广东省汕头市2024届高三教学质量测评试题(数学理)(2024汕头二模)

广东省汕头市2024届高三教学质量测评试题（二）（数学理）（2024

汕头二模）

参考公式：假如事务A、B互斥，那么P（4+B）=P（4）+P（8）.

假如事务4、8相互独立，那么P（4B）=P（A）・P（B）.

一.选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）

1.函数y=＜二斤的定义域是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]C.（l,+oo）D.[l,+oo）

2.已知命,题R,2'＞0;命题sinx0=2;,则（）

A.p\/q为真B.为真C.「pv夕为真D.为真

3.分类变量X和丫的列联表如下：

X乃总计

a

芭ba+b

Cdc+d

X2

总计a+ch+da+b+c+d

则下列说法中正确的是（）

A.加一历越小，说明x与y关系越弱；B.-历越大，说明x与y关系越强；

c.|加一儿|越大，说明x与丫关系越强；D.|〃/一庆|越接近于o,说明x与y关

系越强；

4.已知两条不同的直线/、机和两个不同的平面。、夕，则下列命题中为假命题的是（）

A.若a〃夕，/ua,则/〃£B.若a"夕，/"La，贝U_L4

C.若a_L£,aD£=/,〃？ua机_L/,则加_L£D.若/〃a,mua,贝U〃加

5.已知ABC£＞为平行四边形，则“|48+4。|=|48-40|”是“438为矩形”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

6.右图是某篮球运动员在一个赛季的30场竞赛中得分的茎

089

叶图，则得分的中位数与众数分别为（）112346789

20113335788

A.3与3B.23与3

301223489

C.3与23D.23与3401

7.下列四个命题中，正确的是（）

euIT

A.已知函数/（〃）=:sinxdx,则/"（上）］=1—cosl

Jo2

B.设回来直线方程为y=2-2.5x,当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位

C.已知J听从正态分布N（0Q2）,且P（-2<4<0）=0.4,则PC>2）=0.2

D.对于命题〃：*）£R,x；+工0+1<0；则-«p:VxuR,/+/+1>0

logi—+D”［OJ）

8.定义在R上的奇函数/（x）,当五之。时，/（x）=<2,则关于x的函

l-|x-3|,xep,-Ko）

数，

尸（力=/（X）-。（0<a<D的所有零点之和为（）状元源4-'

A.2fl-lB.2^-1C.D.1-2、

二.填空题〈本大题共7小题，只做6小题。每小题5分，满分30分）

9.设亚数z满意反=2-&•为虚数单位）,则复数z的模|z|=_______.

abx-12

10.定义运算=ad-bc,函？盟f（x）=图像的顶点是（也〃），且

cd-xx+3

k、小r成等差数列，则A+r=_______（起先）

11.直线%-丁+1=0交圆加：/+9=1于A8两点，则否

线段AB的垂直平分线的方程为，二1尸"1

p<3,/输1b/

12.已知实数满意：-1Wx+yW4且2Wx-.、<3>千

则z=2x-3y的最大值是______j（结束）

［LEH13

13.执行如图所示的程序框图，若输出的b值为16,

则图中推断框内“？”处应填的数为_________1a=a+\1

选做题：（二选一）

A

14.在极坐标系中，曲线夕=-4sin夕与夕cos6=1相交于点A,8,则代

\AB\=___________.

15.（几何证明选讲）如图，在四边形A8CD中,EF//BC,FG//AD,/\\/

EFFG

则nil---+----=________

BCADC

三.解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤）

16"（本小题满分12分）已知函数f（x）=3cos（8-1）+cos（Gx+;r）（©>0）图像的相邻两

条对称轴之间的距离等于万。

（1）求f（x）的表达式；（要写出推导过程）

（2）若8是直角三角形ABC的内角，求/（8）的值域。

17.（本小题满分12分）

某中学号召学生在今年暑假期间至少参与一次社会公益活动（以下简称活动）。该校学生会共

有100名学生，他们参与活动的次数统计如下表：

次数123

人数104050

用分层抽样的方法从中抽取10人作为样本，将这个样本作为总体。

（1）从样本随意选两名学生，求至少有一个参与了2次活动的概率：

（2）从样本随意选一名学生，若抽到的学生参与了2次活动，则抽取结束，若不是，则放回

重聚，求恰好在第4次抽取后结束的概率。

18.（本小题满分14分）

如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线力E,将平面40石折起（转动肯定角度），得到

四棱锥A—8C£）E,设CO、BE.AE,的中点分别为M、N、P、。，平面ADE

_L平面BCDEo

（1）求证：平面ABC_L平面AC。：

（2）求证：M、N、P、。四点共面；

（3）求异面直线3石与MQ全部的角。

19.（本小题满分14分）某厂家拟在2024年实行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量

2

（即该厂的年产量），万件与年促销费用x万元（xNa,。为一个正常数）满意，=3------,

x+1

已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品须要再投入6万元，厂家

将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分

资金）。

（1）将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数;

（注：利润=销售收入一总成本）

（2）该厂家2024年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大?

20.（本小题满分14分）已知摘员的C两个焦点分别为6（0,7）,玛（OR，离心率P

2

是桶圆C在第一象限内的一点，且|F用尸用|=1・

（1）求精圆C的标准方程；"

（2）求点尸的坐标；一

（3）若点。是椭圆C上不同于F的另一点，问是否存在以产。为直径的圆G过点玛？若存

在，求出圆G的方程，若不存在，说明理由。/

21.（本题满分14分）数列｛（｝是首项为片，公差为d的等差数列，若数列｛凡｝中随意不同

的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”

（1）试写出一个不号“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；

（2）求证：数列｛q｝为''封闭数列”的充分必要条件是存在整数机2-1,使“二〃以。

绝密★启用前试卷类型：A

汕头市2024年一般中学高三教学质量测评试题

数学(理科)参考答案与初步评分标准

一、选择题：BACD,CDAD

二、填空题：

9.答石；10.答一9;11.答x-y=O；12.答：8：13.答4；14.答2行；15.答：1.

解答：

1.解：v1-x>0,x<1,.•.选B.

2.解：•・•「真，4假，pvq为真，.,.选A.

(〃+b+c+d)(ad-be)2

3.解:,Bod-be|越大，则&2越大,

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

・・・X与Y关系越强，.•.选C.

4.解：二,/〃。，，〃<=1时/与7«可以异面，「.选口.

5.解：•••|赤+诟|=|族-而Io|而+而『=|砺一而茄•而=一2赤.而

=A8-AD=0<=>A8_LAD,又ABCD为平行四边形，ABCD为矩形，.•.选C.

法二：|AB+4O|=|A8-AD|=|ACR8QI，对角线相等的平行四边形为矩形。

6.解：•・•23出现3次，为最多，.•.众数23

,比23大的数有14个，比23小的数有13个，，中位数为23,.,.选D.

7.解：丁/(“)=『sin犬dr=(—cosxjl=1—cosa

/(1-)=1,/(1)=1-COS1,即/=.•.选A.

8.解：—14%v0=>12-x>0,xK—10—xNl,又f(x)为奇函数

共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为司,々，七，与，与，则

5rt

再+电-―3,%+'=3,ffi]-log](-x3+1)=a=>log2(1-x3)=«=>x3=1-2,

222

可得的+%+“3+工4+匕=1-2",.,.选D.

9.解：vz==-1z1=7(-1)2+(-2)2=V5.

i

x-[2

10.解：f(x)='=(x-l)(x+3)-2(-x)=x2+4x-3=(x+2)2-7

-x,x+3

tn=—2,n=-7,/.A+r=m+〃=-9.

11.解：•.•线段AB的垂直平分线过圆心（0,0）,且斜率为—1.•.方程为y=—x.

x+y>-\

x+y<4

12.解：画出满意不等式组＜的可行区域，在可行域内平移直线z=2x-3y,当直

x-y>2

x-y<3

线经过x+y=-l与x-y=3的交点A（l,-2）时，目标函数有最大值z=2xl+3x2=8.

13.解：依据，程序框图中的当型循环，设“？”处填。可知：

若i=l,则第一次运行即退出循环，则输出的的值为1,不合;

若/=2,则其次次运行即退出循环，则输出的的值为2,不合;

若i=3,则第三次运行即退出循环，则输出的的值为4,不合;

若i=4,则第四次运行即退出循环，则输出的的值为16,符合；.•.i=4.

14.解：化为直角坐标方程即圆C：/+/+4丁=0和直线/：工=1,圆心c（0,—2）到直线

的距离为1,圆的半径为2,

|AB\=A/22-12=V3„\|AB\=26.

22

法二：在极坐标系中干脆作出该圆和直线,:.-\AB\=72-1=瓜AB\=243.

2

EFFGAFFC

15.解:--------1------------------H-----------

BCADACAC

三.解答题：

16.解：(1)f(x)=>/3cos(aw-y)+cos(ai¥+^)=V3sincax-coscox2分

(每个诱导公式1分)

=2(—sincox--coscox)---------3分

7T

=2sin(m——)---------4分

6

由条件有4丁=二T=2凡----------5分

2

—=2乃,fW=1一6分

CD

rr

/(x)=2sin(x---)一7分

6

(2)由条件0<B0工T分

2

冗n冗冗冗冗

：.——<B——<---------=—-2分

66263

1.%,百

/.—<sinZ(BD——)<——一3分

262

-4分

的值域是（-1,行］.----------5分

17.解：（L）因参与活动1次、2次、3次的人数比例为10：40：50,即1：4：5；一1分

故样本中参与活动1次、2次、3次的人数分别为1人、4人、5人----------2分

记事务A为“恰有一人参与了2次活动”，事务B为“恰有两人参与了2次活动”，则A与B

互斥。----------3分

故P…等咤

4分

6

P5分

45

...P(A+5)=P⑷+9)/+盘十号

答：至少有一人参与了2次活动的概率为2.----------6分

3

（2）记事务C为“恰好在第4次抽取后结束”

42

每一次抽到参与了2次活动的学生的概率均为一即一，----------1分

105

抽到参与了1次或3次活动的学生的概率为巳3，----------2分

依题即前3次均取到参与了1次或3次活动的学生，第4次取到参与了2次活动的学生

3分

37

・"遥七-4分

_54

5分

-625

答：恰好在第4次抽取后结束的概率为急.6分

18.（1）证明:由等腰直角三角形4BC有AOJ_OE,CD1DE,DE〃BC1分

又AOcCD=O,/.面ACD,2分

又DE/7BC

..BC1平面ACD,BCu平面ABC,一3分

平面A8CJ_平面ACO。-----------------4分

⑵由条件有PQ为AAOE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线1分

Z.PQ/ZDE,MN/7DE~2分

/.PQ〃MNT分

/.M、N、P、Q四点共面.4分

⑶解法一：•.•平面平面5cOE,交线为DE,AD_LDE

ADlffiBCDE1分

」.AD、DC、DE两两相互垂直

可以以D为原点建立如图空间直角坐标系，2分

设AD-2(K度单位)，则DC-2,BC-4,

则C(2,0,0),A(0,0,2),E(0,2,0),

B(2,4,0)3分

BE=(-2-2,0),AC=(2,0-2)4分

设异面直线BE与MQ所成的角为0,•..MQ〃BC,

cos6=|cos<BE,AC>|

BE・AC

5分

\BE\\AC\4

v0<^<-,:.0=-

23

••・异面直线BE与MQ所成的角大小为--6分

解法二：设AD=1（长度单位），则DC=1,BC=2,

延长ED到R,使DR=ED,连结RC—1分

则ER=BC,ERIIBC,故BCRE为平行四边形“2分

ARCIIEB,XACIIQM

・•.NACR为异面直线BE与QM所成的角0（或刀的补角）

3分

D.

「DA=DC二DR,且三线两两相互垂直,•M

:,由勾股定理得AC=AR=RC=V2,4分RC

「.△ACR为正三角形，NACR=^------5分

3

/.异面直线BE与QM所成的角大小为工——6分

3

解法三：设AD=2（长度单位），则DC=2,BC=4,

取BC中点K,再取CK中点H,连结MH,则在梯形BCDE中可得MH〃BE

为异面直线BE与MQ所成的角夕

（或。的补角）------1分

且MH=^BE,CH=-BC=1,又CM=1,

24

R/ACHM中，可得MH=Ji

又RtAMDQ中可得QM=V2,

-------------2分

又RfADCH中可得DK=有，

RfAQDH中可得QH==y/QD2^DH2=yjQD2+DC2+CH2=屈-------------3分

・•.cos*gsNQM”|W2+"H2-Q/

2QMxMH

,(V2)2+(V2)2-(V6)2,1一

=1------------7=-7=----------1=-----------------------5夕

2V2xV22

-/0<^<—,:.O--

23

/.异面直线BE与MQ所成的角大小为-------6分

3

19.解：(1)•/r=3---------.

x+\

每件产品的销售价格为1.5x任曳(元),----------1分

I

・•・2024年的利润y=r(1.5x的也)_(8+⑹+/)---------------3分

t

=4+8z-x=4+8(3--—)-x

x+l

即y=28———~x[x>a)---------------5分(定义域占1分)

x+1

2分

由y=0解得X=3（舍去-5）3分

令y，>0得Ovxv3xe（0,3）时，y为增函数,4分

令y'<0得x>3,xw（3,+8）时，y为减函数-----------5分

••・当a>3时，y在［a,+8）上为减函数，x=〃时，y最大----------6分

当aK3时，y在［43）上为增函数，在［3,+8）上为减函数，

x=3时，y最大---------8分

综上所述，.当a>3时，该厂家2024年投入的促销费用。万元时，厂家的利润最大，

当时，该厂家2024年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大。-------9分

22

20.解：（1）依题可设椭圆方程为当+餐\(a>b>0)

ab“

把y=l代入乙+二=1得X=3或工二一3（舍去）

4322

3

/.P（-4）-------------------4分

2

法二：由|PK|-1PB1=1得点P在以耳（0-1）,「2（°』）为焦点，实轴长为1的双曲线的上支

上，-------------------1分

22

双曲线的方程为〒_『=1-------------------2分

44

22Q

联立2vL+-=1得/=_2=]-----------------3分

434

因P在第一象限内，故x=3,y=l

2

/.P(-,l)------------------4分

2

(3)设存在满意条件的圆，则p尸2,QE，设Q(s,f)，则

(一|,0)・(一5,17)=0------------------1分

3

得己s+0x(l-z)=0

2

得s=0------------------2分

t2s2

又二十二二1,r=±2------------------3分

43

.•.。(0,2)或。(0,—2)------------------4分

J13J13

2「二|「。|=三,..，==，

3