吉林省长春绿园区五校联考2024届中考二模数学试题含解析

吉林省长春绿园区五校联考2024学年中考二模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,

则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

3.已知直线m〃n,将一块含30。角的直角三角板ABC按如图方式放置（NABC=30。），其中A,B两点分别落在直

线m,n上，若Nl=20。，则N2的度数为（）

A.20°C.45°D.50°

4.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若Nl=55。，则N2的度数为（）

A

2

b

A.105°B.110°C.115°D.120°

5.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一

个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）

A.30厘米、45厘米；B.40厘米、80厘米；C.80厘米、120厘米；D.90厘米、120厘米

6.根据下表中的二次函数＞的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（）.

x...—1012

72

y...-i

44

A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧

c.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点

7.下列各式：®a°=l(g)a2-a3=a5(3)2-2=--@-(3—5)+(-2)4-T8X(-1)=0(5)X2+X2=2X2,其中正确的是()

4

A.①②③B.①③⑤C.②③④D.②④⑤

8.若a与-3互为倒数，则a=（）

A.3B.-3C.LD.

33

9.“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门,目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800

亿用科学记数法可表示为（）

A.0.8X10'1B.8xlO10C.80xl09D.800X108

10.如图，AB与。。相切于点A,BO与。O相交于点C,点D是优弧AC上一点，ZCDA=27°,则NB的大小是

()

A.27°B.34°C.36°D.54°

11.对于一组统计数据：1,6,2,3,3,下列说法错误的是（）

A.平均数是3B.中位数是3C.众数是3D.方差是2.5

12.在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下:38,52,47,46,50,50,61,72,45,48,则这10

名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.因式分解：a3-4a=.

14.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元.若每个篮球80元，每

个足球50元，则篮球最多可购买个.

15.一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7个单位长度到了+1,则点A所表示的数是

16.李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟.如果他骑自行车的平均速度

是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟,

那么可列出的方程是.

17.分解因式：x2-1=.

18.如图所示：在平面直角坐标系中，AOCB的外接圆与y轴交于A(0,加)，NOCB=60。，ZCOB=45°,贝!!

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)已知。O的直径为10,点A,点B,点C在。O上，NCAB的平分线交。O于点D.

(I)如图①，若BC为。O的直径，求BD、CD的长；

(II)如图②，若NCAB=60。，求BD、BC的长.

20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米.点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘

米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t(s).

(1)t为何值时，AAPQ与AAOB相似？

(2)当t为何值时，△APQ的面积为8cm2?

21.(6分)小新家、小华家和书店依次在东风大街同一侧(忽略三者与东风大街的距离).小新小华两人同时各自从

家出发沿东风大街匀速步行到书店买书，已知小新到达书店用了20分钟，小华的步行速度是40米/分，设小新、小华

离小华家的距离分别为yi(米)、y2(米)，两人离家后步行的时间为x(分)，yi与x的函数图象如图所示，根据图象

解决下列问题：

(1)小新的速度为米/分，a=；并在图中画出yz与x的函数图象

(2)求小新路过小华家后，yi与x之间的函数关系式.

(3)直接写出两人离小华家的距离相等时x的值.

1,

22.(8分)有这样一个问题：探究函数y=：x3-2x的图象与性质.

6

1[

小东根据学习函数的经验，对函数-2x的图象与性质进行了探究.

6

下面是小东的探究过程，请补充完整：

13

(1)函数-2x的自变量x的取值范围是；

(2)如表是y与x的几组对应值

X・・・-4-3.5-3-2-101233.54・・・

8281111878

y.・・0m・・・

-3723~6~6一3483

48

则m的值为

(3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;

(4)观察图象，写出该函数的两条性质.

23.（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD,NADB=NCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长

线于点F,且AD2=DE・DF.

(1)求证：ABFDs^CAD；

(2)求证：BF«DE=AB«AD.

24.（10分）计算：2sin30°-（兀-0）°+|0-1|+-1

25.（10分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了部分学生对AB,C,D,石五类校本课

程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个不完整统计图.请根据

图中所提供的信息，完成下列问题：

⑴本次被调查的学生的人数为;

⑵补全条形统计图

⑶扇形统计图中，。类所在扇形的圆心角的度数为;

（4）若该中学有2000名学生，请估计该校最喜爱C,。两类校本课程的学生约共有多少名.

0ABD种类

26.（12分）已知AB是。。的直径，PB是。。的切线，C是。O上的点，AC/7OP,M是直径AB上的动点，A与

直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

（1）求证：PC是。。的切线；

3

（2）设OP=-AC,求NCPO的正弦值；

2

（3）设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

27.（12分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300

元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什

么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案，

把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可.

【题目详解】过A作ADJ_BC于D,

D

B'

,/△ABC是等边三角形，

，AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD±BC,

，BD=CD=1,AD=6BD=5

/.AABC的面积为；BC»AD=gx2x百=6，

。60万x2z2

S扇形BAC=------------=-719

3603

2LL

莱洛三角形的面积S=3x§»-2x73=271-273,

故选D.

【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相

加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

2、C

【解题分析】

利用正方体及其表面展开图的特点依次判断解题.

【题目详解】

由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知A,B,D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，选项C可以

拼成一个正方体，故选C.

【题目点拨】

本题是对正方形表面展开图的考查，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键.

3、D

【解题分析】

根据两直线平行，内错角相等计算即可.

【题目详解】

因为m〃n,所以N2=N1+3O°,所以N2=30°+20°=50°,故选D.

【题目点拨】

本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键.

4、C

【解题分析】

如图，首先证明NAMO=N2,然后运用对顶角的性质求出NANM=55。；借助三角形外角的性质求出NAMO即可解决

问题.

【题目详解】

如图，对图形进行点标注.

•..直线a〃b,

...NAMO=N2；

VZANM=Z1,而Nl=55°,

.,.ZANM=55°,

.•.Z2=ZAMO=ZA+ZANM=60o+55°=115°,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

5、C

【解题分析】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；

当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；

当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；

所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，

故选C.

6、B

【解题分析】

根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=l,抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.

【题目详解】

解：由题意得抛物线的对称轴为x=L抛物线的开口方向向上

则该二次函数的图像与X轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧

故选B.

【题目点拨】

本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.

7、D

【解题分析】

根据实数的运算法则即可一一判断求解.

【题目详解】

①有理数的0次嘉，当a=0时，aJO；②为同底数幕相乘，底数不变，指数相加，正确；③中29=1,原式错误；④

4

为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确.

故选D.

8、D

【解题分析】

试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1,

a=，，

5

故选C.

考点：倒数.

9、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

解：将800亿用科学记数法表示为：8x1.

故选：B.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、C

【解题分析】

由切线的性质可知NOAB=90。，由圆周角定理可知NBOA=54。，根据直角三角形两锐角互余可知/B=36。.

【题目详解】

解：...AB与。O相切于点A,

•\OA_LBA.

.,.ZOAB=90°.

VZCDA=27°,

.,.ZBOA=54°.

.,.ZB=90°-54°=36°.

故选C.

考点：切线的性质.

11、D

【解题分析】

根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐一求解可得.

【题目详解】

解：A、平均数为/+6+2+3+3=3,正确；

5

B、重新排列为1、2、3、3、6,则中位数为3,正确；

C、众数为3,正确；

D、方差为凶(1-3)2+(6-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2]=2.8,错误；

5

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了众数、平均数、中位数、方差.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或

从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.

12、C

【解题分析】

用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解.

【题目详解】

仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10,61、72共1个，

所以，频率=得=0.1.

故选C.

【题目点拨】

频数

本题考查了频数与频率，频率=

数据总和.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、«(tz+2)(a-2)

【解题分析】

先提公因式，再用平方差公式分解.

【题目详解】

cr-4a=a-4)=+2)(a-2)

【题目点拨】

本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键.

14、1

【解题分析】

设购买篮球x个，则购买足球(50-X)个，根据总价=单价x购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x

的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可.

【题目详解】

设购买篮球X个，则购买足球(50-X)个，

根据题意得：80x+50(50-x)<3000,

解得：x<^.

x为整数，

X最大值为1.

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键.

15、-6或8

【解题分析】试题解析：当往右移动时，此时点A表示的点为-6,当往左移动时，此时点A表示的点为8.

16、80%+250(15-%)=2900

【解题分析】

分析：

根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可.

详解：

设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得：

80x+250(15-x)=2900.

故答案为80x+250(15-x)=2900.

点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.

17、(x+1)(x-1).

【解题分析】

试题解析：X2-1=(x+1)(X-1).

考点：因式分解-运用公式法.

18、1+\尼

【解题分析】

试题分析：连接AB,由圆周角定理知AB必过圆心M,RSABO中，易知/BAO=NOCB=60。，已知了OA=&,

即可求得OB的长；

过B作BD_LOC,通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长.

解：连接AB,则AB为。M的直径.

R3ABO中，NBAO=NOCB=60。，

*'«OB=/3OA=;r3xV2=\/6-

过B作BD_LOC于D.

RtAOBD中，ZCOB=45°,

贝！IOD=BD=¥OB=«.

RtABCD中，ZOCB=60°,

贝!]CD="BD=1.

3

/.OC=CD+OD=l+73.

故答案为l+麻.

点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角

形是解答此题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)BD=CD=5夜；(2)BD=5,BC=5g.

【解题分析】

(1)利用圆周角定理可以判定ADCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；

(2)如图②，连接OB,OD.由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知AOBD是等边三角形，则

BD=OB=OD=5,再根据垂径定理求出BE即可解决问题.

【题目详解】

(1)YBC是。。的直径，

.,.ZCAB=ZBDC=90°.

VAD平分NCAB,

：•DC=BD，

；.CD=BD.

在直角ABDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2,

，BD=CD=5应，

(2)如图②，连接OB,OD,OC,

；AD平分NCAB,且NCAB=60。,

1

/.ZDAB=-ZCAB=30°,

2

:.NDOB=2NDAB=60°.

又•；OB=OD,

/.△OBD是等边三角形，

/.BD=OB=OD.

；（DO的直径为10,则OB=5,

.\BD=5,

VAD平分NCAB,

•*-DC=BD，

.\OD±BC,设垂足为E,

・•・BE=EC=OB*sin60°=,

2

：.BC=5y/3.

【题目点拨】

本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

20、(1)t=”■秒；(1)t=5-小(s).

4

【解题分析】

(1)利用勾股定理列式求出AB,再表示出AP.AQ,然后分NAP。和NAQP是直角两种情况，利用相似三角形对

应边成比例列式求解即可；

(1)过点P作PC±OA于C,利用NOAB的正弦求出PC,然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.

【题目详解】

解：(1)•点A(0,6),B(8,0),

，AO=6,BO=8,

22=

，AB=7AO+BOV62+82=10,

•.•点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位,

•*.AQ=t,AP=10-t,

①NAPQ是直角时，AAPasaAOB,

.APAQ

"AO^AB，

即1°T={

610

解得t=-^>6,舍去；

4

②NAQP是直角时，ZkAQPsaAOB,

.AQAP

,,AO=AB'

即工

610

解得t=与，

4

综上所述，t=正秒时，△APQ与4AOB相似;

4

(1)如图，过点P作PC±OA于点C,

贝！IPC=AP-sinNOAB=(10-t)x卫=&(10-t),

105

△APQ的面积(10-t)—8,

25

整理,得：t1-10t+10=0,

解得：t=5+%>6(舍去),或t=5-

故当t=5-亚(s)时，AAPQ的面积为8cml.

【题目点拨】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是

解题的关键.

21、(1)60；960；图见解析；(2)yi=60x-240(4<x<20)；

(3)两人离小华家的距离相等时，x的值为2.4或12.

【解题分析】

(1)先根据小新到小华家的时间和距离即可求得小新的速度和小华家离书店的距离，然后根据小华的速度即可画出

y2与x的函数图象；

(2)设所求函数关系式为y产kx+b,由图可知函数图像过点(4,0),(20,960),则将两点坐标代入求解即可得到函

数关系式；

(3)分小新还没到小华家和小新过了小华家两种情况，然后分别求出x的值即可.

【题目详解】

(1)由图可知，小新离小华家240米，用4分钟到达，则速度为240+4=60米/分，

小新按此速度再走16分钟到达书店，则a=16x60=960米，

小华到书店的时间为960+40=24分钟，

则yz与x的函数图象为：

故小新的速度为60米/分，a=960；

(2)当4WxW20时，设所求函数关系式为yi=kx+b(叵0),

将点(4,0),(20,960)代入得：

0=4k+b

'960=2Qk+b'

k=60

解得:<

b=-240

/.yi=60x-240（4处20时）

（3）由图可知，小新到小华家之前的函数关系式为：y=240-6x,

①当两人分别在小华家两侧时，若两人到小华家距离相同，

则240-6x=40x,

解得：x=2.4；

②当小新经过小华家并追上小华时，两人到小华家距离相同，

贝！I60x-240=40x,

解得：x=得;

故两人离小华家的距离相等时，X的值为2.4或12.

3

22、（1）任意实数；（2）（3）见解析；（4）①当xV-2时，y随x的增大而增大；②当x>2时，y随x的增大

而增大.

【解题分析】

（1）没有限定要求，所以x为任意实数，

（2）把x=3代入函数解析式即可，

（3）描点，连线即可解题，

（4）看图确定极点坐标,即可找到增减区间.

【题目详解】

1,

解：（1）函数-2x的自变量x的取值范围是任意实数；

6

故答案为任意实数；

1.3

(2)把x=3代入y=-2x得，y=--；

62

3

故答案为—-；

2

(3)如图所示；

(4)根据图象得，①当xV-2时，y随x的增大而增大;

②当x>2时，y随x的增大而增大.

故答案为①当x<-2时，y随x的增大而增大；

②当x>2时，y随x的增大而增大.

【题目点拨】

本题考查了函数的图像和性质，属于简单题，熟悉函数的图像和概念是解题关键.

23、见解析

【解题分析】

试题分析：(1)AD2=DEDF.NADF=/EDA,可得AADFs^EDA,从而得4=NDAE,

再根据NBDF=NCDA即可证；

RFOFRFAD

(2)由ABFDSACAD,可得——=——，从而可得——=——,再由ABFDSACAD,可得NB=/C从而得

ACADACDE

BFAD

AB=AC,继而可得——=——，得到BF-DE=AB-AD.

ABDE

试题解析：(I)•；AD?=DEDF，；•¥=空,

DEAD

VZADF=ZEDA，二AAD产,

:.ZF=ZDAE,

ZADB=^CDE,AZA£)B+ZADF=ZCD£+ZADF,

即NBOGNCZM,

：.ABFDsACAD

.BFDF

(2),/ABFDACAD，

**AC-AD

..ADDF.BF_AD

"DE~AD''^C~~DE

VABFDACAD,：.ZB=ZC,：.AB=AC,

.BFAD

二BFDE=ABAD.

【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.

24、1+V3

【解题分析】

分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数塞的性质和负指数嘉的性质分别化简得出答案.

详解：原式=2x；-l+旨-1+2

=1+73.

点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

25、(1)300；(2)见解析；(3)108°；(4)约有840名.

【解题分析】

(1)根据A种类人数及其占总人数百分比可得答案；

(2)用总人数乘以B的百分比得出其人数，即可补全条形图；

(3)用360。乘以C类人数占总人数的比例可得；

(4)总人数乘以C、D两类人数占样本的比例可得答案.

【题目详解】

解：(1)本次被调查的学生的人数为69+23%=300(人)，

故答案为：300；

(2)喜欢B类校本课程的人数为300x20%=60(人)，

补全条形图如下：

(3)扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为36(FXK=1()8。，

300

故答案为：108。；

,、90+36

(4)V2000X---------=840,

300

.••估计该校喜爱C,D两类校本课程的学生共有840名.

【题目点拨】

本题考查条形统计图、扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题关键.条形统计图能

清楚地表示出每个项目的数据.

26、(1)详见解析；(2)sinZOPC=—;(3)9<m<15

3

【解题分析】

(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到NA=NOCA,由平行线的性质得到NA=/BOP,ZACO=ZCOP,等量

代换得至！JNCOP=NBOP,由切线的性质得到NOBP=90。，根据全等三角形的性质即可得到结论；

⑵过O作ODLAC于D,根据相似三角形的性质得到CD・OP=OC2,根据已