辽宁省部分高中2023-2024学年高三年级下册第三次模拟考试数学试题

辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若全集U=R,A=｛x\x<2｝,S=｛y|y=e\xeR）,则下列关系正确的是（）

A.A=BB.B=AC.B=0VAD.纵4三B

2.已知复数z在复平面上对应的点为（加,1）,若匕>一2,则实数加的值为（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

3.已知正实数a,b,贝『2+2642”是“/+4从42”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

4.已知平面非零向量Z,b，满足|句=向,H（2a-^S）±S,则&,初=（）

兀兀一兀C

A.—B.—C.—D.0

643

5.在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数

为x,随机变量y=2x+3,则y的方差£>（y）的值为（）

A.21B.6.6C.3.6D.4.8

6.已知对数函数〃x）=log.x,函数/（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原

来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好

与函数〃x）的图象重合，则。的值是（）

A.-B.|C.—D.V3

233

22

7.设点片，工分别为椭圆C：£+9=1的左、左焦点，点尸是椭圆C上任意一点，若使得

o4

西•成=加成立的点P恰好有4个，则实数用的值可以是（）

A.0B.2C.4D.6

8.已知数列｛%｝中各项均为正数，且确=。”（〃=1,2,3「一），给出下列四个结论：

①对任意的〃eN*,都有。">1

②数列｛%｝可能为常数列

试卷第1页，共4页

③若。<生<2,则当〃22时，％<%<2

④若％>2,则数列{%,}为递减数列.

其中正确结论有（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.关于二项式（3x-l）5的展开式，下列说法正确的是（）

A.第三项系数为270B./的系数为90

C.二项式系数和为25D.系数和为2$

10.已知max{尤］,无2,…,西,}表示西,工2,…,天这〃个数中最大的数.能说明命题“Va,6,c,deR,

max{a,6}+max{c,d}2max{a,6,c，4”是假命题的对应的一组整数°,b,c,d值的选项有

（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,-1,-2,-3D.5,3,0,-1

11.已知双曲线及直线/：y=丘-1,若/与C交于4,2两点，。是坐标原点，

且“03的面积为血，则实数上的值可能为（）

A.0B.-C.—D.—

222

三、填空题

12.某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的

中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）.已知该同学绘制频率

分布直方图时确定的极差为60,组距为10,据此估计此次考试成绩的平均数是.

上频率

八组距

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O2成绩/分

试卷第2页，共4页

13.若函数/(》)=5山卜+］卜55的图象关于x=a(a*O)成轴对称，则。的值可以

为.(写出一个正确的值即可)

14.已知正四面体48CD棱长为2,点耳月分别是。3C,AABD,A/CD内切圆上的

动点，现有下列四个命题：

①对于任意点6，都存在点A,使月月•赤=0；

②存在用巴，使直线＜心，平面N3C；

③当|耳冏+厘有|+R用最小时，三棱锥4-65A的体积为中

④当侬H豆冏+R用最大时，顶点A到平面松月的距离的最大值为日.

其中正确的有.(填选正确的序号即可)

四、解答题

1T

15.如图所示，在梯形"BCD中，ABHCD,NADC=—,AB=2AD=2CD=4,NP工平

2

面/8CD,CQ//AP,AP=2,CQ=3,"为43中点.

⑴证明：〃平面/DP；

(2)证明：QMLCD.

⑶求平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值.

2兀

16.ABC的内角4B,C的对边分别为Q,b,c,已知3/-a?一°2=2Q°,2C+B=—.

(1)求角3；

(2)若a=2,设尸，。分别是边AS、8C上的动点(含端点)，M•当1尸。1取

得最小值时，求点B到直线P。的距离.

17.已知函数“x)=x(l-y),其在x=l处的切线斜率为1-2e.

试卷第3页，共4页

(1)求a的值；

(2)若点(m,〃)在函数/(x)的图象上，求/(加)-/(〃)的取值范围.

18.为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省

举办高中生数学建模竞赛现某市从N两个学校选拔学生组队参赛，M,N两个学校学生

总数分别为1989人、3012人.两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的

人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从N两个学校初选人中共选择5名学生组队参

赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X.

(1)求随机变量X的分布列及数学期望£(X)；

(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之

后每轮进行两人单独交流.假设某队决定由/起稿建立模型，/从其他四名成员中选择一人

3进行交流，结束后把成果交由瓦然后3再从其他包括/在内的四个成员中选择一人进行

交流……每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评

委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验.在每

次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为;，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概

率相等，比赛由甲同学起稿建立模型.

①求该组第三次交流中甲被选择的概率；

②求第〃次交流中甲被选择的概率(”420,〃eN+).

19.设抛物线C的方程为必=4x,M为直线=上任意一点；过点V作抛物线

C的两条切线MB,切点分别为4B(N点在第一象限).

⑴当"的坐标为，1,时，求过A,2三点的圆的方程；

(2)求证：直线48恒过定点；

(3)当加变化时，试探究直线/上是否存在点使为直角三角形，若存在，有几个

这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】求出集合3中函数的值域，得到集合3,判断两个集合的包含关系.

【详解】全集。=R,A={x\x<2},则令/=何无22},

8={y|y=e',xeR}={y|y>0},所以务NqB.

故选：D

2.A

【分析】由条件结合复数的几何意义，得到z=〃?+i,根据匕>-2可得匕为实数，列方程可

求加的值.

【详解】因为复数z在复平面上对应的点为(私1),

所以z="7+i,

因为iz>-2,

因为12=可加+。=-1+7疝为实数，

得7〃=0.

故选：A.

3.B

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可.

31Q19137

【详角华】取。=—,6=—，满足。+2b«2,11a+4/?2=—+4x一=—+—=一>2,

2846441616

故“。+2642”推不出“°2+4从42'',

因为万+4产22」a-4bz=2-2ab=4ab，当且仅当“a=2b”时取等，

2222

当/+46?42时，a+4Z7+4aZ><2+4^<2+a+4/7<4,

所以/+4〃+4"W4,BP(o+2Z))2<4,因为a+2b>0,

所以0<a+26W2,所以/+4b2V2能推出。+2b42.

故“a+26V2”是“a2+4b2<2"的必要不充分条件.

故选：B.

4.A

【分析】由向量数量积表示垂直，再结合数量积的定义计算即可.

答案第1页，共17页

【详解】因为非零向量Z,b,满足向=|5],且②-用）点,

所以（2a-B=2。•B-y/ib2二28COS〈Q,B〉一6,卜0,

即cos〈〃,B〉=~~~，

—*—*TT

所以〈（7,6〉=：,

6

故选：A.

5.C

【分析】由二项分布的方程公式求出。（X）,再根据。&）=。（2万+3）=4。（丫）求出结果即

可.

【详解】由题意可知，随便变量X服从二项分布，即丫~8（10,0.9）,

则。（X）="0（1-0=10x0.9x0.1=0.9,

又Y=2X+3,

则D（Y）=D（2X+3）=4D（X）=4x0.9=3.6,

故选：C.

6.D

【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可

【详解】因为将函数/（&）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函

数g（x）的图象,

X

所以g（x）=log“§,gpg（x）=logax-loga3,

将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=log"XTog,3+2,

因为所得图象恰好与函数/（x）的图象重合，

所以-log03+2=0,

所以/=3,又0>0且awl,

解得a=百，

故选：D

7.B

答案第2页，共17页

22

【分析】设一(4,九)，表示向量西，至，由条件可得焉+/=加+4,江+区=1,结

84

合对称性列不等式，求加的范围，由此可得结论..

22

【详解】因为点号月分别为椭圆1■+?=1的左、右焦点；

所以耳(—2,0),名(2,0),

设尸(演，九),

由PF】•PF2=加可得=加+4,

22

又因为尸在椭圆上，即巫+区=1,

84

所以片=2m,

由对称性可得，要使得丽•西=冽成立的点恰好是4个，则0<2冽<8

解得0<m<4,

所以加的值可以是2.

故选：B.

8.C

【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.

【详解】解：对于①，在数列｛%｝中，^+l-an+l=an,则%(%-1)=%,

又对于任意的“eN*都有%>0,则%-1>0,即%+i>l,

即对于任意的“22,都有%>1,

所以为的值不确定大小，故①项错误；

对于②，不妨设数列｛与｝可能为常数列，则％=4用，

又41一。“+1=%，则则4=2,

即为=2时，数列｛。“｝为常数列，故②项正确；

对于③，0<%<2,则0<城-出<2,因为数列｛与｝中各项均为正数，

即0<%<2,同理，当〃22,都有0<%<2,

又a…“=2an+l-a^=«„+1(2-«„+1)>0,即数列｛。J为递增数列，

答案第3页，共17页

即当〃22时，ax<an<2,故③项正确.

对于④，%+i-=2%+i-a*=an+1(2一“I)

又％〉2,贝［j0<a；—出<2,即1</v2,

同理，当〃22,都有靖一名〉2,即出〉2,

同理，当“22,都有%>2,

即氏+1-%=2%-=%(2-%)<0,

即。用>%，即数列｛%｝为递减数列，故④项正确；

故选：C.

【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用

不等式知识解决数列中的相关问题.

9.ACD

【分析】求出二项式(3x-l)5展开式的通项公式，第三项的系数判断A,求含-的项的系

数判断B,根据二项式系数的性质判断C,求系数和判断D.

【详解】二项式(3x-1)，展开式的通项公式为

=C?(3x广(一1丫=C；35T㈠丫产,『V5,reN,

对于A,展开式中第3项的系数为C；X33X(-1)2=270,,A正确；

对于B,令5r=2,可得厂=3,故展开式中含尤2的项为第四项，该项的系数为

C^X32X(-1)3=-90,B错误；

对于C,(3%-1)5的展开式的二项式系数和为C+C+C；+C：+C+C=25,c正确,

对于D,二项式(3x-l)5的展开式的系数和为(3x1-1)5=25,D正确；

故选：ACD.

10.BC

【分析】根据max｛x”z，…，斗｝的含义说明AD不符合题意，举出具体情况说明BC,符合

题意即可.

【详解】对于A,D,从其中任取两个数作为一组，剩下的两数作为另一组，

答案第4页，共17页

由于这两组数中的最大的数都不是负数，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，

故都能使得命题“Da也GR,max{a/}+max{c,d}>max{a,b,c,4”成立;

对于B,当max{a,6}=max{-3,-1}=一l,max{7,5}=7时,而11^{一3,-1,7,5}=7,

止匕时一1+7<7,即命题,6?GR,max{〃,"+max{c,d}2max{〃力,。，4”是假命题；

对于C当max{a,6}=max{8,-1}=8,max{-2,-3}=-2时，而max{8,-l,-2,-3}=8,

此时一2+8<8,即命题也c,d^R,max{a/}+max{c,d}2max{a,6,c，4”是假命题；

故选：BC

11.AD

【分析】联立方程组，利用设而不求法，三角形面积公式表示“08的面积，列方程求上的

值.

fx2_2=|

【详解】联立；1,消去〉整理得：（l-k2）x2+2kx-2=0,

[y=kx-l

I一rw0

由已知，…，2、八，所以0V42<1或1<42<2,

A=4后2+8（1-产）>0

设/（尤Qi）,BO?,%），

皿2k2

贝」再+马=产二7，再泡=记口.

由题意，直线/恒过点。（o,-i）.

①若占马<0,则邑加=5"£»+$«9=；巧卜|-1+；»2卜1=1_*1_；'；2|=百，

②若中2>0,则S”OB=|SJO0—S,嬴=短一1|=f4一闻=e,

答案第5页，共17页

所以（西一工2）2=（再+/）2-4再入2=8,

解得左=0或4=±如，

2

经检验，左=0或4=±逅均满足题意，

2

故左=0或4=±如，

2

故选：AD.

12.112.5

【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可.

【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60,组距为10,

结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为85,95,105,115,125,135,

所以此次考试成绩的平均数大约为

（0.010x85+0.015x95+0.015x105+0.025x115+0.020x125+0.015x135）x10=112.5

故答案为：112.5.

13.27r（答案不唯一）

【分析】根据题意化简/（X）,根据诱导公式分别计算/'（X+27T）与/'（^+2无），得

/（X+271）=/（-%+271）,即可确定函数/0）=5由卜+]>053的图象关于工=2兀成轴对称.

【详解】因为〃=+.吟，即/•（、）…XC咤

（Y27r）

所以/（%+2兀）=cos（%+2兀>cosI---I

化简得：f（x+2兀）=COSXCOS^+71^=-cosXcos鼻,

又/（—x+2兀）=cos（一x+2兀）cos['+2"],

答案第6页，共17页

化简得：f（-X+2兀）=-cos（-x）cos—=-cosxcos—,

所以有/（X+2兀）=/（-X+2兀），

所以函数/。）=$吊［+］卜。5金的图象关于》=2兀成轴对称.

故答案为：2兀（答案不唯一）

14.①②④

【分析】使用空间向量设出各点的坐标，再对逐个选项分别求解.

【详解】

设ABCD4ABeQABDQACD的重心分别是7,5,62,63.

以7为原点，而，济，方为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.

f1V32761百(2V32V6

且7(0,0,0),5©0,-q-

3'9'9J(3'99

79J

三个内切圆的半径均为"，且可设:

3

——►百>1——,」,o]+sin〃15/32后

GXPX=——cosw-5C+—sinw-GXA=cosw

62~62)5

、

-----V3—►1——►fV3,--1,0+sinvf--V325

G2Pz=——cosv-5D+—sinv-G24=cosv

6226226Ti,-9-,

7

V3—►1——►g，。，。+sinw[o,乌亚

G3P3=——cosw•CD+—sinw•GM=cosw

623I91*9J

1V31,V31V3,2V62A/6.

所以有4cosuH—sinu,cosusinu.1sinu

36------------692----------18-----------9-------9

答案第7页，共17页

Jig1,V31百.276276.

H—H-----cosv——sinv,---------cosv-------sinv,--------1-------sinv

21366921899

Km26如.2a2巫.、

R——cosw,---------1-----sinw,-------1-------sinw.

339999

对于①，当鸟确定后，取A为鸟关于平面/7P的对称点，则鸟鸟垂直于平面所以利

垂直于4。，①正确;

TT71r_L1V34指、

对于②，当v=7'时,有百,，--I?’6，3J

667F9J

故属=，，-等，-g],次Jo,与sc=(-i,-^,o).

L7\7

直接计算可知根•存=根•瑟=0,所以此时6线满足条件，②正确;

7?

对于③，此时匕鸟位于最上方，即〃=V=W=Q.

这时山叫=I4片I=E囿=：忸。=g,点A到平面P\P『3的距离为半.

所以此时/_"第.半=言，③错误；

对于④，此时〃=-v=w,根据对称性有出毛|=|耳闾=火图,故

g(由川+山川+R囿)2=山囿2

r1VI1.丫1「Y

=-----------cosw+—smu+---------cos〃-------smu

〔326J〔326

8.4.13

=—sin2u—sinuH—

999

=_g(sin〃+j+|<|,故此时|耳£|+山肉+R用在sin“=-：处取到最大.

此时邛,£的纵坐标都是逅，故点A到平面邛£4的距离为侦一"=④正确.

6362

故答案为：①②④

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对空间向量的计算与求解.

15.(1)证明见解析

(2)证明见解析

答案第8页，共17页

(3)f

【分析】(1)只需通过证明两次线面平行得到平面。MC〃平面尸/£),再结合面面平行的性

质即可得证；

(2)只需证明CD,平面QCM,再结合线面垂直的性质即可得证；

(3)建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的夹角公式即可得解.

【详解】(1)

Q

QABHCD,AB=2CD=4,M是N2中点，

4W//CD且=,

四边形AMCD是平行四边形，CM7/4D.

而CA/U平面尸40/Ou平面尸4D,所以CM7/平面P4D,

又因为QC〃尸”，QCU平面尸尸Nu平面P/。，所以0C//平面尸

又CM//平面尸4D,QCnMC=C,QCu平面。MC,MCu平面QMC,

•••平面QMC〃平面尸NO.

又QMu平面QMC,QM〃平面PAD.

(2)

Q

答案第9页，共17页

7T

又•.•乙4DC、,四边形/MCZ)是平行四边形,

2

平行四边形ZMCD为正方形，

又•.・0C，CZ),WCcQC=C,MCu平面QCM,QCu平面。CM,

\CD~平面。CM,

,.•QMu平面QCM,CD1QM.

APABCD,/Du平面/BCD,/Mu平面43CD,

因为四边形4WCD是正方形，所以尸两两垂直.

建立直角坐标系，以A为原点，48为x轴，40为V轴，4P为z轴

3(4,0,0),0(2,2,3),尸(0,0,2),。(0,2,0).

设平面尸。3的法向量万=(xQi，zJ,RP=(-4,0,2),BQ=(-2,2,3),

—4X]+2Z]=0即卜一：，当国=1时，法向量1=(1,-2,2),

—2再+2必+3Z]=0［必=-2x,

设平面尸。。的法向量成=(%2，%/2)，尸。=(0,2,—2),尸。=(2,2,1),

12y-2z=0~2

则、2G2八，即3,当4=2时，法向量云=(—3,2,2),

Z

[2X2+2%+Z2=0x2=~~2

所以平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值为：

I--1n-m一3-4+4V17

COS",7"=忏百

Jl+4+4-J9+4+4—17

71

16.(1)5=-

⑵乎

答案第10页，共17页

【分析】（I）由正弦定理边化角把已知等式化简后，再经过拆角C=g-?和/=夸-

然后由两角和的正弦展开式化简，最后由特殊角的三角函数值求出角即可；

（2）由（1）可知"3C是直角三角形，再由三角形的面积公式得到

g»wsin60°=gx[g加，|=f,然后由余弦定理和均值不等式得到|尸。的最小值，最后

求出距离即可.

【详解】（1）因为3/—/一,所以VJb=a+c,

由正弦定理得，百sin3=sin4+sinC.

因为2C+B=g,所以C=；_g,同时/=n_(C+8)=兀-Ijj+5

则由sin5=sinl2n_B_71B

T-7+sm3F

BB_

cos——

22

VJsinB=6cos—,

2

..BBB

n即n2sm—cos—=cos—.

222

又因为BE(0,兀)，所以cos—wO,所以sin—=—,故8=彳，

2223

(2)由(1)可知，C=^-f=/=§一占=1,所以“BC是直角三角形,

326362

又〃=2,所以。=1,b=5/3,

设|8尸|=加‘逐。|=",又S&BPQ=；S—BC，

11（拒）C

所以一加〃sin6（T=—x——mn=—,所以加〃=1.

2212）4

在V5尸。中，由余弦定理和均值不等式可知，

|PQ『=m2+〃2-2mncosy=m2+n2-1>2mn-\=1.

当且仅当初=〃=1时，等号成立，|尸。|取得最小值1.

此时，V5尸。是边长为1的等边三角形，点8到直线加的距离为1Xsin60。="

2

答案第11页，共17页

B

Q

p/

A'-------------------

17.(1)1

⑵」,0

e

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义列式求解，即可得答案.

(2)结合(1)求出函数〃x)=x(l-e")的值域，由题设可得/(加)-/(〃)的表达式，由此

构造函数f(x)=xe"xe(-«,0],利用导数判断其单调性，即可求得答案.

【详解】(1)r(x)=1-(1+0X)6^,

由题意，/,(l)=l-(l+a)efl=l-2e,整理得(l+a)e"=2e,

令g(x)=(1+x)e，，所以g'(无)=(2+x)e*'，

所以当x<-2时，g'(x)<0,g(x)在(-8,-2)上单调递减，且g(x)<0,

当x>-2时，g'(x)>0,g(x)在(-2,+⑹上单调递增，

Xg(-2)=-e-2<0,g(-l)=o,g(l)=2e,

所以关于。的方程(l+〃)e"=2e只有一个根，即a=1.

(2)由(1)问可知〃尤)=x(l-e)所以/■'(x)=l-(l+尤)e*,

令k(x)=1-(1+x)er=1-g(x)

进而可知Mx)在区间(-甩-2)上单调递增,在区间(-2,+8)上单调递减，

且〃(一2)=l+e<>0,x<—2时，h(x)>0,A(0)=0,

所以x<0时，/,(x)>0,函数〃x)在(一叫0)上单调递增，

x>0时，r(x)<0,函数/(x)在(0,+网上单调递减，

当x=0时,"X)取得最大值〃0)=0,

所以/(X)的值域为(-8,0].

又由题意知点(加,〃)在函数/(x)的图象上，故"=/(M,

答案第12页，共17页

所以/(冽)一/(〃)=〃-/(〃)=〃一九(l-e〃)=z?e",nG(-CO,0].

令z(x)=xex,xG(-00,0],

所以r(x)=(l+x)e",当x=-l时,f(-1)=0,

当xE(-oo,-l)时，t\x)<0,(%)在区间(-叫-1)单调递减，

当X£(—1,O]时，/(x)〉o,《%)区间(一1,0]单调递增，

所以当x=-l时，*x)取得最小值」，

e

当xw(—8,—1)时，Z(x)<0,当％f-8时，^(x)—>0,且(0)=0,

所以⑪)的值域为1二,o],

e

所以/(")-/(")的取值范围是1-上0.

_e_

【点睛】关键点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，难点在于(2)中求解/(M-/5)

的范围，解答时要首先利用导数求出/(刈的值域为(-叫0],进而求出/(加)-〃")的表达式,

构造函数，利用导数判断单调性，求解范围.

18.⑴分布列见解析，E(X)=2

(2)①|；②J+不

【分析】(1)列出随机变量X的可能取值，并根据超几何分布计算每个可能取值的概率,

并计算分布列和数学期望；

(2)①根据第三次交流中甲被选择，第二次交流中甲未参与，计算概率即可；

②根据第〃次被选择的概率，第n-l次未被选择的概率,得出数列递推公式勺=(l-^_1)x1,

再通过数列计算通项即可.

【详解】(1)由题随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

r~i0r~i3

55、/_1

尸(x=0)=

30

「1「1-0-3「0-2「1「2

P(X=1)=92x24+22X24=7

\)0203,2'3

ee

46c4c630

答案第13页，共17页

7

尸(x=2)=------o-X1-

c2C31T

「2「。r2rl7

代-5)--5-x—5—+--5—X—5-

c4M5y30

「2rop2pi

尸(x=4)=舍x*£=1

C4M30

所以X的分布列为

X01234

17771

P

3030153030

17771

所以随机变量X的数学期望E(X)=0x^+lx茹+2x值+3x犷4义/2.

(2)①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为:.

其他三名同学被选择的概率相等.

比赛由甲同学起稿建立模型,

第三次交流中甲被选择，

所以第二次交流中甲未参与.

设/="第三次交流中甲被选择”，

则尸(N)=_x_x_+_x_x-+_X-X—=-=—.

333333333279

②第〃次(〃22,〃eN*)交流中甲被选择，

则第"-1次交流中甲未被选择.

设第n次交流中甲被选择的概率为£.

则£=(T-)x/卜+g

所以匕一:且《=0・

n-1

所以月=;1-

答案第14页，共17页

,,17

19.(l)x*+y'--x-3y-3=0

(2)证明见解析

(3)存在，答案见解析

【分析】(1)设切线方程，与抛物线联立方程组，由A=0求出切线斜率，得力,8两点的

坐标，可求/,8三点的圆的方程;

(2)设切点坐标和切线方程，与抛物线联立方程组，由A=0求出切线斜率，把M点代入

切线方程，可得直线的方程，由方程确定所过定点;

(3)利用向量数量积和直线的斜率，结合韦达定理，确定为直角三角形所需条件.

【详解】(1)当M的坐标为，1,|1时，设过M点的切线方程为y-g=©x+l),

与j?=4x联立，^y--=k[^+\\,整理得：/_了+左+；=o,

2I4J42

令A=l_4。(左+g[=0,解得人=一2或A=1,

分别代入方程得y=T和y=4,故得/(4,4),

同时可求得直线M4的方程为y=；x+2,直线的方程为y=-2尤-;，

进而可知％•L«=T,即直线M4与直线MB互相垂直，

则过A