河北省邢台市部分高中2024届高三年级下册二模考试数学试卷(含答案)

河北省邢台市部分高中2024届高三下学期二模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.下列集合关系不成立的是（）

A.AA-AB.A0=0

C.（则（B）D.Oe0

2.若z.（2+i）=3-i?°27,则z的虚部为（）

711

A.-lB.-C.——iD.——

555

3.已知等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0,若的，%，&成等比数列，则｛4｝的

第5项为（）

A.-9B.-7C.—7或1D.—9或1

4.已知向量a在向量匕上的投影向量为;b,且,卜卜卜1,则卜-24的值为（）

A.lB.V3C.-D.—

42

5.已知函数/（x）=f+21nx的图像在5（々，/（々））两个不同点处的切

线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A.石+%2=2B.Xj+%2=C.%入2=2D.%

6.已知函数/（x）=sin（2x-g）,则下列结论中正确的是（）

A.函数f（x）的最小正周期T=2兀

B.函数/（九）的图象关于点（II,0）中心对称

C.函数/（九）的图象关于直线x='对称

6

D.函数/（%）在区间［0,-］上单调递增

4

7.已知实数a力满足小+从―|a|—|加=0,则|a+L一3|的最小值与最大值之和为（）

A.4B.5C.6D.7

8.设A,B,C,。为抛物线V=4y上不同的四点，点A,。关于该抛物线的对称轴

对称，平行于该抛物线在点。处的切线/,设点。到直线A3和直线AC的距离分

别为4，&，且4+&="），则sinNC4B=（）

A.1B.2C.1D.2

2244

二、多项选择题

9.下列命题为真命题的是（）

A.若样本数据再，x2,x3,x4,x5,4的方差为2，则数据3%-1,3x2-1,

3X3-1,3X4-1,3X5-1,3%T的方差为17

B.一组数据8,9,10,11,12的第80百分位数是H.5

C.用决定系数我比较两个模型的拟合效果时，若收越大，则相应模型的拟合效果越

好

D.以模型丁=0y去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性

回归方程为Z=2x+0.4,则c,左的值分别是e°“和2

10.若关于x的不等式产2+%之2/-xlnx在（。,+8）上恒成立,则实数。的值可以是

（）

A.lB.lC.逅D.2

e23

11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱（OO'中椭圆

长轴AB=4,短轴CD=2g,耳，「2为下底面椭圆的左右焦点，笈'为上底面椭圆的

右焦点，AAf=4,P为线段53'上的动点，E为线段A3,上的动点，为过点歹2的

下底面的一条动弦（不与A3重合），则下列选项正确的是（）

A.当月“〃平面时，P为36'的中点

B.三棱锥F；-F[CD外接球的表面积为8兀

C.若点Q是下底面椭圆上的动点，。'是点Q在上底面的射影，且。耳，。或与下底面

所成的角分别为a，B,则tan(o+/?)的最大值为-

D.三棱锥E-PMN体积的最大值为8

三、填空题

12.已知(尤-1)3+(x+l)4=尤4+%尤2+。1尤+。0，贝！J4=.

13.如图，四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形，面积均为300,图中阴影部分

也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿MN,NP,PQ,折起，得到一个无

盖长方体，则该长方体体积的最大值为.

14.在ZVLBC中，BC=6AC,NBAC=巴，点。与点5分别在直线AC的两侧，且

3

AD=1,DC=6,则3。的长度的最大值是.

四,解答题

15.如图，已知ABCD为等腰梯形，点E为以为直径的半圆弧上一点，平面ABCD,平

面BCE,“为CE的中点,6£=?1^=^£>=£>。=2,5。=4.

⑴求证：DM■〃平面ABE；

(2)求平面ABE与平面ZJCE所成角的余弦值.

16.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S“=2a”-1.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)：--1---1---FH---<2.

S、S、S.,S„

17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023

年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假

期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.

(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，自表

示选取的人中来自A中学的人数，求&的分布列和数学期望.

(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两

人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮

胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为巧，必.假设

甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当B+P2=，时，求甲、乙两位同学在每

轮答题中取胜的概率的最大值.

18.将f+产=2上各点的纵坐标变为原来的字(0<几<2)倍(横坐标不变)，所得

曲线为E.记P(-2,0),(2(1,0),过点P的直线与E交于不同的两点A,B,直线QA,

Q3与E的另一个交点分别为C,D.

(1)求E的方程；

(2)设直线AB,CD的倾斜角分别为c,，.当0<a<3时.

2

’.、[、.tanci>>/土

(1)求——的值；

(ii)若，-。有最大值，求2的取值范围.

19.在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式9型或三型极限的一种重要

000

方法，其含义为：若函数/(%)和g(x)满足下列条件:

①lim〃x)=0且limg(x)=0(或=oo,limg(x)=oo)；

②在点。的附近区域内两者都可导，且g[x)wO；

③lim4?=A(A可为实数，也可为垃)).

丫一〃Ml-v\

则lim妆=lim坐二

=A.

g'(x)

(1)用洛必达法则求lim上

sinx

232«-l

-X

(2)函数〃x)=l+x+土+上++"7------------(n>2,〃eN*),判断并说明〃龙)的

')2!3!(2«-1)!

零点个数;

⑶已知g(2x)=g(x)-cosx,g(O)=l，!■，!■]

求g(x)的解析式.

参考公式：lim/(x)=/(limx),lim4f(%)=Him/(x).

参考答案

1.答案：D

解析：

2.答案：D

解析：

3.答案：B

解析：

4.答案：B

解析：

5.答案：B

解析：

6.答案：D

解析：对于A,函数/(xQsinQx-g)的最小正周期7=5=兀，A错误；

对于B,由/(||)=sin(2x||-1)=lH0,得函数的图象不关于点(1|,0)对称，B

错误；

对于C,由/弓］=5m12*看-幻=0*±1,得函数/(力的图象不关于直线x=2对

称，C错误；

对于D,当xe［0g］时，2x--e［--,-］,而正弦函数y=sinx在［-巴，♦上单调递

433636

增，

因此函数/■(%)在区间［03］上单调递增，D正确.

4

故选：D.

7.答案：C

解析：易知点(a,切在曲线C：/+V_|%||丁|=0,曲线。关于原点中心对称；

而d」°+”3|表示曲线。上的点(。力)到直线/：%+y_3=0的距离，可知临界状态为

直线/与曲线C分别在第一、三象限相切，则d的最小值为孝，最大值为券,

故|a+b-3|的最小值与最大值之和为1+5=6,

故选：C.

8.答案：B

解析：

9.答案：BCD

解析：对A：若样本数据%，的方差为2，则数据3%-1,3x2-l,

3£-1，3X4-1,3X5-1,34T的方差为32X2=1847,故A错误；

对B：5x80%=4,则其第80百分位数是正经=11.5,故B正确；

2

对C,根据决定系数的含义知心越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确;

对D,以模型y=cd去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,

贝ljz=lny=lnc+lne"=lnc+Ax,由题线性回归方程为2=2x+0.4,则lnc=0.4,

k=2,故c,左的值分别是e°4和2,故D正确.

故选：BCD.

10.答案：AB

x-21

•-e-----1-1—2。%+Inx0（a\aV一

解析：依题意，X在（°，+8）上恒成立，当2

e“-2e'—2

------F1—2av+Inx2-----\~1—x+Inx—e"?”"+]—%+Inx

时，犬工,

令，=x—2—In%,则。⑺=e'T—1，//⑺=e'一1

故当te(-00,0)时,h'(t)<0,当。e(0,+oo)时,h'(t)>0

故/z(0>翻。)=0，故e，—+17+m%20,则不等式成立；

1

(J>一

当2时，令〃(x)=x_2Tnx,因为〃⑴=_1<0,

“(4)=2-222>。,故。(%)在(1,4)内必有零点，设为X。，则%-2=In/,

e"-2

_-----1-1-2ax+Inx=(1-2a)x<0

则e。2=%,故不000，不合题意,舍去；

1

综上所述，2.

故选:AB.

11.答案：ACD

解析：由题设，长轴长|AB|=|H3[=4,短轴长|CD卜26,

则|0娟=[0阊=|。同=1,

得工，网分别是。民0®中点，而柱体中ABB'A为矩形，连接。8',

由3或'〃O耳，8月=|0胤=1,.一.四边形耳03或'为平行四边形，0B7IFF；,

当片耳〃平面PMN时，片£'u平面ABB'A,平面ABB/平面PMN=Pg,

则耳耳〃/名，有OBFPF2,

△059中，「2是05中点，则P为3?的中点，A选项正确;

OF2LCD,\CD\=2y/3,\OF2\=1,则△F2CD中，阊=2,NC《D=120。,

「」乂皿

△月CD外接圆半径为=2,

2sinZC/^D

F2F^//AA,则耳与'，平面&CD,

22

三棱锥F；-F2CD外接球的半径为R=A/2+2=2V2,

所以外接球的表面积为4兀女=32兀，B选项错误；

点。是下底面椭圆上的动点，。是点。在上底面的射影，且Q'E，。或与下底面所成

的角分别为a,B,

=n,

令|QE|="Z，\Q^\贝11加+〃=4，又

l4〃4,/tana+tan64(m+n)16

则17ntana=—,tan〃=—,tan(tz+j3)=-----------=-------=------,

mn1-tanatan/3mn-16mn-16

tan(«+/?)=-----巴---，由椭圆性质知

-(/n-2)--12

则当加=1或加=3时，tan(a+⑶的最大值为-《，C选项正确；

由VE_PMN=%一"+%.PEFJ要使三棱锥石-体积最大,

只需△「£耳的面积和M,N到平面PEK距离之和都最大,

S八PEF2=SBF2EB,_SAPBF?—s八PEB，，令EB'=a,PB=b,且mZ?G[0,4],贝!Jp?=4—〃，

1/x11/,、b（a-i\

q

2△尸巡=—x4x（l+tz）--xlxZ?--X6?X（4-/?）=2+、]一-

当a=Z?=4时，有最大值S^PEFZ=8,

在下底面内以。为原点，构建如上图的直角坐标系，且8(0,2),则椭圆方程为

22

y「_

-----1-----——i1，

43

^MN:y=tx+l,联立椭圆得（3r+4卜?+6a-9=0,A=144（r2+1）>0,

XX4XX

_6t9\M-\=^XM+XN）2-MN=:

XXXN

M+—-3/2+4，MN3『+4'

令/=%—XN|=3；：］=*7,

3l+l

117

由对勾函数性质可知y=3/+；在［1,+oo）上递增，\xM-xN\mm=/=3，

综上，三棱锥E-尸aW体积的最大值为工x8x3=8,D选项正确.

3

故选：ACD.

12.答案：3

解析：

13.答案：1000

解析：

14.答案：3百

解析：

15.答案：（1）证明见解析

Q）叵

65

解析：（1）取跳的中点N,连接⑷V，肱V，则肱V〃5C且上亚=工3。，

2

又AD//BC^.AD=-BC,：.MNIIAD^-MN^AD-

2

ANDM为平行四边形,DM//AN-

又DM.平面ABE，/Wu平面〃平面A5E.

（2）取AD中点为E连接0尸，因为ABCD为等腰梯形，所以OFL5C，

又平面ABCD,平面BCE,平面ABCD平面5（%=8。，0/匚平面ABCD,

所以。/，平面BCE,

过点。作直线5c的垂线交5C于点G,

分别以OG，OC，O厂所在直线为x轴,V轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

BC为直径,，BE=-BC,:.ZBCE=30°，/BOE=60°，ZEOG=30°.

2

在等腰梯形ABC。中,=6，

.-.E(6,—1,0),C(0,2,0),D(0,1,®B(0,-2,0),A(0,-1,1),

:.CE=(A-3,0),CD=(0,-l,y/3),BE=(A1,0),BA=(0,1,6)•

设平面DCE的法向量为〃Z=(X,y,z)，

m-CE=0y/3x-3y=0

，令y=A/3则x=3,z=1•

m-CD=0—y+A/3Z=0

/.m=(3,y/3,1)，

TI-BE-y/3ci+b=0

设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),则<

ri-BA=y/3c+Z?=0

取〃=6,1),

设平面AB石与平面CDE所成的角为a，

m-n病

则cosa=

m|-|n~65~

「•平面ABE与平面CDE所成角的余弦值为病.

65

16.答案：(1)4=

(2)证明见解析

解析：(1)由S〃=2a〃—1,得当〃22时，S〃_]=2%_l,

两式相减得为二2氏一(〃22),当〃=1时，%=lw0,

因此数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以4=2")

1-2"

(2)证明：由(1)知S“=^^=2〃—1.

1-2

当”=1时，—=1<2；当〃之2时，2'i>l,

1

所以=2"—1〉2"—2"T=2"T〉0,所以工=11

<—r9

S.2"-12"~'

n

1-

1I=2/<2.

所以当〃之2时，—+—+—++Li+」H-------r=

2

S]S?2S33s,222"T

综上，-+—+—++2

SiS2S3r-

数学期望呜

17.答案：（1）分布列见解析,

⑵If

解析：（1）由题意知，自的可能取值为0,1,2,3,

噂=0)=|1=却%=D=裳=H

c'c212c31

仁2)=中=三，P(^=3)=-|-=-

所以J的分布列为

40123

418121

p

35353535

4181219

E(n=0x—+lx—+2x—+3x—=-

353535357

（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为Z,则2〜8（2,pj,

设乙答对题数为77,则〃〜3（2,2）.

设4="甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，

则P(A)=P(%=1)P(7=2)+P(力=2)P(7=1)+P(X=2)P(T7=2)

=C^(I-A)C满+C；p：C%2(1一0)+C；p；C；区

=20(1-Pi)区+2.2(1-°2)P；+p；p；

228

=-3p\P?+§〃也・

41

由O<P]<1,。《，2<1及〃1+〃2=§，得

则002Pl

i「14

又W<P]W1,所以P1P2C.

jLJ，_

-14-

Q

--

设。=0/2，则P(A)=-3/+T,te39

--

易知当r=d时，P(A)取得最大值屿.

927

所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为害.

27

22

18.答案：(1)—+^=1(0<2<2)

2X

(2)⑴|；(ii)件2]

解析：(1)设所求轨迹E上的任意点为(x,y)，与f+y2=2对应的点为&，x),

X=X],X]=%，

根据题意可得而即<2

y=-^-x，%二b

「2Y22

代入方程V+y2=2,可得+^y=2,整理得上+匕=1(0<%<2),

24

22

所以曲线E的轨迹方程为一+9=1(0<%<2).

2A

(2)⑴设直线AC的方程为〉=左(％—1),A(%,%)，3(%,%)，。(毛，%)，

D(x4,y4),

联立方程组炉)2整理得(几+2左2—4左2%+2左2—22=0,

----1*~~=1,

12A

软22k—22

贝I]A=（-4/）2—4（九+2左2）Q左2—2九）>0,且％]+%=

A+2k2A+2k2

可得（）22+442

mXi+x3-X1X3=二2,

2+2V

又因为p,A,3三点共线，可得

%+2x2+2

即A2y1—%%=2（%—%），

%M

=2%-32x「3=2（/%-%为）+3（%-%）=7（%-%）

3%2-4_3%i-4x2-%]x2-须

2%2—32xj—3

所以tanc=昌.=’

tanBkCD7

(ii)设直线AB的方程为y=加(％+2),其中m>0,

由(i)知，直线。。的斜率为7加,

则tanQgM）JmlTana=g6<3

1+tanPtanal+7m2—+7m3

m

当且仅当小7以即疗］时等号成立,

y=m（x+2）,

联立方程组J,2_整理得（2+2m）尤？+8m2%+8m2—22=0,

----1-----1,

[22

则A=64m4+4（2+2m2）（8m2-22）>0,解得2>2m2.

17

若，-。有最大值，则九>2><—=一，

77

又0<4<2,所以4的取值范围为《，2

⑶g(x)=丁*(-兀,。).(。,兀)

1,%=0

解析：(1)lim"=lim---二1.

%一°sinxcosx

2323

(2)=1+%+