2024年新高考数学一轮复习-利用导数研究函数的单调性（学生版）

专题16利用导数研究函数的单调性

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

【考点预测】

1.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f'(x)>0f(x)在(a,6)上单调递增

函数尸f(x)在区间(a,

f(x)<0Mx)在(a,加上单调递减

⑹上可导

f(x)=0f(x)在(a,⑸上是常数函数

2.利用导数判断函数单调，性的步骤

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导函数/(x)的零点;

第3步，用/(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出/(x)在各区间上

的正负，由此得出函数y=F(x)在定义域内的单调性.

【常用结论】

1.若函数f(x)在区间(a,〃上递增，则/(x)NO,所以“/(x)>0在(a,6)上成立”是

“广(X)在(a,6)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数/■(*),(刘)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.

【方法技巧】

1.确定函数单调区间的步骤：

(1)确定函数/1(*)的定义域；

⑵求/(x);

(3)解不等式/(x)〉0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(x)〈0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小;

若不能因式分解，则需讨论判别式」的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在

定义域内.

3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如/•(x)=x:F5)=3]20(「(x)=0

在x=0时取到)，/<x)在R上是增函数.

4.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,6)上单调，则区间(a,6)是相应单调区间的

子集.

(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xd(a,6)都有V(x)NO(「(x)WO),且在

(a,加内的任一非空子区间上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则

会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

5.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先

利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

6.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与

F(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条,

利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.

二、【题型归类】

【题型一】不含参数的函数的单调性

［典例1］函数f(x)=V—21nx的单调递减区间是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(—8,1)D.(-1,1)

【典例2］若函数f(x)J"I,则函数『J)的单调递减区间为

e

【典例3］已知定义在区间(0,口)上的函数/'(x)=x+2cosx,则F(x)的单调递增区间为

【题型二】含参数的函数的单调性

【典例1】已知函数Hx)=3""-1(a是常数)，求函数y=f(x)的单调区间.

【典例2】已知函数1"(x)=lnx+a(l—x).

(1)讨论/<x)的单调性；

(2)若/"(X)在(2,+8)上为单调函数，求实数a的取值范围.

,e*1

【典例3】已知函数---7—ax(aCR).

2e

(1)当a=］时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在［—1,1］上为单调函数，求实数a的取值范围.

【题型三】比较大小或解不等式

【典例1】已知函数f(x)=xsinx,x£R,则fF(l)，f］一耳，的大小关系为()

A-f1+⑴"仔）

【典例2】已知函数/•(x)=e、一2x+l,则不等式/<2x—3)>1的解集为.

【典例3】设函数_f(x)=e*+x—2,g(x)=lnx+第一3,若实数48满足广(。)=0,g(6)

=0,贝|()

A.g(a)〈0〈f(Z))B.f(6)〈0〈g(a)

C.0〈g(a)<『(6)D.『(吩〈g(a)<0

【题型四】根据函数的单调性求参数的范围

一1

-2

【典例1］已知函数f{x)+2ajr—lnx,若f(x)在区间3上单调递增，则实数a的

一

取值范围为.

【典例2】若函数F(x)=eYsinx+a)在区间［一q，引上单调递增，则实数a的取值范围

是()

A.(1,+°°)B.［2,+8)

C.［1,+8)D.(一低+8)

【典例3］已知函数F(x)=lnx,g(x)='|ax：!+2x(a#o).

⑴若函数尔x)=f(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若函数尔x)=f(x)—g(x)在［1,4］上单调递减，求a的取值范围.

三、【培优训练】

【训练一】设函数/1(x)=sinx+e'-e-'-x,则满足f(x)+f(5—3x)<0的x的取值范围为

（）

A.g,+8)B.1—8,1J

C.由+8)D.jI)

【训练二】(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数/■'(x)的图象如图所示，则对于

任意的矛1,X2^R(矛1WX2),下列结论正确的是()

A.f{x)<0恒成立

B.(XLX2)"(X1)—/(^2)]<0

（X1+晟f（X1）+/（X2）

C.>-----------------------

/XI+E?f（X1）+/（X2）

D.<-----------------------

【训练三】已知函数广(己=函11x—ax—3(a£R).

⑴求函数Hx)的单调区间；

⑵若函数9=*才)的图象在点(2,H2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的方£[1,2],

函数g(x)=x3+/・[r(x)+0在区间(大，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.

【训练四】对于三次函数f(x)uaS+ZzZ+cx+dgWO),给出定义：设f'(x)是函数y=

f(x)的导数，f"(x)是「(x)的导数，若方程/5)=0有实数解刘，则称点(刘，/■(刘))

为函数y=Ax)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三

次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2/—6f+4,则将j+

息〉…+产工

g(iooJTTgQooJ---------

【训练五】已知函数/'(X)=^ax~(a+1)jr+lnX(H>0),讨论函数f(x)的单调性.

【训练六】已知函数f(x)=—.

X

⑴若a>0,求f(x)的单调区间；

(2)若对\/荀，不¥也都有«“)—、刘)〈2恒成立,求实数a的取值范围.

Xi-X2

四、【强化测试】

【单选题】

1.函数y=f(x)的导函数尸(x)的图象如图所示，则函数尸『(x)的图象可能是()

A.f{x}=sin2xB.g{x}=x~x

C.h{x}=xexD.m{x)——jr+lnx

3.已知函数4)号+*若函数/U)在⑵+8)上单调递增，则实数a的取值范围为

)

A.(—8,8)B.(—8,16]

C.(—8,—8)U(8,+00)D.(-8,-16]U:16,+8)

4.已知函数f{x)=sinx+cosx—2x,a=f{—Jt),b=f(2e),c=f(ln2),则a,b,c

的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>H>a

1nx

5.已知/'(x)=J,贝|J()

X

A.r(2)>/(e)>f(3)B.f(3)〉f(e)>/(2)

C.Z(3)>f(2)>f(e)D./(e)>r(3)>A2)

6.若函数f(x)=2x'—3R/+6X在区间(1,+8)上为增函数，则实数0的取值范围是()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.(—8,2]D.(—8,2)

7.函数f5的定义域为R.『(一1)=2,对任意xGR,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为

)

A.(—1,1)B.(—1,+00)

C.(-8,-1)D.(一8,+8)

8.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且/(x)g(x)—f(x)H(x)<0,则

当a〈水6时，有()

A.f(x)g(x)〉f(6)g(6)B.f(x)g(a)〉f(a)g(x)

C.f(x)g(6)〉f(6)g(x)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

【多选题】

9.若函数f(x)=ax'+3x2—x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是()

A.-3B.-1C.0D.

10.若函数g(x)=e%(x)(e=2.718…，e为自然对数的底数)在F(x)的定义域上单调递增,

则称函数F(x)具有〃性质.下列函数不具有〃性质的为()

/、1

A.f{x)=~B.f(^x)=x+1

x

C.f{x)=sinxD.f{x}=x

1

11.上的函数/'(x)的导函数/(x)的图象如图，则下列结论正确的是

定义在区间214

A.函数『(x)在区间(0,4)上单调递增

B.函数/"(X)在区间卜；，0)上单调递减

C.函数F(x)在x=l处取得极大值

D.函数『(x)在x=0处取得极小值

12.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f(x)的图象如图所示，则对于任意荀,

下列结论正确的是()

A.广(x)<0恒成立

B.（xi—至）—/（A2）］<0

f（Xl）~\~f（X2）

f（Xl）+/（X2）

X1+总

【填空题】

13.已知函数，x)=f—5x+21nx,则函数F(x)的单调递增区间是.

V

14.函数〃x)=lnx——广为函数.(填“增”或"减")

11「2