2024届高考数学数列进阶训练：三等比数列

2024届高考数学数列进阶训练

（3）等比数列

1.已知等比数列｛•“｝满足%=3,%+%+。5=21,则%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

2.等比数列｛叫的公比为q,前〃项和为S”设甲:q＞。,乙:电｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.若等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比为（）.

A.2B.-2C.2或-2D.2或1

4.在等差数列｛%｝和正项等比数列也｝中，al0ll=b5,4也=16,则｛%｝的前2021项和

为（）

A.2021B.4042C.6063D.8084

5.设等差数列｛为｝的公差4*0,q=4d,若%是生与％出的等比中项，则上的值为（）

A.3或6B.3或-1C.6D.3

6.已知等差数列｛。“｝的首项和公差均不为0,且满足。2，%，四成等比数列，则

%++a\\

的值为（）

II

7.设等比数列｛%｝的前〃项和为S”，则式丁=（）

A.—B.—C.—D.3

342

8.已知数列｛。“｝的首项为=1,前〃项和为与，且满足2%+]+S“=2（〃eN*）,贝lj满足

1001S,“11»

由＜面的〃的最大值为（）

A.7B.8C.9D.10

9.设等比数列｛为｝的前〃项和为S“，且满足4+%=：'=9S3,若”=10殳°“，则数列

｛4｝的前10项和是（）

A.-35B.-25C.25D.35

10.已知S”是等比数列｛“”｝的前〃项和，若存在满足畜=28,竽=

amrrl£

则数列｛%｝的公比为（）

A.：B，7C.2D.3

23

11.（多选）已知数列｛%｝是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）

A.<—>B.｛log2^｝C.｛%+a“+i｝D.,,,+4+1+4+2｝

q一

12.（多选）在公比q为整数的等比数列｛%｝中，S,是数列｛"J的前〃项和，若

%+。4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是（）.

A."2B.数列电+2｝是等比数列

C.纵=510D.数列｛1g%｝是公差为2的等差数列

13.（多选）设S“是单调的等比数列｛《,｝的前〃项和，若%=1%%=］，则（）

A.B.公比为-1

o2

C.%+s“为常数D.K-2｝为等比数列

14.已知数列｛%｝是首项为2,公比为3的等比数列，若数列也｝满足仇=%,

4+1=anbn，贝U也｝的通项公式2=.

15.一个等比数列中，前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该

数列有项.

16.已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和为S”，若品=&+2艮，则当£+/取

得最小值时，4的值为.

17.若数列｛«„）的前n项和S,=2"-1,则ata2+a2a3+a3a4+…+anall+l=.

18.已知等比数列｛4｝的前〃项和为，，E，S3,S2成等差数列.

（1）求｛g｝的公比q；

（2）若%-%=3,求S“.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设等比数列｛叫的公比为式#0）,则q+"2+砥4=21,又因为％=3,所以

+^2-6=0,解得d=2,所以％+。5+。7=（%+。3+。5>r=42,故选B.

2.答案：B

解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若％<o,q>。,则｛5｝是递减数列.

若电｝是递增数列，则s“+「邑=。.=砧">0,一定可得叱0.故甲是乙的必要条件但不

是充分条件.

3.答案：C

解析：由3=N，得1+/=17,q=+2.

Ss1-q

4.答案：D

解析：在正项等比数列也｝中，44=7=16,解得%=4,即初=4,所以数列｛叫

的前2021项和S2021=2021（丁必）=202监。”=8084,故选D.

5.答案：D

解析：因为久是生与」的等比中项，所以所以[%+（左-1）"=%[%+（2”1）目.

又％=44,所以(左+3)2屋=4小(2左+3)d,所以笈=3.

6.答案：A

解析：已知等差数列｛%｝的首项为和公差d均不为0,且满足出吗当成等比数列,

2

(q+4d『=(%+4)(q+64),10d=-axd.'：d,「.-104=%,

.%+4+3。］+17d—30t7+17d13

…4+%+4o-3%+16d--30d+16d-17,故选A,

7.答案：A

S1

解析：设｛%｝的公比为q,由E不=1，得S=3邑，显然4彳±1，则

d2+d44

%（1一力;3q（1一步,所以i+/=3,所以4=/^=/=；.故选A.

\-q1-q出+。42+白2g1+q3

8.答案：C

解析：因为2a.+i+S.=2,所以2a“+S,T=2(〃N2),两式相减，得2%=%(〃22).又

%=1，出=；，所以何｝是首项为1,公比为;的等比数列，缁+即

乙乙1UUUJ1U

嬴＜£4，则〃的最大值为9.

9.答案:C

"1(1+/)=1,

解析：设等比数列｛%｝的公比为小由题意知贝IJ〃.解得

［言。-力=2。-打

/=丁所以%=JX2I=2，T,所以a=〃_3,所以数列出｝的前10项和

q=2,

见二10(4；'°)=5*(-2+7)=25.故选C.

10.答案：D

s

解析：设等比数列｛叫的公比为q.当4=1时，$=2片28,不符合题意.当时，

m

q2m+21

^■=28=28,得q6=27.又&"=

S,"i-qamm-2

qm=——-=27,解得根=3,r./=27,.“=3,故选D.

m-2

11.答案：AD

解析：A项，设则”=&=L即｛4｝是以'为首项，,为公比的等比

数列，故A项正确；

B项，取4=2",贝Ijlog2(%)2=log2(212=2〃，即］log2(aj｝是等差数列而不是等比

数列，故B项错误;

C项，取%=(-1)",则%+%申=0,｛%+%+］｝不是等比数列，故C项错误;

设q,=a+a+a,则q=4+4+/=%(l+q+/)=a

D项,nn+ln+2i+|»

CCi+H+Cl

且3="2*3=q,所以｛c“｝是等比数列，故D项正确.

Cn+an+\4+2

12.答案:ABC

解析：由q+%=18,a2+a3=12,得q(l+“=18,%(q+/)=12,由公比q为整数，解

彳导%=g=2,

.一c2(27)

••%―,3=-------二2-2，

2-1

.•.S,+2=2"M,.•.数列｛0+2｝是公比为2的等比数歹!],，S8=29-2=510,

又「lg6="lg2,数列｛1g%｝是公差为lg2的等差数列.故选ABC.

13.答案:CD

解析：设等比数列｛%｝的公比为q.由数列｛%｝为等比数列，咏=专，得编*，又

%=%/二/>0,所以%=：,因此A项错误.又生=:，所以如="=：,解得4=(或

2o2442

«=.若q=T，则%=〈,％=-1&=:，显然不满足数列｛叫是单调数列，因此B项

2224o

错误.

11I-。“1

由上述可知则q=1,所以。,=。「尸=(5尸况=—^-=2-(-r,则

1-2

%+S.=2,因此C项正确.因为S“-2=2-(J"--2=-(1r,所以电-2｝是首项为一1,

公比为%的等比数列，因此D项正确.故选CD.

14.答案：2”3吟^

解析：由题设可得4=2,*=4=2x3"、

所以当〃22时，

6.=4X3,"X3=2X(2X30)X(2X3)X...X(2X3L2)=2.X30+M”)=2"X3T^・

"10n-1

,,t、rr一》…(n-l)(«-2)

当”=1时，4=2也胸足上式.故6=2"X3一一.

n

15.答案：12

解析：设该等比数列为｛%｝,由已知%咏=2,-%%=4及等比数列的性质，得

(%a“丫=8,所以=2.

又因为2a3…=64=2,=（%*6,所以该数列有12项.

16.答案：当

解析：设等比数列｛叫的公比为/由其=号+2£可知夕工1,所以

%(「4)=4(1-炉)+2』(人力,化简得1_/=1_/+2(1_力，即/-2/_/+2=0,

1-q1-q1-q

即(q6T)(/一2)=0,得/=2,

(J/

014i-q2当且仅当篇=亍,即或等时，

..§6H--------=~~+—='+心》百

7

5一(i7q-1Q]

取得最小值,此时品=坐d幻*可

2x4"-2

17.答案:

3

解析：当〃=1时，％=岳=1；当"22时，a-,q"-*，〃=1时也适合，则

%=2〃T,则%%=2f2"=；x4”，

2(1-4")2(4"-1)2X4--2

aa=

axa2+a2a3+a3a4H---^nn+i-------=--------=---------

18.(1)答案：q=-；

解析：依题意有％+(q+alq)=2(%+a{q+%q"),

由于q/0,故2/+g=0,又”0,从而q=_g.

Q

（2）答案：S“=]

2024届高考数学数列进阶训练

——(4)数列求和

.1111/、

1.—I-----1---------11---------------=()

33+63+6+93+6+9+…+3017

2.正整数数列｛”｝的前〃项和为S.,则数歹“盛，的前100项和小。为（）

A100_99八200_100

A-wB,iooC.而D.而

3.已知数列｛%｝满足%+（-1严%=.2,则其前100项和为（）

A.250B.200C.150D.100

411

4.已知数列｛%｝中，4一1总-、2一",设2=，则数列出｝的前〃项和为（）

22anUn+\

n3n一〃一1一—3〃+3

A.B.----C.-----D.------

3〃+13〃+13n-23n-2

5.数歹U1,1+2,1+2+22,…，1+2+22+2。…+2”2的前〃项和为（）

A.2"-n-lB.2,,+1-n-2C.2"D.2"+i-〃

6.数列｛小2"｝的前«项和等于（）

A"2"-2"+2B.n-2"+1-2,,+1+2C.M-2,,+1-2"D.«-2,,+1-2n+1

7.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且豆=2川-2,则数列——J-----1的前"项

a10a

U°g2„§2„+l)

和1=()

,n-nn+1n-1

A.----B.--C.D.—-

n+2n+1几+2〃+2

8.已知数列｛%｝的通项公式是。“=2"-,则其前20项和为()

A.380TxmB.420-1x^l-X^

C.400-|x[l-XjD.440-1x^l-^

9.已知〃x)是定义在R上的奇函数，且满足对TxeR,

/(x+2)=f(x)+1,g(x)=/(x)+cos,则g(2)+g(2)+…g(黑)=()

A.873B.874C.875D.876

10.（多选）已知数列｛。“｝满足%=L%+LUI（"€N*）,则下列结论正确的是（）

AJ-+3）为等比数列B.｛叫的通项公式为%=—

[anJ2T

C.｛%｝为递增数列D.的前n项和北=22-3〃-4

11.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人

称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.…设第

〃层有4个球，从上往下〃层球的总数为J,则（）

A.S5=35B.all+i-an=n

200

C.a

n-2ToT

12.（多选）已知正项数列｛为｝的首项为2,前〃项和为斗，且

二P数歹U也｝的前〃项和为小若

+s〃+。〃=Sn+l+\,bn

北＜16,则〃的值可以为（）

A.543B.542C.546D.544

1

13.设E,+---+---+•••+---且则n=

1x22x33x破"+1）'八，，”+16」

14.计算lxg+2xj+3x：+…+9xJ=.

15.已知数列｛可｝满足%+3电+5/+…+（2〃-1）。"="•2*,设，=（2〃-1）%,则也｝的前〃

项和北=.

16.已知数列｛为｝的前〃项和为S“，且S“=3-2"T-：,则数列的前〃项和

2[加（〃+2）J

T,=.

17.已知等比数列｛4｝的前n项和为S.,且2%-5“=1.

(1)求见与S.；

2〃一1

(2)记4=——，求数列抄“｝的前〃项和却

an

18.已知数列｛可｝的前〃项和为S,,%=1,^=an+l-n-\,“eN*.

n

(1)求S.；

SSi

(2)^bn=~~~/,i^+1，证明：4+4+4+,••+"<£.

naan

nn+\\+1)。〃+1。〃+23

19.已知S,是等差数列｛%｝的前〃项和，禺=15,%-%=%.

⑴求凡;

(2)若或=2"，+(T)"q,求数列出｝的前〃项和北.

20.已知｛%｝是一个公差大于0的等差数列，且满足。3R=55,出+%=16.

(1)求数列｛见｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝和数列出｝满足等式：%=?+?+?+…+?("为正整数)，求数列也｝

的前〃项和S”.

答案以及解析

1.答案：D

_______1_______

解析:由题意可设％,=则数列｛%｝的前10项的

3+6+9+…+3〃

111

和S=—I-----1---------1---1---------------—+------+

11033+63+6+93+6+9+…+30223

£=詈.故选D.

3

2.答案：C

解析：由题意,正整数数列｛"｝的前〃项和(〃+1),5=肃^=2%刀，则

E11I

Boo=7+不+…+--二2故选C.

»2d1002D)噌

3.答案：D

解析：当〃为奇数时,an+x+an=2,则前100项和为

(q+%)+(〃3+&)+--H(。99+"100)=2X50=100.

4.答案：A

3131

解析：当磋2时-Si、*—]--(H-1)2--(^-1)=3n-2,

当〃=1时，q=1也成立，所以为=3〃-2,则

11111

3=(3〃-2)(3〃+1)313〃—23〃+'

设(为数列也｝的前〃项和，则

1111111n

1------1----------------F•••+

34473n—23〃+13〃+13〃+1,

5.答案：B

解析：设此数列的第〃项为。“，则%=1+2+22+2?+…+2"-2+2"7=二=2"-1,所以数

1-2

2(l—2n\

列｛0■｝的前〃项和为％+%+.•.+4=21-1+22-1+---+2"-1=-----'-»=2"4-/?-2.故选

1-2

B.

6.答案：B

解析：设｛小2"｝的前«项和为S.，

则S“=lx2'+2x22+3x23+---+w2n,①

所以2S"=lx22+2x23+---+(n-l)2,,+n-2),+1,②

①-②得-S=2+22+23+---+2"-w2n+1=2，所以S〃=〃-2向-2向+2.故选B.

"1-2

7.答案：B

2

解析：当〃=1时，a1=S1=2-2=2；当心2时，叫=2-S”1=2"+二2-(2"-2)=2",

数列｛0“｝是首项为2,公比为2的等比数列，且%=2”,则

+1

log2a„log,a„+1=log22"log22"=w(n+l),

,„111,11111n+…-

..T=-------------1-----------------F-------1-----------------------=1------1-------------------1-----------1-------------------------=-------------.B

1x22x3愉+1)223nn+\〃+1以衿口.

8.答案：B

解析：数列｛g｝的前20项和

S20=%+。2+,,,+a20=2义(1+2+，・・+20)—3x=2x

1

—x

(1+20)x20?,<5

=420-

21--

5

9.答案：B

解析：由题意得,f(-x)=-f(x)=-[/(X+2)-1],贝ljf(-x)+f(x+2)^l,

71X

故g(x)+g(2-x)=/(x)+cosy+/(2-x)+cos71--=1

又〃6+x)=〃4+x)+l=/(2+x)+2=〃x)+3=-〃一》)+3,

,TlX.

-''f(~x)+f(6+x)=3g(x)+g(6-x)=/(x)+cosy-+/(6-x)+cos3兀---=3

I2J

437

则S]=g

219

可得4=子

875

则邑=g

219

又/(2)=〃0)+1=1,j=g(2)=/(2)+cosre=0,

437HI1

故原式=£+g(2)+邑=70+亏=874,故选B.

10.答案：AD

解析：:'=2+"”=+3,..._L+3=2：，+3］，又，+3=4#0,./■L+s］是以4为

aa

%nn%+1%UJ

首项，2为公比的等比数列，即;+3=4x2"、，；=2用-3,二｛叫为

递减数列，的前〃项和4=(2?-3)+四一3)+-+(2向-3)=2(2-22+…+2")-3〃=

1_2"

2x2x------3〃=2-2-3〃-4.故选人口.

1-2

11.答案：ACD

解析：依题意可知%+「%=〃+1,B错误.

由4=1,a2=1+2=3,%=3+3=6,a4=6+4=10,a5=10+5=15,

得S5=1+3+6+10+15=35,A正确.

由%+i-4="+1，%-4.1="(〃22),得

n(,I1\

an=(%-4-1)+(%-1-%-2)+…+(%-4)+%="+("-1)+--+2+1=---,C正确.

1

，得

n+1

111

-----1-----------------------二2,D正确.故

a2。100■

选ACD.

12.答案：AB

解析：本题考查数列的前〃项和与通项的关系、裂项相消法求和.依题意，

)+S“+…向+1,则*7=2(%-%+1),即

22

k+1-i)-k-i)=2,故数列｛(31)2｝是首项为公差为2的等差数列，则

(〃〃一1)2=2〃一1,则氏=、2〃-1+1,所以

1V2n+1-yjln-1

bn='，则

+Q〃+i-2/2〃+1+12rl—12

Tn=g(6-1+后一6+…+,2、+1一-1)=；Q2n+1-1).令:Q2II+1一1)<16,解得

+1<33>即“<544,故选AB.

13.答案：10

解析：s=\-1+1_1+1_1++1__L_i__L段，则

n22334nn+1〃+1n+1

nn+1n5

s„s„解得〃=10.

+ln+\〃+2n+26

1013

14.答案:

512

1c1O

解析：令S=lxg+2x*+3x—+---+9X—,①

贝f!；S=lxJ+2x*3x*…+9xJ，②

1T

C/口1cli11cl2-9X^=1-1-9X-L=1-1L1013

①-②”\+丁初+…+L『一=

210292102101024

1013

所以S=

512

15.答案：n-T+1

解析：当〃=1时，%=8,当心2时,

%+3a2+5a§+…+(2〃一l)a“=n,2"~+3al+5a3+…+(2〃—3)a“_]—(ji—1)"2"”，木目

n+1

(2〃一1)%=n(n+1)-2n+1,/.a=-2"+1,当〃=1时，％=8成立,

n2n-\

n+\

-2"+1b=(2〃-l)a„=(«+1)-2n+1,.-.7；=2x22+3x23+•••+(«+1)■2n+1,

2n-ln

27；=2x23+3x2,+…+(〃+l).2"2,两式相减得

234n+2n+2

-7；=2X2+2+2+---+2〃+I—(〃+1)2〃+2=_n,2,.\Tn=n-2

16.答案：32-一占1

77+2

Qa

解析：依题意，当〃=1时，%=SI=5；当”22时，5,1=3.2"-2一5，故

%=S,fT=3-2『

综上所述，«„=3.2-2.

7911

故-----+4=------------+3-2〃-2=-------------+3-2〃一2

乂n(n+2)n(n+2)nn+2

故北=0+4+4+…+”

1+』(1+2+…+2〃［-1

〃+22V

11111132〃-1

-----1--------F,••+—+••-+—+------++—x

234n77+1〃+222-1

311+1(2T)

2〃+1n+2

-i11

二32

〃+1〃+2

17.(1)答案：%=2%；5„=2--1

解析：由2%—S“=l,得'=24一1,

当〃=1时，%=S[=2%-1,得％=1；

当〃上2时，an=Sn-Si=(24-1)-(21-1),

得%=2%,

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以%=2")

所以S“=2%—1=2"—1.

(2)答案：7；=6-等

解析：由⑴可得“=2舒〃—1，

则<=；+:+i+…+^r^=lxl+3x；+5x\+...+(2〃-1).

H=1X；+3义》5*3+3+(2"—1)<,

两式相减得gq=1+2］；+:+)+…+

所以4=2+4［；+*+*+…+—(2〃-1).J

=2+4.二^_(2"_1).」

1\2"T

1----

2

/2〃+3

二6-『.

2

18.答案:(1)Sn=n

(2)见解析

S

解析：(1)因为%+1=S〃+1，—=a-n-1,

nn+l

所以S〃=〃(%+i—〃T)=〃(S〃+I—Sj—〃(〃+l),

ss

故(〃+1)S=nS-n(n+1),即,Z+1----=1,

Wn+xn+1n

所以［2］是首项为”=7=1,公差为1的等差数列,

InJ11

s

故i=1+(〃-1)=〃，贝!J=/.

n

(2)因为S〃=",%=总-%(壮2,〃。*),

所以%=n2-(n-1)2=2〃-1(〃22,〃£N*).

又％=1符合上式，所以。"=2〃-

因为—-—,

。〃+1(〃+1)为+1为+2

rriKi7_______不_______________+I)2________

所"〃―n(2n-1)(2九+1)―伽+1)(2〃+1)(2〃+3)

nn+1

一(2〃-1)(2〃+1)一(2几+1)(2〃+3)

14〃4(〃+1)

4［(2〃-1)(2〃+1)(2.+1)(2〃+3)

11

------F

42n-l2w+1J\2n+12H+3j

_1O_______

4<2«-l2n+3)

所以

4+打+&+…+〃=

111