广东省深圳市龙华区振能学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市龙华区振能学校九年级（下）月考

数学试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）二次函数y=/-2尤-3图象与y轴的交点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（-3,0）D.（0,-3）

2.（3分）已知。。中最长的弦为8,则。。的半径是（）

A.4B.8C.12D.16

3.（3分）如图,已知抛物线y—J?+bx+c的对称轴为尤=2,点A、B均在抛物线上，且A2与无轴平行，其中

点A的坐标为（0,3）,则点B的坐标为（）

A.(3,2)B.(4,3)C.(3,3)D.(5,3)

4.（3分）二次函数＞=（无+3）2-7的顶点坐标是（）

A.(-3,7)B.(3,7)C.(-3,-7)D.(3,-7)

5.（3分）如图，A,B,C,。为O。上四点，若N8OD=110°,则NA的度数是（

C.120°D.125°

6.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）,点2（2,1）,点C（2,-3）.则经画图操作可知:

△ABC的外接圆的圆心坐标是（）

1

A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（-1,-1）D.（0,-1）

7.（3分）将抛物线y=-（x-3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的

函数表达式为（）

A.y=-（x-5）2-1B.y=-（x-1）2-1

C.-（x-5）2+llD.y=-（尤-1）2+11

8.（3分）如图，O。是△ABC的外接圆，是O。的直径，若。。的半径为6,sinB=2，则线段AC的长

是（）

9.（3分）二次函数丫=/+6尤+c的图象如图所示，其对称轴尤=1,有以下结论：@a<0,<:>0；②9a+3b+c

>0；③4"-房<0；@3fl+c<0.其中正确的个数为（）

10.（3分）如图，RtZXABC中，AB±BC,AB=6,BC=4.尸是△ABC内部的一个动点，且满足/以2=/

PBC.则线段CP长的最小值为（）

2

C^713D.噂

B.2

213

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）二次函数-X-3图象的对称轴为直线

12.（3分）如图，抛物线y=a/+6x+c的对称轴是直线x=l,关于x的方程加+加大:二。的一个根为尤=4,

13.（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点。在量角器的半圆

上，若点。在量角器上对应的读数是50°,则/CAO的度数是

C、。是上的两点，且OD〃BC,连接AC和8D下列四个结论中:

®AD=CD；

②OD垂直平分AC；

③皿=AC；

®ZAOD=2ZDBC.

所有正确结论的序号是

3

A

15.（3分）如图，A8是半圆。的直径，弦A。、BC相交于点P,且CD、A8是一元二次方程7-8x+15=0

的两根，贝IsinZAPC=

三.解答题（共7小题，满分55分）

16.（5分）如图，二次函数y=ci?+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在。的右侧），与y轴的交点为C,

且A（4,0）,C（0,-3）,对称轴是直线x=l,求二次函数的解析式.

17.（12分）已知二次函数y=-7+4x+5,完成下列各题：

（1）将函数关系式用配方法化为y=a（x+h）2+左的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴.

（2）求出它的图象与x轴的交点坐标.

（3）在直角坐标系中，画出它的图象.

（4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？

（5）根据图象说明：当x为何值时，y>0.

4

18.（8分）如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C.

（1）用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心。（保留作图痕迹，不写作法）;

(2)若在△ABC中，AB=AC^10cm,BC=16cm,求图片的半径r.

19.（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套,

根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套.设销

售单价为x（xN40）元，销售量为y套.

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；

（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

20.（8分）如图，A8是OO的直径，AC是弦，。是AC弧上一点，尸是AB延长线上一点，连接A。，DC,

CP.若NBAC=a.

（1）求的度数（用含a的代数式表示）；

（2）^ZACP=ZADC,（DO的半径为6,CP=2BP,求AP的长.

BP

D

C

5

21.（8分）为促进经济发展，方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最

高点P离路面0M的距离为6m,宽度0M为12/7?.

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4%,宽为35”.如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1机

的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？

（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”A8CQ,使A,。点在抛物线上.B,C点在地面线

上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB,AD,。。的长度之和的最大值是多少？

（1）求证：不论左为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；

（2）设4<0,当二次函数y蒋x2+kx+k-1"的图象与x轴的两个交点4、8间的距离为4时，求此二次函

数的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C,过y轴上一点M（0,冽）作y轴的垂线/,当相为何值时,

直线/与AABC的外接圆有公共点？

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）二次函数y=/-2x-3图象与y轴的交点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（-3,0）D.（0,-3）

【解答】解：•••二次函数y=x2-2x-3,

当x=0时，y=-3,

即二次函数y=/-2x-3的图象与y轴的交点坐标是（0,-3）,

6

故选：D.

2.（3分）已知OO中最长的弦为8,则。。的半径是（）

A.4B.8C.12D.16

【解答】解：中最长的弦为8,即直径为8,

.••O。的半径为4.

故选：A.

3.（3分）如图，已知抛物线y=/+fcc+c的对称轴为x=2,点A、8均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中

点A的坐标为（0,3）,则点B的坐标为（）

A.（3,2）B.（4,3）C.（3,3）D.（5,3）

【解答】解：由题意可知抛物线的y=7+6x+c的对称轴为x=2,

:点A的坐标为（0,3）,且A2与x轴平行，

可知A、8两点为对称点，

.•.2点坐标为（4,3）

故选:B.

4.（3分）二次函数＞=（x+3）2-7的顶点坐标是（）

A.（-3,7）B.（3,7）C.（-3,-7）D.（3,-7）

【解答】解：•••二次函数y=（x+3）2+7是顶点式，

.•.顶点坐标为（-3,7）.

故选:A.

5.（3分）如图，A,B,C,。为。。上四点，若,则/A的度数是（）

C

7

A.110°B.115°C.120°D.125°

【解答】解：B,C,。为G)O上四点，ZBOD=nO°,

.,.ZC=AZBOD=55°,

2

/.ZA=180°-NC=125°.

故选：D.

6.(3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),点8(2,1),点C(2,-3).则经画图操作可知:

△A8C的外接圆的圆心坐标是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(-1,-1)D.(0,-1)

【解答】解：,•△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

与的交点。,即为所求的△ABC的外心，

...△A8C的外心坐标是(-2,-1).

故选：A.

7.(3分)将抛物线y=-(x-3)2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的

函数表达式为()

A.尸-(x-5)2-1B.尸-(x-1)2-1

C.y=-(%-5)2+11D.y=-(x-1)2+1]

8

【解答】解：将抛物线y=-（X-3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物

线的函数表达式为：y=-（x-3-2）2+5-6,即y=-（x-5）2-1.

故选：A.

8.（3分）如图，。。是△ABC的外接圆，是O。的直径，若。。的半径为6,sinB=工，则线段AC的长

3

是（）

C

B

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：连接C。，则/Z）CA=90°.

心△AC。中，sin£）=sinB=-l,AD=U.

3

则AC=AD'smD=12XA=4.

3

故选:B.

9.（3分）二次函数的图象如图所示，其对称轴％=i,有以下结论：①“VO,c>0；②9〃+3Z?+c

>0；③4用-必〈0；④3a+cV0.其中正确的个数为（）

【解答】解・・,抛物线开口向下,

•・»=-2<7,

9

A/?>0,

,/抛物线与y轴交点在x轴上方，

・・・c>0,

・••①正确，符合题意.

由图象可得％=-1时，y<0,根据抛物线对称性可得x=3时，y<0,

9<2+3/?+C<0,②错误，不符合题意.

•・,图象与I轴有两个不同的交点，

.\4ac-Z?2<0,③正确，符合题意.

•.”=-1,yVO,

.*.a-b+cVO，

■:b=-2a,

.*.3«+c<0,④正确，符合题意.

故选：C.

10.（3分）如图，RtAABCABLBC,AB=6fBC=4.P是△ABC内部的一个动点，且满足NB48=N

PBC.则线段。尸长的最小值为（）

21313

【解答】解：・・・NA8C=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

AZAPB=90°,

・••点尸在以A3为直径的O。上，连接OC交。。于点尸，此时尸。最小.

10

o

p

在RtABCO中，

'：ZOBC=9Q°,BC=4,08=3,

OC=7BO2+BC2=5，

:.PC=OC-0P=5-3=2,

；.PC的最小值为2.

故选：B.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）二次函数y=27-x-3图象的对称轴为直线_xq_.

【解答】解：二次函数y=27-x-3图象的对称轴为直线乂=上=二^」.

2a2X24

故答案为：x」.

4

12.（3分）如图，抛物线的对称轴是直线x=l,关于x的方程o^+bx+cu。的一个根为x=4,

则另一个根为x=-2.

【解答】解：：抛物线y=a/+6x+cQW0）的对称轴为直线x=l,

/.-2L=1,即b=-2a,

2a

根据根与系数的关系得4+尤=-1=-二空=2,

aa

解得x=-2,

即方程苏+陵+^二。（〃W0）的另一个根为冗=-2.

故答案为：x=-2.

11

13.（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点。在量角器的半圆

上，若点。在量角器上对应的读数是50°,则/CAD的度数是35。

【解答】解：如图，连接。。,

根据题意得，ZCAB=60°,

:点。在量角器上对应的读数是50°,

/.ZDOB^50°,

,/ZDAB=1.ZDOB,

2

：.ZDAB=25°,

ZCAD=ZCAB-NDAB=35°,

故答案为：35°.

14.（3分）如图，A3是O。直径，C、。是。。上的两点，且。O〃8C,连接AC和2D下列四个结论中:

®AD=CE；

②OD垂直平分AC；

③BD=AC；

®ZAOD=2ZDBC.

所有正确结论的序号是①②④.

12

【解答】解：：A3是O。直径，

.*.ZC=90°,

：.BC±AC,

'：OD//BC,

：.0D±AC,

平分AC,

垂直平分AC,

故②正确，符合题意；

AAD=CD)

故①正确，符合题意；

ZAOD=2ZDBC,

故④正确，符合题意；

根据题意，无法求解B£)=AC,

故③错误，不符合题意；

故答案为：①②④.

15.(3分)如图，是半圆。的直径，弦A。、BC相交于点P,且CD、A8是一元二次方程/-8x+15=0

的两根，则sinZAPC=旦.

【解答】解：VCD>AB是一元二次方程/-8x+15=0的两根,

."£>=3,AB=5,

连接AC,

'：NBCD=ZBAD,/CDA=ZABC,

:.△CPDs^APB.

•PC_CD_3

"PA"ABT

由AB是直径得NACB=90°.设PC=3尤，

则PA=5x,

：.AC=yjp_p^=4x,

13

AsinZAPC=2£=A.

PA5

故答案为：A.

5

三.解答题(共7小题，满分55分)

16.(5分)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与x轴的交点为A、D(A在。的右侧)，与y轴的交点为C,

且A(4,0),C(0,-3),对称轴是直线x=l,求二次函数的解析式.

【解答】解：由题意，设二次函数的解析式为y=a/+bx+c,

又抛物线过A(4,0),C(0,-3),对称轴是直线尤=-旦=1,

2a

"16a+4b+c=0

,c=-3

c=-3

抛物线的解析式为y=当2-3.

84

17.(12分)已知二次函数y=-f+4x+5,完成下列各题：

(1)将函数关系式用配方法化为y=a(X+/?)2+左的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴.

(2)求出它的图象与x轴的交点坐标.

(3)在直角坐标系中，画出它的图象.

(4)当为x何值时，函数y随着尤的增大而增大？

(5)根据图象说明：当x为何值时，y>0.

14

=-(x-2)2+9,

顶点坐标为(2,9),

对称轴为直线x=2；

(2)令y=0,贝U-/+4x+5=0,

解得xi=-L及=5,

所以，图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0)；

(3)函数图象如图所示；

(4)xV2时，y随着x的增大而增大；

15

（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心。（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）若在△A3C中，AB=AC=10cm,BC=\6cm,求图片的半径r.

【解答】解：（1）分别作A3、AC的垂直平分线，设交点为。，则。为所求圆的圆心.

,CAB^AC,

J.AELBC,BE=Aj3C=8（厘米），

2

在Rt^ABE中，A£=^AB2_BE2=6（厘米），

设。。的半径为RC7W,

在RtABEO中，

OB2^BE1+OE1,即R2=82+（R-6）2,

；.R2=64+R2-12R+36,

♦R=25

3

所以所求圆的半径为里

3

19.（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套,

根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套.设销

售单价为x（x240）元，销售量为y套.

16

(1)求出y与尤的函数关系式，并写出自变量取值范围;

(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：(1)销售单价为x元，则销售量减少土旭X20,

4

故销售量为y=200-X-4Q..X20=-5^+400(尤240)；

(2)设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：

w=(x-20)(-5%+400)

=-5X2+500X-8000

=-5(x-50)2+4500.

；尤240,

当x=50时，w的最大值为4500.

故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元.

20.(8分)如图，是的直径，AC是弦，。是AC弧上一点，尸是A8延长线上一点，连接A。，DC,

CP.若NA4C=a.

(1)求NAOC的度数(用含a的代数式表示)；

(2)若NACP=NADC,的半径为6,CP=2BP,求A尸的长.

【解答】解：(1)连接5C,

TAB是圆的直径,

AZADB=90°,

9：ZBDC=ZBAC=a,

ZADC=ZADB+ZBDC=90°+a；

(2)VZACP=ZADC,

：.ZPCO+ZACO=ZADB+ZBDC,

9：ZOCA=ZOAC,NBDC=/OAC,

：.ZBDC=ZOCAf

：.ZPCO=ZADB=90°,

17

令PB=x,贝!|PC=2尸8=2x,

;。。的半径为6,

P0=OB+PB=6+x,

VPO2=PC2+OC2,

(6+x)2=(2x)2+62,

.*.x=4,

：.PB=4,

21.（8分）为促进经济发展，方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最

高点P离路面OM的距离为6m,宽度OM为12m.

（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为35”.如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1机

的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？

（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”A8C。，使A,。点在抛物线上.B,C点在地面。M线

上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB,AD,。。的长度之和的最大值是多少？

设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6,

把点0（0,0）代入得：364+6=0,

解得：a=」，

a6

18

即所求抛物线的解析式为：y=-i（x_6）2+6（0W尤W12）；

6

（2）根据题意，当％=6-0.5-3.5=2时（或者当x=6+0.5+3.5=10）时，

y=-r（2-6）2+6=^-＜4,

63

这辆货车不能安全通过；

2＞

⑶设A点的坐标为（私，-4（m-6）+6）