探究二思想方法应用函数单调性与奇偶性判定函数值大小例2设偶函数f(x)定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)大小关系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)内为增函数,∴f(2)<f(3)<f(π).∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A.答案:A第10页探究一探究二思想方法反思感悟利用函数性质比较大小惯用方法在应用函数单调性与奇偶性判定函数值大小时,先利用函数奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再依据函数单调性对函数值大小作出比较.第11页探究一探究二思想方法变式训练2若将本例中“增函数”改为“减函数”,其它条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)大小关系怎样?解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又f(x)是R上偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).第12页探究一探究二思想方法化归思想在解抽象不等式中应用典例

已知函数f(x)定义域为(-1,1),且满足以下条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a取值范围.思绪点拨:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a取值范围,应利用函数f(x)奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a不等式组求解.解:∵f(x)是奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1).∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2)⇒f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定义域(-1,1)内是单调递减,∴a取值范围为(0,1).第13页探究一探究二思想方法方法点睛1.本题解答充分表达了化归思想作用,将抽象不等式借助函数性质转化成为详细不等式,问题从而处理.2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时犯错;(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a不等式组时,因忽略函数f(x)定义域犯错;(3)解错不等式(组)或表示a取值范围犯错.第14页探究一探究二思想方法变式训练设函数f(x)是定义在R上奇函数,且在区间(-∞,0)内是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),求实数a取值范围.解:∵f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,∴f(x)图像在y轴左侧递减.又∵f(x)是奇函数,∴f(x)图像关于原点中心对称,则在y轴右侧一样递减.又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,∴f(x)图像在R上递减.∵f(3a2+a-3)<f(3a2-2a),∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,即实数a取值范围为(1,+∞).第15页1.设f(x)是定义在[-6,6]上偶函数,且f(4)>f(1),则以下各式一定成立是(

)A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).答案:D第16页2.已知x>0时,f(x)=x-2019,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0时,f(x)解析式是(

)A.f(x)=x+2019B.f(x)=-x+2019C.f(x)=-x-2019D.f(x)=x-2019解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2019.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2019.故选A.答案:A第17页3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=

.解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.答案:-26第18页5.已知奇函数f(x)在R上是减函数