指对幂函数比较大小-2024高考数学总复习压轴题（解析版）

专题1指对幕函数比较大小

■k最新模拟精练

1.（2024•辽宁沈阳•统考一模）已知〃7=缶；〃=贝U（）

A.n>m>pB.p>n

C.p>n>mD.m>n>p

【答案】D

【分析】观察选项，构造函数尤）=e*cos^,利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.

【详解】令/'(x)=e，cosx,贝(jr(x)=ex(cosx-sinx)=0e*cos

当xe,衬）时，盟x）>。；当年）时,/'（"<0；

所以在"制上单调递增；在件引上单调递减，

所以豆>43且出”

所以等近>且等近>¥屋”，即五汽>「且艮>反1，

所以〃2>",〃2>P,

又"=”>e,p=S'”<币e。=A/3<e,所以">，，

综上所述，m>n>p,

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造"形似"函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.（2024•河南郑州•统考一模）mua=log23,6=log45,c=log67,则。,6,c的大小关系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】D

【分析】对。，b,c进行变形，构造〃x）n（x+l）,（>2）,求导后得到其单调性，从而判断出

」xb，

Inx

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C的大小.

【详解】"1。殳3=31-5常。=皿喂

令〃x)=9严，(M2),

Inx

Inxln(x+l)

171-xxlnx-(x+l)ln(x+l)

〃尤)=

(Inx)2x(jc+l)ln2x

因为％22,所以x(x+l)ln2x>0,

令g(x)=xlnx,x>2,8'。)=111%+1>0在[2,+00)上恒成立，g(x)在[2,+oo)上单调递增,

xlnx-(x+l)ln(x+l)

故xln尤一(x+1)1no+l)<0,所以/(x)=＜。在［2,+x）上恒成立,

x(x+l)ln3x

故=g+l)在[2,+向上单调递减,

Inx

“yIn3In5In7

所以^——>-~~->-■——>Dna>b>c,

In2In4In6

故选：D.

13

3.(2024•陕西商洛•统考模拟预测)^a=sin0.2,Z7=0.16,c=-ln-,贝|()

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】构造〃x)=sinx-(x-x2),xe[0,0.2],二次求导，得到单调性，得至lJsin0.2-0.16>0,再变形得到

c=1n=,故构造/z(x)=[ln(l+x)-ln(l-x)]rinx,xW0,0.2],求导得到其单调性，比较出c>a,得

21-U.22

到答案.

【详解】设/'(无)=siiLv—(x—x2),xe[0,。.2],/'(*)=。。近—l+2x,

设g(x)=/'(x)，g'(x)=—sinx+2>0,所以g(x)Ng(0)=。,

所以函数在［0。2］上单调递增,

所以f(O.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16>f(0)=0,即°>人

工…i/口1,31,1.21,1+0.2

根据已矢口得c=—In—=—In—=—In-----

2220.821-0.2

第2页共26页

可设/z(x)=+-sinx,xG[0,0.2],

则〃(%)=」

-cosx=--cosx>0,

'721l+x1-x1-x2

所以函数Mx）在［0,0.2］上单调递增,

所以/z（O.2）>/i（O）=O,即c>a.

综上，c>a>b.

故选：D.

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

4.（2024•全国•模拟预测）若。=4吨春，z?=1°gi47-c=l°gi26>则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】利用指对数运算法则得到a^=l-log142=l-^|,。=1-黑，从而利用对数函数的性质

分析判断得。<a,b>c,从而得解.

b=log147=1-logi42=1-——，c=log6=l-log2=1-——,

In141212lnl2

因为410gl42=logi424=logi416>l,贝Ijlogj〉；，

13

所以1一logi42<1--,即Z?<a；

而ln2>0,In14>In12>0,所以----<----,

In14In12

所以1一粤>1一粤，即Ac；

In14In12

综上：a>b>c.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用6=一叫2与1比较大小，利用6d黑与』一黑比较

大小，从而得解.

第3页共26页

6

5.（2024•全国•模拟预测）已知〃一虚，Z?=l+sin—,c=l,l,贝！Ia,b,c的大小关系为（）

a-。10

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】先利用常见不等式放缩得到a,b的大小关系，再利用幕函数的单调性比较a,C的大小关系即可

得到答案.

【详解】4/W=eT-x-l(x>0),则:(x)=e*-120恒成立,

所以了（尤）在（0,+8）单调递增,

所以当x>0时，/（x）>/（0）=0,即e'>x+l（x>0）；

令g（尤）=x-sinx（龙20）,则g'（x）=l—cosxNOT亘成立，

所以g（x）在（0,+。）单调递增，

所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,即sinx<x(x>0)；

97rTT

由诱导公式得b=l+sin记=l+sin正,

所以b=l+sin—<14---<e10，因此

1010

因为Cal—_ce历、<ce而—_Ce°，4，c=l16\/，

故只需比较e与1.式的大小，

由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C；5X(0.以+C；5X(0.1)2>3>e,

所以c>°.

综上，c>a>b.

故选：C

【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：

（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；

（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进

而比较大小；

（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.

6.（2023广西•模拟预测）已知〃x）=lg（Vin+4Z7=f（log52）,c=/ftan!\贝卜）

第4页共26页

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据题意，由条件可得了(尤)为奇函数，且/(X)在(0,+。)单调递增，由函数的单调性即可得到结

果.

【详解】因为+

则函数〃x)=lg(而7+⑷定义域为R,

即〃r)=—/(x),所以函数为奇函数，

又由函数y=JT+/,y=%都是(o,+8)上单调递增函数，

所以/(%)在(0，+“)单调递增，

因为4=_/，；[=/(1112)且111觉<1112<111©，所以;<ln2<l,

又因为Iog52<log50=4，tan—=>1,所以logs2<In2<tan巴，

233

因为/(元)在(。，+00)单调递增，所以Z?<a<c.

故选：A.

7.(2023•河北•校联考模拟预测)设。=ln2,b=1.09,c=e°3,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】易得a<b,a<c,构造函数『(x)=ex-利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调

性即可比较b,c的大小关系，即可得解.

【详解】。=In2<Ine=1<ft,c=e03>e°=1>a,

令/(力=炉一/—1,则尸(x)=e-2x,

令g(x)=e-2x,贝小(%)=]-2,

当we(y,ln2)时,g'(x)<0/(x)单调递减，

第5页共26页

当尤e(ln2,y)时，g'(x)>0/(x)单调递增，

所以r(x)>r(ln2)=2(l-ln2)>0,

所以/(x)在R上单调递增，

所以/(0.3)>/(0)=0,即e°3>i.O9,所以c>瓦

综上，a<b<c.

故选：A

991

8.(2023•四川成都•统考一模)若，=1"1!1兀)1=彳111彳,0=——,贝U()

33e

A.c<a<bB.b<c<a

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】c

【分析】先判断a,b的符号，再构造函数/(x)=xlnx并利用导数判断单调性，从而得到答案.

222

【详解】因为y=ln%在(0,+8)上增函数，所以1口兀>111匕=1,々=111(山兀)>111(1110)=0/=3111§<§1111=0,

即a>0,0<0.

造函数=则r(x)=lnx+l,令lnx+l=0,解得％=

当3时，/'(力<0,则〃x)为单调递减；

当时，f\x)>0,则/(元)为单调递增.

所以函数，(%)在彳=工处取得最小值，即/(尤)

eIe/eee

所以呜M)呜*jb〉c.

综上所述，c<b<a.

故选：C.

33

9.(2023•全国•模拟预测)设〃=：,h=ln2,c=sin|,贝lj()

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】构造函数“■r)=x-sinx(0<x<?,利用导数探讨单调性并比较a,c,再利用对数函数单调性比较

第6页共26页

大小即得.

【详解】当0<%<2时，令f（x）=x-sinx,求导得八x）=l-cosx>0,

IT

则函数/（%）在（0垓）上单调递增，有"%）>/（。）=。，即有尤,sin%,

因止匕Q=2>sin3=c,®b=ln2>lny[e=—>—=af

7727

所以6>q>c.

故选：D

1

10.(2023•全国•模拟预测)已知7*<61°,^a=log76,Z>=log87,c=0.9,贝！]()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

o

【分析】作商结合基本不等式可判断a<6,由条件79<6°,可得7历<6,取对数可判断c<。，得解.

【详解】因为合詈=1唱6xlog,8M卜呜6+1呜8］=］她史［<］,

blog87I2JI2J

又因为z?>。，所〃</?.

9a2

因为7。<6i°,即7而<6，所以。=而=log771°<10876=〃.

综上，c<a<b.

故选：A.

—11

11.（2020•安徽宣城•统考二模）已知〃=341=log37c=logi］，则。也。的大小关系是（）

4§4

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小.

5

［详解］C=logj］=log34>l,b=log3<0>36（0,1）;

所以c>a>6.

故选：C.

12.（2023•陕西宝鸡•校联考模拟预测）已知”=6晦34,…峭3Jc=1，贝l］（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

第7页共26页

【答案】C

【分析】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、6、C的大小关系.

【详解】因为log?3.4>log22=1=log44>log43.6,log30.3-=log3y>log33=1,

33210

又因为log23.4>log22后=］=log33=log33百>log3—=-log30.3,

所以，log23.4>-log30.3>log43.6,

（］、啕。3

所以，6.34>6一幅。3=［七>6log43-6,即a>c>b.

故选：C.

4

13.（2023•江西•统考模拟预测）设〃Cl-一C”，〃=ln3,c=3”嗨，则（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】利用指数的运算性质、对数恒等式、指数函数和对数函数的单调性结合中间值法可得出。、b.

的大小关系.

111,?

【详解】«=e^<e-1=-<—,&=ln3>lne=l,c-3-1+log：,2-—x2--,

e233

所以a<c<b.

故选：C.

14.（2023•四川遂宁•统考模拟预测）己知。=J,b=log32,c=sin-,贝！J（）

vee

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】利用中间值法，结合不等式性质、对数函数和三角函数的单调性，可得答案.

27321

【详解】由七々3.37>e,则：>血,所以三〈亍；

823ve

r\22

由§=log333=log3。^,且8<9,贝!）2<3，所以logs2<logs衿=§；

由一=log332=log3且4>3,则2>石，所以Iog32>log3百=5；

22

由工=sin^,5.―»1.04>-,根据函数'=$也》在上单调递增，贝lJsin^<sinH=L；

233ee32

第8页共26页

121.1

综上可得了〉Z>logs2>彳〉sin—,所以

脏32e

故选：D.

15.(2023•重庆北培•校联考模拟预测)已知。=；,b=log32,c=sin(cosl.l),贝"()

ve

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到。=$皿31.1)<sing,再构造函数〃x)=x-sinx,得到其

11_1o

单调性，得到c=sin(cosl.l)<sin；<；,构造函数g(x)=d-(了+1),求导得到其单调性，得至卜3>±,结

223

合对数函数单调性得到logs2e比较出大小.

【详解】因为Ll>g,而安出犬在段,3上单调递减，

故cos1.1<cos—,

32

又丁=sinx在上单调递增，

c=sin(cos1.1)<sin,

令/(x)=x-sinx,则/'(%)=1-8$%>°在兀£(0,1')上恒成立，

故"X)=x—sinx在xe上单调递增，/(x)>/(0)=0,

故d\>0,即:〉sin；,

i^c=sin(cos1.1)<sin,

1.1/、

X<?=-^==e3,4g(^)=e"-(z^+l),

则g,x)=e-1,当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

故4-卜?⑼=。，故eF>g,

112

因为23<3?,所以(23)3<(3)，即2<3一

因为y=iog3x在(o,+8)上单调递增，

2

故logs2<-,

第9页共26页

又log32>log3g=；，故logs,

i^c<b<a

故选：D

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

16.(2023•云南大理•统考一模)已知〃=1.6,b=e0,6,c=l+lnl.6,则4c的大小关系正确的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系.

【详解】令〃x)=e-l—x,则尸(x)=e=l,x>0,W/^x)>0.

故函数在(0,+s)单调递增，故〃0.6)>40)=0,

6

gpe°--l>0.6,所以e°6>1.6，即M

11_r

令g(x)=lnx+l-x,贝=x>\,有g<x)<0.

故函数g(x)在(l,+°o)单调递减，故g(1.6)<g(l)=0,即lnl.6+l-1.6<0,

所以lnl.6+1vl.6,即a>c.

综上：b>a>c.

故选：D

17.(2023•全国•模拟预测)已知a=log2兀，Z?=ln4,c=0.6-15,则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】应用对数函数的单调性及放缩法对进行估值即可判断.

【详解】^=log2K<log24=2,S.a=log27i>log22V2=1.5,故ac(1.5,2),

b=In4=l+ln—<l+ln=l+lnl.6=l+lnj2.56<l+lnA/e=1.5,即bvl.5.

e2.5

由0=0.6一1$可得。2=0.6-3=^^>4,又c>0,故。>2.则

0.216

故选：C

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18.(2023•全国•模拟预测)已知定义在R上的偶函数“X)在(-8,0)上单调递减，则()

【答案】B

【分析】根据题意，由对数的运算可得bg［6>log4(>l,再结合偶函数的性质以及函数的单调性，即可

43

比较大小.

【详解】因为偶函数/'(X)在(-8,0)上单调递减，

,1

所以函数/(%)在(0,+。)单调递增，且/［叫工1O§4-

又log』6=log46,

4

,1,二

log4-=log45,

所以log,6>log41>1,_3

<p

4

、

所以/lo6|>/|log|>/2'3、

gl44,即了

477

故选：B

19.(2023•广西南宁•统考模拟预测)已知“尤)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足/(x)=/(2-x),

且〃x)在［—2023,—2022］上单调递增，设。="一晦2),6=/(inQe?)),。="2021),则的大小关系是

()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

第11页共26页

【分析】利用函数奇偶性以及/(x)=〃2-可知的周期为2,且在［0』上单调递减，将表达式。,人。

化简可得。=/年|)匕=〃山2),c=/(l),又易知0<\|<ln2<l即可得c<6<。.

【详解】根据题意可知/■(x)=/(2—x)=/(x-2),即可得/(x)=〃x+2),

所以函数〃x)是以2为周期的偶函数，

又在［-2023,-2022］上单调递增，所以可得在［-1,0］上单调递增；

根据偶函数性质可知f(无)在［0川上单调递减，

又a=〃-隰2)=2)=.黑

6=/(ln(2e2))=/(ln2+lne2)=〃ln2+2)=/(ln2)

c=/(2021)=/(I)

显然ln3>l,所以可得即/［譬］>/(ln2)>/(l)；

m3"n3J

因此可得c<6<a.

故选：A

20.(2023•海南•校联考模拟预测)已知a=1g3,Z>=sinl,c=0.5%则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质即可判断.

15

【详解】由题意可得，a=lg3<log93=1=0.5,&=sin1»sin57°>sin45°=—=0.5°,

22

E0.51<0,5°-8<0.5°\

］\^2,

0—<c<——,故a<c<0.

22

故选：C.

05

21.(2023•湖南郴州•统考一模)有三个数：a=2,&=sinl,c=log23,大小顺序正确的是()

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合"媒介数"比较大小作答.

第12页共26页

]3

051<<7<

【详解】O=2-=21=V2）•■-2

b=sinl<1

33

2

c=log23>log2瓜=log22,

所以c>a>h.

故选：A

22.（2023•河南•校联考模拟预测）已知°=3皿，6=Tog户,c=log后2,则（）.

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】通过化简。涉,c,并比较与1的大小即可得出结论.

【详解】由题意，

01

a=3-<1,Z?=-logi5=log35>log34=log^2=c>l,

所以avc<》.

故选：D.

23.（2023•四川雅安•统考一模）设〃=5M2力=1083。,。=4°,则。，dc的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.

1-0

[详解]易知a=sin2e（0,1）n一：竽：）<3^>/><0<a<l<c,

[c=4>4=1

故选：B

24.（2023•四川泸州•四川省叙永第一中学校校考一模）已知点（2,：）在幕函数/（x）=x"的图象上，设

O

a=/（log23）,6=/（ln3）,c=y（34）,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<.a<cB.a<.b<icC.b〈c〈aD.a<c<b

【答案】B

【分析】首先根据幕函数所过的点求解幕函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函

数单调性判断函数值大小关系即可

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【详解】已知事函数〃x)=x"经过点12,£|,可得：2。=",解得：«=-3.

即〃力=/，易知〃耳=/在x«o,y)上为单调递减函数.

由于脸3=瞿>臀=ln3,可得：/(log23)</(ln3),即。<6；

ig，ige

又因为ln3>lne=l,0<3-l<r可得：/也3)</，即b<c；

综上所述：a<b<c.

故选：B

51

25.(2023•辽宁•校联考模拟预测)设」=log34,Z?=log080.7,c=1.02,则。，b,c的大小关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】根据对数、指数、幕的大小比较，结合构造函数法以及导数判断出。，4c的大小关系.

【详解】3<4<36，所以。=log34dls

=0.7，0.7>0.64=(0.8)2,

3

即(0,8)2>0.7>(0,8)2，所以人=logo,0.7e

814

1Y—1

设/(x)=x-l-ln尤，贝ur(x)=l-_L=—

xx

所以当X>1时，/^X)>0,f(x)在(L+8)单调递增;

当0<x<l时，r(x)<0,/(X)在(0,1)单调递减,

所以〃x"〃l)=0,B|Jx-l>lnx,当且仅当x=l时等号成立,

同理/仕卜0,即L-lNTnx,所以IruNl-上当且仅当x=l时等号成立,

\xJXX

故1111.02>1-木='，所以lnl.0251>1,从而c=1.025i>e,

3

综上.l<a<—<b<2<e<c.

2

故选：B.

【点睛】方法点睛：要比较指数、塞、对数的大小，可以考虑利用“分段法”来进行求解，即要比较。，尻c的

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大小关系，可以根据”,仇。的结构，找到两个数不，Z，使得(不妨设)a<xx<b<x2<c,从而判断出a,人。

的大小关系.

In44—In4

26.(2。23・河南•校联考模拟预测)设“二丁，鹿丁g则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】构建函数〃x)=手，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意。=/(4)=〃2).

n

■、辛々刀.百日否*力曰In4In2,4-ln42VeInVe

【详解】由题后、可得Q=—1=一丁，b=2—=—2»c=——=—7=-,

42e2£2e五

~2

设/(x)=g，x>。，则/(%)=1―"，

XX

故当xe(O,e)时,用勾>0,单调递增;

当xe(e,+co)时，/(x)<0,“X)单调递减;

因为。=〃4)=〃2),&=/!yI,c=f(A/e),H.0<Ve<2<e<-|-<4,

可得。=〃2)>/(/)=c,。=〃4)</-=6,所以c<a<6.

故选：D.

TT

27.(2023•江西九江•统考一模)己知a=cosw，5"=2,0b=c,则。也c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】对。，利用余弦函数的单调性可得;对b,利用对数函数y=log5%的单调性可得。<匕<g,

对。，由指数函数y=优单调递减，可得c=M>a,依此可判断得解.

【详解】|=COS^<6Z=COS^<1,

11

二.一<Q<I,

2

又6=log52<log5乔=：,

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0<z?<一,

2

由指数函数y=单调递减，可知c=“”>“,

:.b<a<c,

故选：B.

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■真题实战演练

28.（2023•全国•统考高考真题）已知函数〃x）=e"D2.记〃=/乎,b=于与,c=f♦，则（

I27I27I27

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g（X）=-d）2,则g（无）开口向下，对称轴为X=l,

因为乎-1-1-孝=布丁一;而函+后一不=9+60-16=60一7>0,

\7

由［、［指1fiG1V^+640n^6y/3

所以----1-1----=------------>0,即——

2（2）2222

由二次函数性质知g（?）<g（与）,

因为1-「2『_|'M（^6+A/2）2—42=8+4^/3—16=4A/3—8=4（\/3—2）<0,

\/

即坐一1<1一手，所以g（等）>g（等），

综上'8（*）<8佟）<8哼），

又>=6*为增函数，故a<c<b,即>>c>a.

故选：A.

29.（2023•天津•统考高考真题）若。=1。1°5*=101。.6,C=06。-5,则a,6c的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【分析】根据对应暴、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=1.01、在R上递增，则。=1.0-5<6=1.01。6,

05

由y=X-在［0,+s）上递增，则a=LOI'>°=O6o.5.

所以6>a>c.

故选：D

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30.（2022•天津•统考高考真题）已知°=2°7,人=1）,c=log21,则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【分析】利用累函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、6、c的大小关系.

【详解】因为2°，>0=log21>log21,故

故答案为：C.

31,（2022・浙江,统考高考真题）已知2'=5,1%3="则半厘=（）

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14a（2"）<225

【详解】因为2"=5,^=log83=-log23,即2"=3,所以4y=a=三套=至=石.

34（2劝）39

故选：C.

32.（2022•全国•统考高考真题）己知9"=10,a=l（T—n,b=89,贝I」（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=bg910>l，再利用基本不等式，换底公式

可得加log89>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:（指对数函数性质）

由9"=10可得机=1嗝1。=^>1，而lg91gli<］lg9；gUj=（詈:<l=（lgl0）2,所以黑，

即机所以4=10"-11>101gH-11=0.

又坨8310<产产。］=（等）<（炮9）2,所以B|Jlog89>m,

所以6=8'"-9<8|性9-9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

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由9"'=10,可得％=log910e(LL5).

根据。,6的形式构造函数/(尤)=尤"'-了-15>1),则/(x)=mx"i-1,

令_f(x)=0,解得力=机占，由加=log910e(1,1.5)知x°e(0,l).

/(x)在(1,+®)上单调递增，所以7(10)>7(8),即a>b,

又因为/(9)=9MM|°-10=0,所以。>0〉6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数/(x)=/-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

33.(2022•全国•统考高考真题)设。=0.1e°」,b=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数f(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定”,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/'(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因为/(好=;----1=---,

当尤e(-l,0)时,f\x)>0,当尤e(0,+oo)时/(无)<0,

所以函数f(x)=ln(l+x)-x在(0,+s)单调递减,在(-1,0)上单调递增，

所以“/</(0)=0,所以ln--g<0,故g>lng=7n0.9,即6>c,

1919

所以/■(-R)<“0)=0,所以InR+^vO,故Z<ei2。，所以11

故,

设g(x)=xe*+ln(l-x)(O<x<l),贝I]g，(尤)=(尤=~+、

令h(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-1),

当0<x〈后一1时，〃(x)<0,函数/7(x)=eYY_i)+i单调递减，

当时，"(X)>0,函数〃0)=6，。2_1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<_¥<近-1时，h(x)<°，

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所以当0〈无〈忘-1时，g'(x)>o,函数g(x)gxe，+ln(l-x)单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.16°」>一1110.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le01,0=7^7，c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lnd:-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令=x+ln(l—x),xG(0,0.1］,

1—丫

贝ijr(x)=i---=—<o,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0-1)</(0)=0,即ln6z-lnZ?<0,所以a<b；

(2)«-c=O.l^ol+ln(l-O.l),

令W=xex+ln(l—x),xG(0,0.1］,

xx

贝ljg\x)=xe+e--j_=(l+-(j).T,

V71-x1-x

令k(x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以k'(x)=(l-x2-2