浙江省2023-2024学年高二年级下册5月联考数学试题

浙江省培优联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={1|%>4},B=x2-5x-6>0i),则AB=()

A.{%|4<x<6}B.{x|xW-l}C.{x|-1<x<4}D.{x|x>6}

2.等差数列也｝满足4=6,公差为2,则q+2-----H%2=()

A.96B.90C.84D.78

3.已知/,加，〃是三条不重合的直线,a,B，7是三个不重合的平面，则下列结论正确

的是（）

A.若。〃P//Y,则a〃/B.若/=m^a,1///3,m///3,则a〃/?

C.若l〃a,l//p,则戊〃,D.若/m,m^a,贝!|/〃cr

4.己知随机变量x且尸（X20.2）=0.02,则尸（-0.2<X<0.2）=（）

A.0.04B.0.48C.0.5D.0.96

5.在.ASC中，AC=2,3sin3=2sinA,C=60。，则()

A.75B.76C.A/7D.272

6.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩,

则三个小孩都是女孩的概率为（）

A.1B.1£1

C.D.-

8764

7.已知sin,+m]

=-3sin0,则cos20=()

3434

A.--B.——c.D.-

5555

22

8.已知双曲线C：工-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，F?,点。在C的右支上,

ab

QB与c的一条渐近线平行，交C的另一条渐近线于点P,若。。〃力"则C的离心率为

A.72

二、多选题

9.下列函数是偶函数的是（

A.f(x)=T/(x)=cos2x

C./(%)=x2/(x)=ln(2-x)+ln(2+x)

10.设z=l+i,则下列命题正确的是（

A.z+彳=2B.z—5=2

11.已知直线/：履+，+2左-1=0与圆C:V+y2-6y-7=0相交于A,3两点，下列说法正

确的是（）

A.若圆C关于直线/对称，则左=1

B.〔A却的最小值为40

C.当左=3时，对任意XeR,曲线W:x2+：/+3；U+（；l—6）y+5；l—7=0恒过直线/与

圆C的交点

D.若A,B,C,0（。为坐标原点）四点共圆，贝1］左=弓

三、填空题

12.已知函数f（x）=x（l-lnx）,则〃『）=.

13.已知a,b,C均为平面单位向量，且两两夹角为120。，贝1a-6+c卜.

14.圆锥的底面半径为1,母线长为2,在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面

积为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答

对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个.

(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；

(2)若该学生答对的题数为X,求X的分布列以及数学期望.

16.如图，在四棱锥尸—中，上4,平面ABCD,AD//BC,AD.LAB,AD=PA=4,

AB=BC=2.

⑴证明：。。，平面「4?.

(2)若Q为线段PC的中点，求平面PAD与平面出。的夹角的余弦值.

17.设曲线〃x)=e'在点P(利,〃叫)处的切线/与坐标轴所围成的三角形面积为S(回.

(1)当切线/与直线x+y+i=o垂直时，求实数根的值；

(2)当机40时，求S(m)的最大值.

22

18.已知尸(0,1)在椭圆C：1r+3=1(°>。>0)上，C的左焦点耳在抛物线y2=4百x的准

线上，A为C的左顶点，直线AM,AN分别与C另交于N两点，直线A",AN的

斜率之积为

12

(1)求C的方程；

(2)求AW面积的最大值.

19.已知%=1的数列｛%｝满足%“-3,。4.-2,4,1成公差为1的等差数列，且满足。4,1，。4.，

%用成公比为夕的等比数歹!I；4=i的数列也｝满足公T,%一2,公一成公比为q的等比数歹u.

且满足“3，b”%,+i成公差为1的等差数列.

(1)求为，瓦.

⑵证明：当|4>1时，。4〃+1>84n+i.

⑶是否存在实数q,使得对任意〃eN+，a“Nb”？若存在，求出所有的q；若不存在，请说

明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】解一元二次不等式，得集合B,根据交集的定义，即得解.

【详解】因为集合3=[6,y），

所以AB=[6,+co）.

故选：D.

2.C

【分析】先求出%,然后利用等差数列的求和公式及等差数列的性质计算即可.

【详解】由题知数列｛4｝是公差为2的等差数列，则％=4+2=8,

12

所以4+。2-----1-an=I'"；"）==6x（6+8）=6x14=84.

故选：C.

3.A

【分析】由线面位置关系逐一判断各个选项即可.

【详解】对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；

对于B选项，直线/,机不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立,

错；

对于C选项，a与夕也有可能相交，错；

对于D选项，直线/不一定在平面a外，也可能在面a内，故不成立，错.

故选：A.

4.D

【分析】由正态分布的性质求解即可.

【详解】由正态分布的对称性可知，P（X>0.2）=P（X<-0.2）=0.02,

所以尸（-0.2VX40.2）=l-P（X>0.2）-P（X<-0.2）=1-0.02-0.02=0.96.

故选：D

5.C

【分析】根据正弦定理可得3C=3,即可利用余弦定理求解.

【详解】由正弦定理可得3AC=23C

因为AC=2,所以BC=3,C=60。，

答案第1页，共10页

由余弦定理可得AB=V22+32-2X2X3XCOS60°=S-

故选：C

6.B

【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式求相应的概率.

【详解】用x表示女孩，y表示男孩，

则样本空间Q={XXX,XXY,XYX,XYY,YXX,YXY,YYX,YYY}.

分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件A和事件8,

则4={奥次,丫¥7,加兴,^1工/《,凶/,5%},B^{XXX},

故选：B

7.D

【分析】由诱导公式、商数关系得tan，=-;，由二倍角公式即可得解.

【详解】因为sin=cos9=-3sin0,所以tan0=——,

4

cos26+sin201+tan205

故选：D.

8.A

【分析】设出直线尸后的方程，与渐近线的方程联立，求出尸的坐标，由。为耳工的中点,

OQ//PFX,得。为产后的中点，求出。的坐标，代入双曲线的方程求解即可.

【详解】令耳(G。)，由对称性，不妨设直线尸入的方程为y=\(x-c),

，解得X=；,y=_萼,即点P的坐标为be

22ala

y=一一工

由。为1用的中点，OQ〃PF\,得。为”的中点，则点Q的坐标为不-五

答案第2页，共10页

代入双曲线的方程，有*-5==1,

16a16。b

即/=2a2，—7=2，

a

解得e=行，所以双曲线C的离心率为

故选：A

9.BCD

【分析】根据基本初等函数的奇偶性判断即可.

【详解】对于A：7(尤)=2*为非奇非偶函数，故A错误;

对于B：f(x)=cos2x定义域为R,且/'(-%)=cos(-2x)=cos2x=/(x),所以/(x)=cos2x

为偶函数，故B正确；

对于C：定义域为R,且〃T)=(_X)2=X2=〃X),所以/(耳=尤2为偶函数,故

C正确；

对于D：/(了)=111(2—了)+111(2+尤)定义域为(一2,2),且一x)=ln(2+尤)+ln(2-x)=/(x),

所以/(x)=ln(2-x)+ln(2+x)为偶函数，故D正确.

故选：BCD

10.ACD

【分析】先由共辗复数的定义得到N=l-i,然后使用复数的四则运算法则求解.

【详解】由z=l+i可知5=1—i.

z+z=(l+i)+(l-i)=2,故A正确；

z-z=(l+i)-(l-i)=2i,故B错误；

zz=(l+i)(l-i)=l-(-l)=2,故C正确;

z_l+i(1+i)2l-l+2i

故D正确.

i_i^I-(i-i)(i+i)-1-(-1)

故选：ACD.

11.BC

【分析】对于A,根据直线/过圆心可得；对于B,由直线/_LCD时弦k邳可解；对于C,

对曲线W方程整理，结合圆系方程可得；对于D,由OC的垂直平分线确定圆心纵坐标，根

答案第3页，共10页

据两圆方程求出直线A8方程，由直线A8过点。即可求解.

【详解】直线/M（x+2）+y—1=0过定点

圆C:尤？+/-6y—7=0,即无？+（>—3）?=16,圆心为C（0,3）,半径厂=4.

对于A选项，若圆C关于直线/对称，则直线/过圆心，得左=-1,故A错误.

对于B选项，圆C的圆心为C（0,3）,半径为4,

圆心到直线I的距离的最大值为|CD卜J（-2-0）2+（l-3）2=2V2,

所以|A@的最小值为2J16-8=4应，故B正确.

对于C选项，当左=3时，直线/：3x+y+5=0,

曲线W：+3Ax+（九一6）y+5X—7=0,即％~+>~—6y—7+X（3x+y+5）=0,

所以曲线W即为过直线/与圆C的交点的曲线方程，故C正确.

对于D选项，若A,B,C,。四点共圆，设此圆为圆E,圆E的圆心为E（a,b）,

OC的中点为（0怖），所以OC的垂直平分线方程为八y=|,所以b=|,

圆E的方程为（x-a）2+]y-1：=/+：,整理得/+/-2办-3y=0,

直线AB是圆C和圆E的交线，所以直线A5的方程为2or-3y-7=0,

将。点坐标（-2,1）代入上式得Ya-3-7=0,解得。=-1,

所以直线A3即直线/的斜率为与=-：,所以％=故D错误.

333

【点睛】结论点睛：过直线Ax+5y+C=0与圆f+产+6+珍+尸一交点的圆系方程为

X?+y?+Dx+Ey+尸+X（Ax+By+C）=0；

答案第4页，共10页

圆了2+y2+£)]%+£1]，+£=。和圆f+,2+£)2%+E2y+K=。的公共弦所在直线方程为

-4)x+(4-4)y+石-鸟=0.

12.-e2

【分析】根据给定的函数式，代入求出函数值即得.

【详解】函数〃x)=x(l—Inx),所以/(e2)=e2(l—Ine?”—e2.

故答案为：-e2

13.2

【分析】先利用向量加减法化简a-6+c，进而求得卜-人+d的值.

【详解】a,b，C均为平面单位向量，夹角为120。，贝lU+c：-/,

则\a-/?+c|=|-2/?|=2.

故答案为：2

一4兀

14.——

3

【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解.

【详解】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为=_=走,

tan603

所以球的表面积S=4TIX[¥]=..

4兀

故答案为：—.

3

15.(1)-

Q

(2)分布列见解析,E(X)=-.

【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解可得；

(2)根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式可得期望.

【详解】(1)该学生通过自主招生初试的概率尸=詈+妥=1，

(2)该学生答对题的数量X的可能取值为2,3,4,

答案第5页，共10页

则P（X=2）=||=1,P（X=3）=害噌,P（X=4）=||=1,

J^"*^6，J^^^6，J

所以X的概率分布列为

16.(1)证明见解析

⑵述.

【分析】(1)取AD的中点E,连接CE,由PAL平面ABCD,推出CDLPA,再根据所给

的边长，证明CD_LAC,根据线面垂直的判定定理证明GDL平面尸AC.

(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.

【详解】(1)取AD的中点E,连接CE,易知BC〃短且BC=AE,

...四边形ABCE为平行四边形，

•••ABLAD,.•.四边形ABCE为矩形，

VAEA.CE,：.AC=CD=2^2,

，AD2=AC2+CD2,CDLAC,

：P4_L平面ABC。，C£>=平面ABCD,:.CD工PA,

又ACcPA=A,，CO_L平面PAC.

(2)以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为x轴、>轴、z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.

则4（0,0,0）,0（0,4,0）,C（2,2,0）,P（0,0,4）,Q（l,l,2）,AQ=（1,1,2）,AD=（0,4,0）.

答案第6页，共10页

设平面QAD的法向量为m=(%,%,Z。),

AD-m=0,14y=

即＜n°取加=（2,0,-I）,

AQ-m=0,［尤0+%+2z（）=0

平面PAD的一个法向量A3=（2,0,0）,

设平面PAD与平面的夹角为a,

।।\m-AB4275

则cosCL—1cosm,A.B1\=\—m\\；AB=2-x-^-/-5产—5-------.

所以平面PAD与平面QAD的夹角的余弦值为寺.

17.（l）m=0

⑵sfXLx=|-

【分析】(i)由题意1(9)=暧=1,由此即可解出加;

(2)先求出s("。的表达式，然后利用导数求解即可.

【详解】⑴/(尤)=1,r(x)=e\

因为切线/与直线x+y+l=0垂直，r(/n)=em=l,

所以m=0.

(2)f'(x)=ex,当工=加时，f'(m)=em,

所以切线方程为了-""=用(彳一加).

令x=0得y=令y=0得x=机-],

119

因为m<0,所以3(冽)=5忸_1|伽一1归加ew.

i1

Sr(m)=(m-l)ew9e"=^(m+l)(m-l)ew,

所以当机<-1时，Sf(m)>0,S(m)递增，

当一1<相<0时，Sf(m)<0,S(m)递减，

?

所以S(“L*=S(T)=J

答案第7页，共10页

18.（1）—+/=1

⑵述,

2

【分析】（1）根据抛物线的准线可得c=7L根据P（0』）可得6=1,即可求解椭圆方程，

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据斜率关系31f*可得〃=1或〃=-2.即

可根据弦长公式以及点到直线距离公式求解面积不等式，利用导数求解函数的单调性即可求

解最值.

22

【详解】（1）因为椭圆C：二+2=1（。＞。＞0）过点尸（0,1）,所以》=1.

ab

因为抛物线V=4gx的准线方程为x=-g,所以c=G，a=2,

所以椭圆C的标准方程为亍+V=1.

（2）由题意可知，直线MN的斜率不为0,

设"（占,乂），N（x2,y2）,直线肋V的方程为x孙+〃，

x=my+n,

联立+2］消去x,得（根2+4）/+2%+力2-4=0,

所以A=4/”2—4（疗+4儿——4）=16m2—16z?2+64>0,

—2mnn2-4

得%+%=

m2+4

则&+x2=m（yl+y2）+2n=&+〃?〃（乂+%）+/=小',小：

m+4m+4

必

因为a血尸-1遗所以y,告y9一日1，即中2+2y（；；»4=一卷1

n2-4

用2+4=/4=〃24___1_

所以

4n2-4m216n.4n2-4m2+16n+4m2+164/+16〃+1612

——7-------+——+4

m+4m+4

即2=0,解得〃=1或九=-2.

因为当〃=-2时，直线脑V的方程为％=加丁-2,

则直线经过点4（-2,0）,不符合题意，

所以〃=1,满足A＞0,此时直线MN的方程为

答案第8页，共10页

所以直线跖V过定点(1,0),记直线MN与X轴的交点为O,则O点坐标为(1,0).

-2m

当〃=1时，乂+%=~27，%=~27，

m+4m+4

SAMN二"叫.|弘fl='[(必+%)2-4必必l4m212,nr+3

y+^---=62，

m2+4Im+4m2+41

令/=疗+3«23),y=t+-[t>3),则y'=l-!>0,

所以丁=/+；在[3,+8)上单调递增，

13A/3

-4T-6

所以3+(+22

/H--F2

当且仅当，=苏+3=3,即m=0时，AMN的面积取得最大值正.

2

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

2

19.(1)。5=3«2,b5-q+2

(2)证明见解析

(3)存在，q=l

【分析】(1)由等差数列、等比数列