2023-2024学年北京市高一年级下册期中考试联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市高一下学期期中考试联考数学

模拟试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

.11兀

sin----

1.3的值为（）

_旦_V|VI

A.2B.2C.2D.2

2.下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是（）

y=si.n（x+—兀）

A.1MB.尸tanx

Qj^=cos2xD＞=sin2x

3,设向量l=（3,4），B=（T，2）,则COS〈瓦B〉=（）

2V52V5_V|旦

A.5B.5C.5D.5

,1

4.在△/8C中，已知3,a=2,3,6=3,贝版二()

A.1B.6C.2D.3

5,函数/(x)=/sin3x+°)(其中/>0。＞0,°＜夕＜=）的图像的一部分如图所示，则此

函数的解析式是（）

/(x)=3sin]?x+3乃）

B.

f(x)=3sin^x+^713兀

/(x)=3sin-x-\-----

D.84

TTJT

f（x）=sin（2x+—xe[0,—]

6.函数62的最大值和最小值分别为（）

-----1

A.2B.C.2'D.I

7.已知向量原3/在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为i,则

(a+b)-c=()

A.2B.-2C.1D.-1

8.在。台。中，已矢口〃3$8+6354=2℃05/,贝()

71717171

A.6B.4c.§D.2

f(x)=2sina)x+—3>o)则，J（x）在1'§」上既不是增函数也不是减函数，，

9.已知函数

是“。＞1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.如图，正方形/BCD的边长为2,尸为正方形四条边上的一个动点，则西•丽的

取值范围是（）

A.[T2]B.[°aC.[°川D.[一闻

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知圆的半径为2,贝160。的圆心角的弧度数为；所对的弧长为

12.已知向量'=（一2,3）,"=0，-6）,若方“，则同=,x=.

71

13.若函数/（x）=/sinx-ecosx的一个零点为则/=.将函数“X）的图象向

左至少平移个单位，得到函数>=2sinx的图象.

14.设平面向量落分忑为非零向量，且&=（L°）.能够说明“若小分=心,，则很=3”是假命题的

一组向量2己的坐标依次为.

“、C0S7IX

/（X）=7

15.已知函数年+1,给出下列四个结论：

①函数/（X）是奇函数；

②函数/（X）有无数个零点；

③函数/（X）的最大值为1；

④函数/（X）没有最小值.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16.在平面直角坐标系x°y中，角夕以°、为始边，终边经过点（一1「2）.

（1）求tan。，tan2。的值；

sin6,cos<9,cos|6）+—|

⑵求I4J的值.

17.已知平面向量”也同=2，W=3,"与B的夹角为60。，

（1）求矛，庐/不;

（2）求（2@-W•（万+3坂）的值：

（3）当x为何值时，xl-B与1+3*垂直.

18.已知函数〃x）=sin2x+cos2x.

⑴求

（2）求函数，（x）的最小正周期及对称轴方程；

（3）求函数A©的单调递增区间.

19.在△"BC中，a=7,6=8,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

⑴求力；

（2）求的面积.

cosB=——

条件①：c=3；条件②：7.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

/(x)=2COS2X+cos2x---1

20.已知函数I3>

71

⑴求的值;

⑵求函数/a）的在m兀］上单调递减区间；

（3）若函数/（、）在区间曲“］上有且只有两个零点，求优的取值范围.

71

21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为§的一块扇形空置地（如图），现欲

从中规划出一块三角形绿地尸2公，其中「在前上，PQ'AB,垂足为°,PRLAC,垂足

（1）求尸°,PR（用。表示）；

（2）当尸在8C上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时。的值.

1.A

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.

.11K.71V3

sin-=---sinf4K-y=-sin—=------

【详解】332

故选：A

2.C

【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.

712IT

y=smx+:T=——=2兀

【详解】对于A,I”的最小正周期为：1，故A不正确；

T二二二兀

对于B,>=tanx的最小正周期为：1,

y=tanx的定义域为112J,关于原点对称，令八xrtanx,

则/(f)=tan(f)=-tanx=./(x),所以ktanx为奇函数，故B不正确；

对于C,>=c°s2x的最小正周期为：2,

令g(x)=cos2x的定义域为R关于原点对称，

则g(f)=cos(-2x)=cos2x=g(x),所以昨cos2x为偶函数，故c正确；

2兀

,cJ.——7T

对于D,>=sm2x的最小正周期为：2,

y=sin2x的定义域为R,关于原点对称，令"x)=sin2x,

^A(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-A(x)(所以昨sin2x为奇函数，故D不正确.

故选：C.

3.D

【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.

八a-b3x(-l)+4x245

_cos(a,b〉—----=,=—.=-=—

【详解】向量"=('4)/=(T,2),则\a\\b\后+4?xJ(一I)?+2?5

故选：D

4.D

【分析】直接利用余弦定理求解即可

cosA=-[-

【详解】因为在A4BC中，3,a=213,6=3,

所以由余弦定理得2bccosN,

,1

12=9+C2-6X-C,

3，得L-2C-3=0,

解得。=3,或，=一(舍去)，

故选：D

5.C

【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式,

结合特殊值法进行求解即可.

【详解】由函数图象可知函数的最大值为3,所以4=3,

由函数图象可知函数的最小正周期为4x(6-2)=16,

4x(6—2)=16==><y=—=3sin—x+(p

因为。>0,所以。8,所以(8九

由图象可知：

(71\717171

3sin—+(p=3n——\-(p=2k7i+—(keZ)^>(p=2k71+—(A:Z)

"2)=3,即(4)42V4G\

因为°<。<万，

7T71

cp=—/(x)=3sin—XH——

所以令左=°，所以4,因此84

故选：C

6.A

【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.

X€[。与c।兀「兀7兀1-兀兀兀

E.[一,—J2x-\—=—x=-/'z\_1

【详解】由2,得666,则当62,ip6时，"X)max=l

c兀7兀兀

2x+—=—x=—/("in=-1

当66,即2时,

1-1

所以所求最大值、最小值分别为‘2

故选：A

7.B

【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.

|a|=42,\b|=2,|c|=2,{a,b)=^,b1c,(a,d)=

【详解】依题意,

a-c=|a||c|cos—=V2x2x(-^-)=-2

因此42，b-c=0,

^^(a+b)-c=a-c+b-c=-2

故选：B

8.C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.

【详解】在中，由acos8+6cos/=2ccos/及正弦定理，得

sin/cosB+sin3cos4=2sinCcos/,

则sin（/+5）=2sinCcos/,gpsinC=2sinCcosA,而sinC>0,

,1

cosA=—

因此2,而0</<兀，

A=-

所以3.

故选：C

9.B

711

COXHCD>一

【分析】以3为整体结合正弦函数的性质可得2,进而根据充分、必要条件分析判

断.

7T717171

XG0,—GX+—W一,一〃？+一

【详解】因为L3」且。>0,则3333

若/（X）在1°'3」上既不是增函数也不是减函数,

7171711

—CD+—>—a)>—

则332解得2,

又因为（1，+0°）口〔5'+0°

所以"/a）在L'§」上既不是增函数也不是减函数”是“①>1”的必要不充分条件.

故选：B.

10.D

【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在8c上，点尸在上，点尸在4D

上，利用数量积的坐标运算求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系:

则，(0,2),3(2,2),

当点P在CD上时，设尸(乂°)(°-%-2),

则成l=(x,-2),由=(x_2-2),

所以包•甫=x(x-2)+4=(x-1)2+3e[3,4]

当点尸在8c上时，设尸(2乃(°-y-2),

则南=(2/_2),屈=(0/_2),

所以瓦历=(.2)2e[0,4]

当点尸在上时，设尸(乂2)(°-%-2),

则南=(x,。),无=(x-2,0),

所以南无=>(，-2)=。-1)2-14-1,01

当点尸在AD上时，设"(Q")(°-7-2),

则应=(O,y_2),月=(-2/_2),

所以灰占,一了邛山；

综上：刀•方的取值范围是[T4]

故选：D

7i1242

一—71------71

11.3##33##3

【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.

60x-=2E2x-=—

【详解】60。的圆心角的弧度数为1803；所对的弧长为33.

712兀

故答案为：3.3

12.屈4

【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x.

【详解】因为向量l=(々3),所以同=，2)2+32=屈,

又3=(工,-6)且山区,

所以3x=-2x(-6),解得x=4.

故答案为：屈；4.

兀1

———71

13.13##3

【分析】利用零点的意义求出A；利用辅助角公式化简函数"X),再借助平衡变换求解即得.

.石—^sin--A/3COS—=0

【详解】函数/。)=恁1皿-138$了的一个零点为3,得33，解得/=1；

f(x)=sinx-6cosx=2sin(x--)/(x+—)=2sin[(x+-)--]=2sinx

则3,显然333,

71

所以/(X)的图象向左至少平移3个单位，得到函数y=2situ的图象.

71

故答案为：1；3

14.(0,1),(0,T)(答案不唯一)

【分析】令向量瓦0与向量Z都垂直，且1*3即可得解.

[详解]令I=(°J)，c=(°，T),显然.=0=小君,而小干,

因此B=(0，1)，c=(0,T)能说明“若,Z=03,贝藤=3，，是假命题，

所以向量2己的坐标依次为(°，1)，(°，T).

故答案为：QD(QT)

15.②③

【分析】根据偶函数的定义判断①，令/6）二°求出函数的零点，即可判断②，求出函数的

最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.

、COS7LX

/(X)=-9

【详解】函数X+1的定义域为R,

//、COS(一兀X)COSTLY//、〃/、C0S7LX

f(-x)=--=^—=/W/(x)=

又(-%)-+!式+1，所以<J/+1为偶函数，故①错误;

r,、C0S7DC__,兀「,1―

/(X)=-......=0=cos7tr=O=>7Lr=^7r+—(A:GZ)=>X=A:+—(ATGZ)

令/+122

所以函数/（x）有无数个零点，故②正确;

因为|cos词VI,当亦=加（丘Z）,即x=L（左eZ）时取等号，

,0<-;—<1

又因为X+121,当且仅当x=0时取等号，所以有X2+1,当且仅当x=0时取等号，

|cos利V]f（x}=COS7VC<1

所以有f+l一,当且仅当X=0时取等号，因此有-/+]—,即/（£Lx=/（°）=l,

故③正确；

ZCOS7LX

因为为偶函数，函数图象关于了轴对称，只需研究函数在（°，+00）上的情况即可,

当Xf+00时—+1,又一14cos71X41,所以当时JUJfU,

又/G)max=/(0)=1,

当“2时COS7LT>0,X2+1>0,所以

]_3

当2X2时一14cos7U<0,x2+1>0,所以/(“)<。，

当x>l时f+i>2,0<|COS7LX|<1所以>⑸<2,

又，0-。,O,且/(X)为连续函数,所以/(X)存在最小值,

事实上/（X）的图象如下所示：由图可知/（X）存在最小值，故④错误.

故答案为：②③

【分析】（1）由三角函数的定义求出tan。，再由二倍角正切公式求出tan2。；

（2）由三角函数的定义求出sin。，cos。，再由两角和的余弦公式计算可得.

【详解】（1）因为角夕以为始边，终边经过点（T，＜）,

tan<9=—=2tan26*=—tan2x24

所以-1，则l-tan?。1-223

（2）因为角6以公为始边，终边经过点（T，一2）,

sin*,一2=*cos”丁T=总

所以7(-1)2+(-2)25,[(-1丫+(-2)2

cos0+—=coscos——sinsin—

所以l44

音x交/2]苕二叵

5215J210

17.(1)4,9,3；

⑵一4；

30

x二一

⑶13

【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.

（2）利用数量积的运算律计算即得.

（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.

【详解】（1）向量”也同=2，忖=3为与B的夹角为60。，

所以不=|a|2=4,62=|b|2=9,a-b=|31|K|cos60°=3

（2）依题意，（2万一B）・（5+3B）=2a2-3b2+53-6=2x22-3x32+5x3=-4

（3）由（x）—B）,（5+3B）=0,^xa2-3b2+（3x-l）a-b=4x-27+3（3%-1）=13%-30=0解

30

x=一

得13,

30

x——

所以当13时,xa-b与G+3b垂直

18.(1)1；

71ku

x=--\--左--wZ

⑵兀，82

3兀7兀7

----------------Fkit.—Fku/eZ)

88

(3)

【分析】（1）代入计算求出函数值.

（2）（3）利用辅助角公式化简函数/（X）,再结合正弦函数的图象与性质求解即得.

【详解】(1)函数/(X)=sin2x+cos2x,所以7(0)=sinO+cosO=1

/(x)=V2sin(2x+—)T=—=n

(2)函数4,所以函数A©的最小正周期2.

2x+—=—+kit,k&Zx=—+—,keZ

由42，解得82,

_TIkTi

X=---1----£Z

所以函数/(x)图象的对称轴方程为82

--+2kn<2x+—<—+2kit,keZ--+ATI<x<—+lat,keZ

(3)由242，得88

3兀7兀77、

-------1■仇一+EGZJ

所以函数八幻的单调递增区间是L88」

19.⑴选①②答案相同，3；

⑵选①②答案相同，08C的面积为66.

【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos/,从而得到答案；选②：先用余弦定理求出。=3,

_sinA.=—

再用余弦定理求出cos/,得到答案；（2）选①，先求出2,使用面积公式即可;

选②：先用sinC=sin（4+2）求出sinC,再使用面积公式即可.

【详解】（1）选条件①：。=3.

在△NBC中，因为。=7,6=8,c=3,

cosA==64+9-49=工

由余弦定理，得2bc-2x8x3-2.

因为/e（O,兀），

ZA=-

所以3；

cosB=--

选条件②：7

2222

Da+c-b49+C-641

COSD—__________—___________----

由余弦定理得：2ac14c7,解得：c=3或-5（舍去）由余弦定

cos/=-2=竺止丝」

理，得26c2x8x32.

因为北（0,兀），

Z/A/=—兀

所以3.

（2）选条件①：c=3

sinA=——

由(1)可得2.

S=-!-Z>csin^=—x8x3x—=6\/3

所以O8C的面积222.

cosB=--

选条件②：7.

,1

cosA--

由⑴可得2.

因为sinC=sin[K一(/+5)]

=sin(4+B)

=sinAcosB+cosAsinB

V3.1.1473

=x()H——x----

2727

373

F,

_1,•_1,Q3A/3_/r

,八cSc=—absinC=-x/x8x----=673

所以"BC的面积2214

3

20.(1)2

兀7兀

⑵另五一

5兀4兀

⑶[653

【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得;

2x+——<2x+—<—

（2）由x的取值范围求出'3的范围，再根据正弦函数的性质得到2一'3-2,解得

即可；

c兀

2xH—

（3）由％的取值范围求出3的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

f(x)=2COS2X+cos2x~~-1

【详解】(1)因为I3>

=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

33

30e「

=—cos2xH---sm2x

22

=V3^cos2x+|sin2x=^sin^x+|

・兀兀gn空=3

sin2x—i—

I63

所以32

_71717K

r-i2x+—G

(2)当xe［n。，兀］时3J'T

兀，c兀,3兀

—<2x+—<——A<X<ZZE

令232,解得1212

717兀

所以函数"x）的在［°，兀］