圆与圆（原卷版）-2023年中考数学二轮复习（上海专用）

⑤要点归纳

圆与圆的问题，注意五种圆位置关系的判定，做题时还是利用半径相等等特性把圆的问题转化为等腰三角

形、相似三角形等熟悉的问题来解决，将不熟悉的问题熟悉化.

两圆关系对于二模和中考来说是个难点，用到的工具有：

⑴定义+勾股定理

抓住三要素：两圆半径R、八1一圆心距

内切外切

——二-----1-------Z-------1------7T——圆心距&

内含相交|7?+r|外离

建立关系式：外切(d=R+r);内切(d=[R-r|)

①两圆相切，连心线过切点；

②两圆相交，连心线垂直平分公共弦.

通过寻找或是构造直角三角形，运用勾股定理.

⑵锐角三角比(相等的角的锐角三角比是相同的)

寻找相等的角，或是通过添加高或是平行线构造相等的角，运用锐角三角比

【基本知识】

两圆的位置关系，设两圆半径分别为R和厂，圆心距为〃，R>r:

两圆位置关系相离相交相切

外离内含相交外切内切

性质及判定

d>R+rd<R-rR—r<d<R+rd=R+rd=R-r

图形oOOCOoO©

公共点个数没有没有两个一个一个

外公切线条数两条没有两条两条一条

内公切线数两条没有没有一条没有

★★☆☆☆

【例题11如图，已知点4(1,0)、2(7,0),08的半径分别为1和2,当。A与。3相切时，应将

0A沿x轴向右平移个单位.

★★★☆☆

【例题2】已知OA与8的半径均为1,AB=10,现将出固定不动，IA沿直线至向；＞8方向每秒2

个单位速度匀速运动，同时A的半径以每秒1个单位的速度增加，问f为何值时两圆相切？

★★★☆☆

【例题3】如图，ZAOB=45°,点0在。4上，OO|=7,OQ的半径为2,点O?在射线03上运动，且

。。2始终与相切，当。和相切时，OO2的半径等于,

★★★☆☆

【例题4】⑴已知正方形ABCD,AB=1,分别以点A、C为圆心画圆，如果点8在圆A外，且圆A与

圆C外切，那么圆。的半径长厂的取值范围是.

⑵如图，。的半径为1,一打的半径为2,«Q=5,：O分别与Q外切、与a内切,

那么。半径，•的取值范围是

★★★☆☆

【例题5】抛物线y=o?+云S/o）经过点A，,：），对称轴是直线X=2,顶点是。，与x轴正半轴的

交点为点8.

⑴求抛物线y=ax1+bx（a丰0）的解析式和顶点D的坐标；

⑵过点。作y轴的垂线交y轴于点C,点/在射线30上，当以DC为直径的N和以MB为

半径的M相切时，求点M的坐标.

★★★★☆

【例题6】已知：如图①，△ABC中，AB=AC=6,BC=4,点。在3C的延长线上，联结的），以小>

为一边作△4DE,使点E与点3位于直线4）的两侧，且=ZDAE=ZBAC.

⑴如果AE//BC,请判断四边形ABDE的形状并证明；

⑵如图②，设例是3c中点，N是DE中点，联结?IM、AN、肱V,求证：

⑶设3£>=x,在⑵的前提下，以3c为直径的一M与以DE为直径的_）N存在着哪些位置关

系？并求出相应的x的取值范围（直接写出结论）.

★★★★★

【例题7】

如图，已知处△ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=3,以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于

点。，过点A作AE〃CD,交3C延长线于点E.

⑴求CE的长；

⑵P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点。.

①如果△ACQs/^cp。，求CP的长；

②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与C相切，求CP的长.

备用图

本讲巩固

1.如图，在RtzxABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,DE//BC,且AD=2CD,则以点C为圆心、DC长

为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）

A.外离B.相交C.外切D.不能确定

2.如图.O的直径为10cm,弦BC为8cm,NACB的平分线交;。于点。，,ADB的内切圆半径是（）

C

D

A.1B.5（A/2-1）C.5（V2+1）D.*

3.如图，A与8外切于点尸，它们的半径分别为6和2,直线8与它们都相切，切点分别为C,D,

A.16\/3B.16乖＞-6兀C.16-s/3——D.16A/3——TT

4.如图，在RtABC中，ZC=90°,AC=4,8C=7,点。在边8C上，CD=3,，A的半径长为3,D

与A相交，且点8在［。外，那么（。的半径长r可能是（）

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

5.如图，。与Q相交于点AB,且QA是。2的切线，。，是a的切线，A是切点，若a与。2的

半径分别为3cm和4cm,则公共弦AB的长为一cm.

6.如果。。/与。O2相交，。。/的半径是5,OIO2=3,那么的半径厂的取值范围是.

7.如图，已知在等边AABC中，AB=4,点尸在边BC上，如果以线段尸B为半径的。P与以边AC为直径

的。。外切，那么0P的半径长是.

8.如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上

面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y

轴过第2列两个小圆的圆心，点尸是第3列两个小圆的公共点.若过点P有一条直线平分这7个小圆的面

积，则该直线的函数表达式是.

9.如图，圆A、圆C为两个不相交的圆，记圆A的半径为小圆C的半径为R,有1R,E是两圆连心

FAr

线上的一点，满足关系式式苒，点RG为圆A上任意的动点，作直线斯、EG分别与圆C交于X、I、

ECR

人K四点，连接/K

⑴设圆A、圆C的两条外的公切线分别为卜12,证明卜4总是在点E处相交；

(2)若固定尸点，让G点在圆A上移动，证明：此时EG.K7的值与G的位置无关；

(3)当/K,AC时，连接可、HG,没FJ与HG交于T,证明T在AC上，且满足ATEC=CTE4.

10.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点尸，。和图形W,如果在图形W上存在点N(M,N