2024届广东省广州市某中学高一数学第二学期期末联考试题含解析

2024届广东省广州市第三中学高一数学第二学期期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.已知圆C：x2+y2—6x+8=O,由直线y=%-1上一点向圆引切线,则切线长的最

小值为（）

A.1B.2CD.事

"｝的前〃项和，乜=3

2.已知S为等差数列a=3则。)

31011

A.2019B.1010C.2018D.1011

设等差数列｛。｝的前"项和为S

3.S=4。?=-2,则%=()

nin83

A.-8B.-6C-4D.-2

4.在数列中,）,则

A.B.C.2D.6

已知：/(x)=asinx+Z>cosx,g(x)=2sin(0x+l)+l,若函数和g(x)有

5.

完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是

7171

A.-+ez)B.(2左兀——,2kTC+

66

71

C.(2左兀,2左兀+)(左£z)D.（左兀,左兀+

6

a,b,c^=a2+L2,AB边上的中线长为2,

6.AABC的内角A,B,C的对边分别为C

则A4BC面积的最大值为（）

A.2B.2^/2C.2褥D.4

7.在等比数列〃｝中，。=1,92

a=16,则〃等于0

n1n

A.3B.4C.5D.6

8.如图是函数/（x）=Asina）x（A＞0,a）＞0）一个周期的图象，则

/(l)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)的值等于

10,函数/（x）=cos（2x+（p）［l（pl<g）图象向右平移看个单位长度，所得图象关于原

7171

点对称，则〃尤）在一9，可上的单调递增区间为（）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.等差数列｛。卜前足。=8,a+a=4,则其公差为________.

n319

12.如图，在三棱锥A-BCD中，它的每个面都是全等的正三角形，P是棱CD上的

动点，设CP=fCD（0<f<l）,分别记AP与BC,3。所成角为a,P,则

COSa+cosP的取值范围为.

13.设为第二象限角，若，则.

14,函数/G)=arcsinx+tanxGeL1』D的值域为.

15.已知数列｛a｝的前n项和为S,a=1,。=2且S-3S+2S+a=0

nn\2n+2n+Lnn

(neN*),记T=!+:■•+,,,+《-(neN*),若(〃+6)入NT对〃eN*恒成立,

12n

则九的最小值为

3x+2y-6<0

16.设*、y满足约束条件卜20,则2=》一》的取值范围是,

y>Q

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17,已知向量a=(cos3x,s%3x),方=(cosx,sinx),且gG)=p+Z?|.

(1)求函数/(x)和g(x)的解析式；

(2)求函数/(x)=/(%)+后(x+3)的递增区间；

(3)若3函数G(x)=/(x)-2九g(x)的最小值为-求)值.

222

18,已知圆C过点尸(L1),且与圆M:(x+2>+G+2>=厂2(厂〉0)关于直线：

x+y+2=0对称.

(1)求圆C的标准方程；

(2)设。为圆C上的一个动点，求风•诙的最小值.

19.已知圆C的圆心为(1,1),直线x+y—4=0与圆c相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线过点Q,3),且被圆C所截得的弦长为2,求直线的方程.

已知等比数列｛。｝的公比为夕，S是｛。｝的前几项和；

20.nnn

「a

(1)若a=1,q»l,求•的值；

1n—>coJ

n

(2)若a=1,Iqkl,S有无最值？说明理由；

1n

(3)设q=l,若首项％和/都是正整数，。满足不等式"一631<62,且对于任意正

t1

整数"有9<S<12成立，问：这样的数列伍｝有几个？

nn

21.已知余切函数/G)=cotx.

(1)请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；(不必证明)

(2)求证：余切函数/G)=cotx在区间(0,兀)上单调递减.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线y=x-i的距离，

利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案.

【题目详解】

将圆C:%2+w-6%+8=0化为标准方程，得(％-3)2+y2=1,

所以圆心坐标为(3,0),半径为厂=1,

则圆心到直线y=x—1的距离为』=

所以切线长的最小值为/=必二77=产T=i,故选A.

【题目点拨】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直

线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题.

2、A

【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为％和2的形式，列方程组，解方程组求得彳，"，

进而求得Ro”的值.

【题目详解】

S=3。+3d=3

由于数列是等差数列，故彳31解得a=-l,d=2,故

a=a+2a=5i

l31

a=a+1010d=—1+2020=2019

ioni,

故选:A.

【题目点拨】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，属于基础题.

3、A

【解题分析】

利用等差数列的基本量解决问题.

【题目详解】

解：设等差数列%｝的公差为d,首项为巴，

n1

因为2=4aa=-2

o37

8x7,..07、

8a+——d=4x(a+2d)

故有<1

a+6d=—2

i

a—10

解得i

d=-29

a-a+9d=10—18——8,

ioi

故选A.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的通项公式与前几项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量

法.

4、D

【解题分析】

将句=/代入递推公式可得，同理可得出和。

【题目详解】

,(,),,，则

【题目点拨】

本题用将的值直接代入递推公式的方法求某一项，适用于所求项数低的题目，若求项

数较高则需要求数列通项公式。

5、B

【解题分析】

于G)=asinx+bcosx='成+从sin(x+cp),所以3=1^=1

(71A兀1兀兀5兀

因此2sinx++l〉2nsin(x+)>n+2左兀<x+<+2kn(kRZ)

\3J32636

兀71

=^>--+2kn<x<—+2kn(JcGZ),选B.

62

6、D

【解题分析】

作出图形，通过/CDB+/ADC=71和余弦定理可计算出。=2,于是利用均值不等式

即可得到答案.

【题目详解】

c4+艺-拉4+e-6

根据题意可知=BD=&,而cosZAZ)C=------=-------,同理

22.2.f2c

2

40?

cosZCDB_4一“2，而NCDB+ZADC=R,于是cosZCDB+cosZADC=0,

C°S2c

021

即8+一一。2—加=0,又因为。2=成+C2,代入解得。=2.过D作DE垂直于AB

22

于点E,因此E为中点，故族=%,而

1----------------------4—RF2+RF2

S=_ABJ4-BE2=2d4-BE2BE<2-=4,故面积最大值

MBC22

为4,答案为D.

【题目点拨】

本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式

是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.

7、C

【解题分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.

【题目详解】

a=aqn-i=2«-i=16,n=5

n1

故选：c

【题目点拨】

本题考查了等比数列的计算，属于简单题.

8、A

【解题分析】

利用图象得到振幅4=2,周期7=8,所以3=q,再由图象关于(4,0)成中心对称,

把原式等价于求/⑴的值.

【题目详解】

7C7CX

由图象得：振幅4=2,周期7=8,所以3=所以/(x)=2sin丁，

44

因为图象关于(4,0)成中心对称，所以/(3)+/(5)=/(2)+/(6)=0,/(4)=0,

所以原式=/(1)=2sin4=J3,故选A.

【题目点拨】

本题考查三角函数的周期性、对称性等性质，如果算出每个值再相加，会浪费较多时间，

且容易出错，采用对称性求解，能使问题的求解过程变得更简洁.

9、D

【解题分析】

根据平面向量的数量积，计算模长即可.

【题目详解】

因为向量1口1=161=1,。g=—1,

贝(](d+3b)2=a^+6d-b+9冽=l+6x(-；)+9x1=7,

.-.Ia+3b1=跖，

故选:D.

【题目点拨】

本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题.

10、A

【解题分析】

根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出Q的值，结合函数的单

调性进行求解即可.

【题目详解】

函数/(x)=cos(2x+(p)[l(pl<£)图象向右平移弓个单位长度,

6

得到y=cos21x—亮+(p=cos(2x+(p-^-j,所得图象关于原点对称,

兀,n,5兀T〜

则甲一9=左兀+一,得(p=左兀+•一-,keZ,

26

71

当％=—1时,

贝"(x)=cos[2x—J

71

由2左兀一兀<2x-—<2左兀,keZ9

6

5兀71

得kn-——<x<kn+一，keZ,

1212

5兀71

即函数的单调递增区间为kn-—,kn+—,keZ,

兀兀

•/xe

J'7'

5兀71

当左=0时,-——<X<——,

1212

7171

即一_W一,

312

n兀7T兀

即/⑴在一3,3上的单调递增区间为一3“2，

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决

本题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、-3

【解题分析】

首先根据等差数列的性质得到。=2,再根据?=2d即可得到公差的值.

553

【题目详解】

a+a=2a=4,解得a=2.

1955

a_4=2d=-6,所以d=—3.

故答案为：-3

【题目点拨】

本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

’1#

12、

【解题分析】

作PE"BC交BD干E,连接AE,可得是AP与BC所成的角a

PEPD

根据等腰三角形的性质「.a_k_工，作PFIIBD交BC于F,同理可得

PAPA

PC

LUSU-------根据9，0C的关系即可得解・

PA

【题目详解】

解：作PEUBC交BD于E,连接AE,因为三棱锥4—6。中，它的每个面都是全等

的正三角形，...APDE为正三角形,

:.^PDA=^EDA,

:.AE=AP,ZAPE是AP与5c所成的角a

PEPD

根据等腰三角形的性质「ccC

PAPA

PC

作PFIIBD交BC干F,同理可得「水RCOS_u-k-，----

PA

PDPC

丁F

则cosa+cos3=44=_1._P_D__+_P__C__1.DC

PAPA2PA2PA

,:昱DCSPAvDC,?.1<££<2^,得cosa+cosPw173

2PA32'~'

’1G

故答案为:

2,~

【题目点拨】

本题考查异面直线所成的角，属于中档题.

13、24

~25

【解题分析】

先求出，再利用二倍角公式求的值.

【题目详解】

因为为第二象限角，若，

所以

所以.

故答案为

【题目点拨】

本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平，属于基础题.

兀兀

---tanl,—+tanl

14'L22J

【解题分析】

分析函数y=/(%)在区间Li,i］上的单调性，由此可求出该函数在区间Li,i］上的值

域.

【题目详解】

由于函和函数y=tanx在区间Ll,l］上均为增函数，

所以，函数/G)=arcsinx+tanx在区间上也为增函数，

且/(一1)=arcsin(-1)+tan(―1)=一;一tanl,/(1)=arcsinl+tanl=g+tanl,

当xJ-l/］时，/(-1)</G)</(1),

因此，函数/(%)=31\^11%+1211%6€［-1,1］)的值域为一g-tanl,£+tanl.

71<兀<

故答案为：_'_tanl,'+tanl.

【题目点拨】

本题考查函数值域的求解，解题的关键就是判断出函数的单调性，考查分析问题和解决

问题的能力，属于中等题.

1

15、-

【解题分析】

S-3S+2S+a=S-5-2(S-S)+a=a-2a+a=0,

n+2n+1nnn+2n+1n+1nnn+2n+1n

即

a-a-a-a,•••(«｝为首项为1,公差为2-1=1的等差数列,

n+2n+ln+1n

n(n+1)1J、=21_1

a=1+G-1)x1=n,S=

n-2~，Snn+1

n

.，11111In

T=21——+———++———,由Q+6)九＞T得

n223nn+1n+1n

2n2—I-1

),因为〃

G+l)Q+6m,6=2或"=3时，“+9+7有最大值1

nn

,1,11

.•.九之，即九的最小值为z，故答案为z

666

【方法点晴】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一

难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：

]1]1

®n(n+k)kn+k)'②+k+/

③3-1；3+1)=《白一金

1_11

④如3+1)G+2)2(n+l)G+2)此外，需注意裂项之后相消的过

程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

16.[-3,2]

【解题分析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为y=x-z在y轴截距取值范围的求解；通过直

线平移可确定y=x—z的最值点，代入点的坐标可求得最值，进而得到取值范围.

【题目详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

y

将l=%—y的取值范围转化为y=x-z在y轴截距的取值范围问题

由y=x平移可知，当y=x-z过图中A,B两点时，在y轴截距取得最大和最小值

•,•A(0,3),3(2,0).-.z=2,z=-3

maxmin

•••z=x—y的取值范围为_3,2

故答案为：-3,2

【题目点拨】

本题考查线性规划中的取值范围问题的求解，关键是能够将问题转化成直线在丁轴截距

的取值范围的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

2兀71

17、(1)/(%)=cos2x,g(x)=2|cosx|(2)递增区间为陕兀一丫,左兀一丁］,keZ

36

(3)九=」

2

【解题分析】

(1)根据向量的数量积坐标运算，以及模长的求解公式，即可求得两个函数的解析式;

(2)由(1)可得/G),整理化简后，将其转化为余弦型三角函数，再求单调区间即

可；

(3)求得G(x)的解析式，用换元法，将函数转化为二次函数，讨论二次函数的最小

值，从而求得参数的值.

【题目详解】

(1)f(X)=d•5=cos3xcosx+sin3xsinx=cos2x,

g(x)=|d+Z?|=/(cos3x+cosx)2+(sin3x+sinx)2

=、2+2cos2x=J4cos2x=2|cosx|.

(2)F(x)=/(%)+0/(%+：)=cos2x+^/TcosClx+^.)

=cos2x-y/3sin2x=2cos(2x+?

71

令2左兀-n<2x+<2kn,

2兀71

得/(X)的递增区间为陕兀一丁，左兀keZ.

36

(3)VXG[--1,0<cos%<1,G(x)=/(x)-2Xg(x)=cos2x-4Xcosx

22

=2COS2x—4'cosx-l=2(cosx-九"-2九2-1.

当九<0时，cosx=0叱G(x)取最小值为一i,这与题设矛盾.

当0W九W1时，cosx=九时，G(x)取最小值—2九2—1,

因此，_2Q_1=_。，解得九=：.

22

当九>1时，cosx=l时，G(x)取最小值1一4九，

由1一4九=-：3,解得九=53,与题设矛盾.

2o

综上所述，

2

【题目点拨】

本题主要考查余弦型三角函数的单调区间的求解，含cosx的二次型函数的最值问题，

涉及向量数量积的运算，模长的求解，以及二次函数动轴定区间问题，属综合基础题.

18、(1)%2+产=2；(2)-4.

【解题分析】

试题分析：(1)两个圆关于直线对称，那么就是半径相等，圆心关于直线对称，利用斜

率相乘等于—1和中点在直线x+y+2=0上建立方程，解方程组求出圆心坐标，同时

求得圆的半径，由此求得圆的标准方程；(2)设。G,y),则4+产=2,代入&.诙

化简得迎•诙=x+y—2,利用三角换元，设

x=>/2cos0,y=72sin0,0e[O,2K],所以

P2-M2=x+y-2=72(sinO+cosO)-2=2sin^0+lj-2>-4.

试题解析：

a-2b-2c0

----+------+2=0a-0

(1)设圆心C(a,。)，贝i]{2,J,解得{:一c，

b+2b=0

=1

a+2

则圆。的方程为X2+y2=/2,将点尸的坐标代入得r2=2,

故圆。的方程为、2+丁2=2.

(2)设。(x,y),则X2+W=2,且

PQ•MQ=(x-1,y-1)•(%+2,y+2)=x^+y^+x+y-^=x+y-2,

令x=々cos0,y二#sin。,。e[O,2TI],

P2-M2=x+y-2=V2(sin0+cos0)-2=2sin^0+^-2,

故A0•诙的最小值为-1.

考点：直线与圆的位置关系，向量.

19、(1)(x-1)2+(y—1)2=2；(2)3x-4y+6=0或x=2.

【解题分析】

(1)利用点到直线的距离可得：圆心C(1,D到直线x+y—4=0的距离d.根据直线

x+y—4=0与圆C相切，可得r=d.即可得出圆的标准方程.

(2)①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3=Zr(x-2),即：

kx-y+3-2k=0,可得圆心到直线/的距离4,又d2+l=2,可得：k.即可得出

直线/的方程.②当/的斜率不存在时，x=2,代入圆的方程可得：(y—1)2=1,解

得丁可得弦长，即可验证是否满足条件.

【题目详解】

,c,11+1-41K

(1)圆心C(U)到直线x+y—4=0的距离d=——=-=J2.

•.•直线x+y—4=0与圆C相切，...r=d=J，.

，圆的标准方程为：(x—l)2+(y-l)2=2.

(2)①当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3=Zc(x-2),

即：kx-y+3-2k=Q,d-,又d?+l=2,.1.(/=1.

巡2+1

解得：k=[3.

4

，直线/的方程为：3x-4y+6=0.

②当/的斜率不存在时，x=2,代入圆的方程可得：(y—1)2=1,解得y=l±l,可

得弦长=2,满足条件.

综上所述/的方程为：3x-4y+6=0或x=2.

【题目点拨】

本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考

查推理能力与计算能力，属于中档题.

20、(1)1—1；(2)—1<4<0,最小值1+4,最大值1；0<4<1,最小值1,无

q

最大值；(3)232个

【解题分析】

(1)由分类讨论，分别求得。，S,结合极限的运算，即可求解；

nn

(2)由等比数列〃｝的前几项和公式，求得S=J——J—P",再分qe(0,l)和

qe(—1,0)两种情况讨论，即可求解，得到结论；

(3)由不等式If—63R62,求得1</<125,在由等比数列3｝的前几项和公式，得

n

aflVaf1V

到S「口.卜⑺]，根据不等式9<S,<12成立，可得9<建[1—⑺]<12,

结合数列的单调性，即可求解.

【题目详解】

(1)由题意，等比数列伍),且q=1,

n

=几，所以lim'=Hm—=0

①当q=l时，可得a=1,S

n—>ooSn—»co〃

②当q>i时，可得。=qfS=二£1

〃〃1—q

所以lim

i—q

a1

综上所述，当“尸，时，吧丁=1-7

(2)由等比数列｛。｝的前几项和公式，可得S=二1=」—

nn\—n1-/71—/7

因为lql<l且qwO,所以_J_e(_oo,一t,

i-qI2)

①当“€(0,1)时，/(〃)=—二.""单调递增，此时S有最小值S=1,无最大值;

②当qe(—1,0)时，/(〃)=—,一­qn中，

i—q

当〃为偶数时，/(〃)单调递增，且/(")<0；

当八为奇数时，/(")单调递减，且/(〃)>。；

分析可得：S有最大值S=1,最小值为S=1+4；

n12

综上述，①当一时，的最小值为最大值为；